1
00:00:00,530 --> 00:00:03,220
在这期的视频中 我们将介绍

2
00:00:03,220 --> 00:00:14,190
一个非常有趣的定理 勾股定理

3
00:00:14,190 --> 00:00:16,930
当你越来越多地学习数学的时候你会发现

4
00:00:16,930 --> 00:00:21,570
它是数学的基本定理之一

5
00:00:21,570 --> 00:00:24,920
它在几何学中很有用 是三角学的基础

6
00:00:24,920 --> 00:00:26,750
你们会用它去计算两点间

7
00:00:26,750 --> 00:00:29,200
所以我们最好把它学好

8
00:00:29,200 --> 00:00:30,510
这就是我要说的

9
00:00:30,510 --> 00:00:33,810
让我告诉你们什么是勾股定理

10
00:00:33,810 --> 00:00:35,570
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形

11
00:00:35,570 --> 00:00:38,320
就是说

12
00:00:38,320 --> 00:00:43,290
三个角中必须有一个是90度

13
00:00:43,290 --> 00:00:49,110
你画一个小方块来表示它是90度

14
00:00:49,110 --> 00:00:51,520
所以这里是 让我用一个不同的颜色

15
00:00:51,520 --> 00:00:54,580
一个90度角

16
00:00:54,580 --> 00:00:55,930
或者 我们可以叫它直角

17
00:00:55,930 --> 00:00:58,830
有一个直角的三角形叫做直角三角形

18
00:00:58,830 --> 00:01:05,550
所以这叫做直角三角形

19
00:01:05,550 --> 00:01:09,930
根据勾股定理

20
00:01:09,930 --> 00:01:13,390
如果我们知道一个直角三角形的两边

21
00:01:13,390 --> 00:01:15,850
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前

