0:00:00.530,0:00:03.220
在这期的视频中 我们将介绍

0:00:03.220,0:00:14.190
一个非常有趣的定理 勾股定理

0:00:14.190,0:00:16.930
当你越来越多地学习数学的时候你会发现

0:00:16.930,0:00:21.570
它是数学的基本定理之一

0:00:21.570,0:00:24.920
它在几何学中很有用 是三角学的基础

0:00:24.920,0:00:26.750
你们会用它去计算两点间

0:00:26.750,0:00:29.200
所以我们最好把它学好

0:00:29.200,0:00:30.510
这就是我要说的

0:00:30.510,0:00:33.810
让我告诉你们什么是勾股定理

0:00:33.810,0:00:35.570
如果我们有一个三角形 而且是一个直角三角形

0:00:35.570,0:00:38.320
就是说

0:00:38.320,0:00:43.290
三个角中必须有一个是90度

0:00:43.290,0:00:49.110
你画一个小方块来表示它是90度

0:00:49.110,0:00:51.520
所以这里是 让我用一个不同的颜色

0:00:51.520,0:00:54.580
一个90度角

0:00:54.580,0:00:55.930
或者 我们可以叫它直角

0:00:55.930,0:00:58.830
有一个直角的三角形叫做直角三角形

0:00:58.830,0:01:05.550
所以这叫做直角三角形

0:01:05.550,0:01:09.930
根据勾股定理

0:01:09.930,0:01:13.390
如果我们知道一个直角三角形的两边

0:01:13.390,0:01:15.850
我们总能得到第三边 在我告诉你们怎么做之前

0:01:15.850,0:01:21.700
让我再介绍一个术语

0:01:21.700,0:01:25.440
90度角相对的边

0:01:25.440,0:01:28.980
是直角三角形中最长的

0:01:28.980,0:01:30.920
所以在这个例子中 就是这条边

0:01:30.920,0:01:34.310
这是最长的边

0:01:34.310,0:01:36.560
找到直角 它面对着那个最长边

0:01:36.560,0:01:43.230
那个最长边叫做斜边

0:01:43.230,0:01:46.690
这个最好记住 因为会经常用到

0:01:46.690,0:01:49.650
所以我们会很擅长找斜边

0:01:49.650,0:01:51.285
让我再画几个直角三角形

0:01:51.285,0:01:55.020
现在我有这样一个三角形

0:01:55.020,0:01:58.060
让我把它画得更好看一些

0:01:58.060,0:02:00.150
我有这样一个三角形

0:02:00.150,0:02:03.130
这个角是90度

0:02:12.560,0:02:17.090
这种情况下 这是斜边

0:02:17.090,0:02:19.390
因为它对着90度角 它是最长边

0:02:19.390,0:02:22.130
让我再画一个 让我们更好地找出斜边

0:02:22.130,0:02:24.010
这是我的三角形

0:02:24.010,0:02:25.390
这是90度角

0:02:25.390,0:02:29.860
我相信你们已经知道该怎么做了

0:02:29.860,0:02:33.410
找它相对的

0:02:33.410,0:02:34.880
这是最长边 就是斜边

0:02:34.880,0:02:36.670
当你找到斜边

0:02:36.670,0:02:39.420
我们把它叫做C 现在我们来学习

0:02:39.420,0:02:44.050
勾股定理告诉了我们什么

0:02:44.050,0:02:45.790
我们让C等于斜边的长度

0:02:45.790,0:02:47.710
让我们把它叫做C

0:02:47.710,0:02:49.620
把这个边叫做

0:02:49.620,0:02:51.530
把这个边叫做A

0:02:51.530,0:02:53.200
这个边叫B

0:02:53.200,0:02:57.940
勾股定理告诉我们 A的平方

0:03:00.400,0:03:02.050
一条直角边

0:03:02.050,0:03:03.980
一个直角边的平方

0:03:03.980,0:03:05.210
加上另一个直角边的平方

0:03:05.210,0:03:08.680
等于斜边的平方

0:03:08.680,0:03:11.630
现在让我们举一个实例

0:03:11.630,0:03:17.910