22
00:01:15,850 --> 00:01:21,700
让我再介绍一个术语

23
00:01:21,700 --> 00:01:25,440
90度角相对的边

24
00:01:25,440 --> 00:01:28,980
是直角三角形中最长的

25
00:01:28,980 --> 00:01:30,920
所以在这个例子中 就是这条边

26
00:01:30,920 --> 00:01:34,310
这是最长的边

27
00:01:34,310 --> 00:01:36,560
找到直角 它面对着那个最长边

28
00:01:36,560 --> 00:01:43,230
那个最长边叫做斜边

29
00:01:43,230 --> 00:01:46,690
这个最好记住 因为会经常用到

30
00:01:46,690 --> 00:01:49,650
所以我们会很擅长找斜边

31
00:01:49,650 --> 00:01:51,285
让我再画几个直角三角形

32
00:01:51,285 --> 00:01:55,020
现在我有这样一个三角形

33
00:01:55,020 --> 00:01:58,060
让我把它画得更好看一些

34
00:01:58,060 --> 00:02:00,150
我有这样一个三角形

35
00:02:00,150 --> 00:02:03,130
这个角是90度

36
00:02:12,560 --> 00:02:17,090
这种情况下 这是斜边

37
00:02:17,090 --> 00:02:19,390
因为它对着90度角 它是最长边

38
00:02:19,390 --> 00:02:22,130
让我再画一个 让我们更好地找出斜边

39
00:02:22,130 --> 00:02:24,010
这是我的三角形

40
00:02:24,010 --> 00:02:25,390
这是90度角

41
00:02:25,390 --> 00:02:29,860
我相信你们已经知道该怎么做了

42
00:02:29,860 --> 00:02:33,410
找它相对的

43
00:02:33,410 --> 00:02:34,880
这是最长边 就是斜边

44
00:02:34,880 --> 00:02:36,670
当你找到斜边

45
00:02:36,670 --> 00:02:39,420
我们把它叫做C 现在我们来学习

46
00:02:39,420 --> 00:02:44,050
勾股定理告诉了我们什么

47
00:02:44,050 --> 00:02:45,790
我们让C等于斜边的长度

48
00:02:45,790 --> 00:02:47,710
让我们把它叫做C

49
00:02:47,710 --> 00:02:49,620
把这个边叫做

50
00:02:49,620 --> 00:02:51,530
把这个边叫做A

51
00:02:51,530 --> 00:02:53,200
这个边叫B

52
00:02:53,200 --> 00:02:57,940
勾股定理告诉我们 A的平方

53
00:03:00,400 --> 00:03:02,050
一条直角边

54
00:03:02,050 --> 00:03:03,980
一个直角边的平方

55
00:03:03,980 --> 00:03:05,210
加上另一个直角边的平方

56
00:03:05,210 --> 00:03:08,680
等于斜边的平方

57
00:03:08,680 --> 00:03:11,630
现在让我们举一个实例

58
00:03:11,630 --> 00:03:17,910
你们就会发现其实没那么难

59
00:03:17,910 --> 00:03:21,890
我有这样一个三角形

60
00:03:21,890 --> 00:03:28,620
让我把它画出来

61
00:03:28,620 --> 00:03:32,880
这就是我的三角形 它看起来像这样

62
00:03:32,880 --> 00:03:36,890
这里是直角

63
00:03:36,890 --> 00:03:41,370
这条边 让我用些不同的颜色

64
00:03:41,370 --> 00:03:43,740
这条边长是3这条边是4

65
00:03:43,740 --> 00:03:45,820
要让我们求出

66
00:03:45,820 --> 00:03:49,820
让我们找出这条边的边长

67
00:03:49,820 --> 00:03:51,050
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

68
00:03:51,050 --> 00:03:54,210
是要保证你有斜边

69
00:03:54,210 --> 00:03:57,160
你要知道

70
00:03:57,160 --> 00:04:00,560
你要求解什么

71
00:04:00,560 --> 00:04:02,940
在这种情况下 我们是要计算斜边

72
00:04:02,940 --> 00:04:06,830
我们知道是因为 这条边是

73
00:04:06,830 --> 00:04:09,170
直角所对的边

74
00:04:09,170 --> 00:04:14,490
如果我们来看勾股定理 这是C

75
00:04:14,490 --> 00:04:17,130
这是最长边 现在我们就可以

76
00:04:17,130 --> 00:04:19,660
使用勾股定理了

77
00:04:19,660 --> 00:04:20,710
它告诉我们 一条直角边 4的平方

78
00:04:20,710 --> 00:04:23,350
加上另一条直角边 3的平方

79
00:04:23,350 --> 00:04:26,120
等于较长边的平方

80
00:04:26,120 --> 00:04:30,440
也就是斜边的平方 等于C的平方

81
00:04:30,440 --> 00:04:33,310
求解出C

82
00:04:33,310 --> 00:04:36,540
4的平方等于4乘以4

83
00:04:36,540 --> 00:04:38,160
是16 3的平方等于3乘以3

84
00:04:38,160 --> 00:04:41,920
是9

85
00:04:41,920 --> 00:04:48,070
这等于C的平方 16加9是多少 是25

86
00:04:48,070 --> 00:04:53,260
所以25等于C的平方

87
00:04:53,260 --> 00:04:56,080
我们取两边的正根

88
00:04:56,080 --> 00:05:00,590
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5

89
00:05:00,590 --> 00:05:02,310
但是我们在做距离问题

90
00:05:02,310 --> 00:05:06,380
所以只关心正根

91
00:05:06,380 --> 00:05:08,460
所以我们取两边的算术平方根

92
00:05:08,460 --> 00:05:11,910
得到5等于C

93
00:05:11,910 --> 00:05:13,810
或者说 最长边等于5

94
00:05:13,810 --> 00:05:18,580
现在 你可以用勾股定理

95
00:05:18,580 --> 00:05:20,610
给出两边 求任意第三边

96
00:05:20,610 --> 00:05:22,480
无论第三边是什么

97
00:05:22,480 --> 00:05:25,195
让我们再举一个例子

98
00:05:25,195 --> 00:05:29,020
这是我们的三角形

99
00:05:29,020 --> 00:05:30,960
像这样

100
00:05:30,960 --> 00:05:33,160
这样

101
00:05:33,160 --> 00:05:34,870
这是直角

102
00:05:34,870 --> 00:05:37,050
这条边长12 这条边长6

103
00:05:37,050 --> 00:05:41,170
我们要求解

104
00:05:41,170 --> 00:05:44,280
我们要求出这条边

105
00:05:44,280 --> 00:05:50,260
像我说过的 你要做的第一件事是

106
00:05:50,260 --> 00:05:52,640
找到斜边

107
00:05:52,640 --> 00:05:54,620
它是直角所对的边

108
00:05:54,620 --> 00:05:55,690
这里是直角 在直角的对面

109
00:05:55,690 --> 00:05:59,300
最长边 斜边 就在这儿

110
00:05:59,300 --> 00:06:10,670
如果我们考虑勾股定理

111
00:06:10,670 --> 00:06:12,610
A的平方加上B的平方等于C的平方

112
00:06:12,610 --> 00:06:17,820
你可以把12看成C这是斜边

113
00:06:17,820 --> 00:06:21,080
C的平方是斜边的平方

114
00:06:21,080 --> 00:06:27,210
你可以说12等于C

115
00:06:27,210 --> 00:06:29,870
我们可以叫这些边 顺序无所谓

116
00:06:29,870 --> 00:06:31,350
顺序无所谓一条为A 一条为B

117
00:06:31,350 --> 00:06:34,130
就让我们把这条边叫A A的长度是6

118
00:06:34,130 --> 00:06:35,550
让B 这个颜色的B的长度是未知的

119
00:06:35,550 --> 00:06:37,650
现在我们可以应用勾股定理了

120
00:06:37,650 --> 00:06:41,460
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

121
00:06:41,460 --> 00:06:46,100
等于斜边的平方

122
00:06:46,100 --> 00:06:50,820
等于C的平方

123
00:06:50,820 --> 00:06:52,220
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了

124
00:06:52,220 --> 00:06:54,740
注意这里的区别

125
00:06:54,740 --> 00:06:56,670
我们现在求的不是斜边

126
00:06:56,670 --> 00:06:59,030
我们在求一条直角边

127
00:06:59,030 --> 00:07:00,880
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C

128
00:07:00,880 --> 00:07:02,580
所以要注意

129
00:07:02,580 --> 00:07:04,970
A的平方加上B的平方等于C的平方

130
00:07:04,970 --> 00:07:06,990
C是斜边的边长 现在我们来求B

131
00:07:06,990 --> 00:07:11,780
6的平方等于36 加上B的平方

132
00:07:11,780 --> 00:07:12,640
等于12的平方 12乘以12 等于144

133
00:07:12,640 --> 00:07:15,070
两边同时减掉36

134
00:07:15,070 --> 00:07:25,940
这里约掉了

135
00:07:25,940 --> 00:07:28,330
左边只剩下B的平方

136
00:07:28,330 --> 00:07:29,760
等于 144减去36 是多少 144减去30是114

137
00:07:29,760 --> 00:07:33,250
再减去6 是108

138
00:07:33,250 --> 00:07:35,260
这是108 那是B的平方

139
00:07:35,260 --> 00:07:36,370
现在我们要它两边的算术平方根

140
00:07:36,370 --> 00:07:38,110
或者正根

141
00:07:38,110 --> 00:07:40,210
得到B等于108的算术平方根

142
00:07:40,210 --> 00:07:42,790
现在看看我们可不可以化简

143
00:07:42,790 --> 00:07:43,790
根号108

144
00:07:43,790 --> 00:07:46,570
我们可以找出108的质因数分解式

145
00:07:46,570 --> 00:07:49,190
然后看一下怎样可以化简这个根数

146
00:07:49,190 --> 00:07:49,670
108等于

147
00:07:49,670 --> 00:07:51,850
等于2乘以54

148
00:07:51,850 --> 00:07:59,280
54等于2乘以27

149
00:07:59,280 --> 00:08:04,700
27等于3乘以9

150
00:08:04,700 --> 00:08:08,550
所以根号108 等于

151
00:08:08,550 --> 00:08:11,420
根号下2乘以2哦 还没完

152
00:08:13,270 --> 00:08:17,510
9可以被分解成3乘以3

153
00:08:17,510 --> 00:08:23,410
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

154
00:08:30,080 --> 00:08:33,910
所以我们现在有几个完全平方式

155
00:08:33,910 --> 00:08:36,630
让我把它写得工整些

156
00:08:36,630 --> 00:08:40,600
这种化简根数的练习

157
00:08:40,600 --> 00:08:44,430
你们在用勾股定理的时候会经常遇到

158
00:08:44,430 --> 00:08:48,650
所以现在做没有坏处

159
00:08:48,650 --> 00:08:50,550
这个等同于根号下2乘以2

160
00:08:50,550 --> 00:08:53,550
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3

161
00:08:53,550 --> 00:08:54,930
这是一样的

162
00:08:54,930 --> 00:08:56,670
你不必把这些都写在纸上

163
00:08:56,670 --> 00:08:58,410
你可以在脑中思考

164
00:08:58,410 --> 00:09:07,590
这是多少2乘以2是4

165
00:09:07,590 --> 00:09:15,570
4乘以9 是36 所以这是根号36

166
00:09:15,570 --> 00:09:19,780
乘以根号3 36的算术平方根是6

167
00:09:19,780 --> 00:09:24,550
所以这个化简成了6倍根号3

168
00:09:24,550 --> 00:09:25,520
所以B的长 你可以把它写成根号108

169
00:09:25,520 --> 00:09:28,760
或者你可以写成6乘以根号3

170
00:09:28,760 --> 00:09:34,170
这是12 这是6

171
00:09:34,170 --> 00:09:36,820
根号3是1点多

172
00:09:36,820 --> 00:09:38,680
所以它会比6大一点点