你们就会发现其实没那么难

0:03:17.910,0:03:21.890
我有这样一个三角形

0:03:21.890,0:03:28.620
让我把它画出来

0:03:28.620,0:03:32.880
这就是我的三角形 它看起来像这样

0:03:32.880,0:03:36.890
这里是直角

0:03:36.890,0:03:41.370
这条边 让我用些不同的颜色

0:03:41.370,0:03:43.740
这条边长是3这条边是4

0:03:43.740,0:03:45.820
要让我们求出

0:03:45.820,0:03:49.820
让我们找出这条边的边长

0:03:49.820,0:03:51.050
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

0:03:51.050,0:03:54.210
是要保证你有斜边

0:03:54.210,0:03:57.160
你要知道

0:03:57.160,0:04:00.560
你要求解什么

0:04:00.560,0:04:02.940
在这种情况下 我们是要计算斜边

0:04:02.940,0:04:06.830
我们知道是因为 这条边是

0:04:06.830,0:04:09.170
直角所对的边

0:04:09.170,0:04:14.490
如果我们来看勾股定理 这是C

0:04:14.490,0:04:17.130
这是最长边 现在我们就可以

0:04:17.130,0:04:19.660
使用勾股定理了

0:04:19.660,0:04:20.710
它告诉我们 一条直角边 4的平方

0:04:20.710,0:04:23.350
加上另一条直角边 3的平方

0:04:23.350,0:04:26.120
等于较长边的平方

0:04:26.120,0:04:30.440
也就是斜边的平方 等于C的平方

0:04:30.440,0:04:33.310
求解出C

0:04:33.310,0:04:36.540
4的平方等于4乘以4

0:04:36.540,0:04:38.160
是16 3的平方等于3乘以3

0:04:38.160,0:04:41.920
是9

0:04:41.920,0:04:48.070
这等于C的平方 16加9是多少 是25

0:04:48.070,0:04:53.260
所以25等于C的平方

0:04:53.260,0:04:56.080
我们取两边的正根

0:04:56.080,0:05:00.590
如果你们从数学的角度看 它也可能是负5

0:05:00.590,0:05:02.310
但是我们在做距离问题

0:05:02.310,0:05:06.380
所以只关心正根

0:05:06.380,0:05:08.460
所以我们取两边的算术平方根

0:05:08.460,0:05:11.910
得到5等于C

0:05:11.910,0:05:13.810
或者说 最长边等于5

0:05:13.810,0:05:18.580
现在 你可以用勾股定理

0:05:18.580,0:05:20.610
给出两边 求任意第三边

0:05:20.610,0:05:22.480
无论第三边是什么

0:05:22.480,0:05:25.195
让我们再举一个例子

0:05:25.195,0:05:29.020
这是我们的三角形

0:05:29.020,0:05:30.960
像这样

0:05:30.960,0:05:33.160
这样

0:05:33.160,0:05:34.870
这是直角

0:05:34.870,0:05:37.050
这条边长12 这条边长6

0:05:37.050,0:05:41.170
我们要求解

0:05:41.170,0:05:44.280
我们要求出这条边

0:05:44.280,0:05:50.260
像我说过的 你要做的第一件事是

0:05:50.260,0:05:52.640
找到斜边

0:05:52.640,0:05:54.620
它是直角所对的边

0:05:54.620,0:05:55.690
这里是直角 在直角的对面

0:05:55.690,0:05:59.300
最长边 斜边 就在这儿

0:05:59.300,0:06:10.670
如果我们考虑勾股定理

0:06:10.670,0:06:12.610
A的平方加上B的平方等于C的平方

0:06:12.610,0:06:17.820
你可以把12看成C这是斜边

0:06:17.820,0:06:21.080
C的平方是斜边的平方

0:06:21.080,0:06:27.210
你可以说12等于C

0:06:27.210,0:06:29.870
我们可以叫这些边 顺序无所谓

0:06:29.870,0:06:31.350
顺序无所谓一条为A 一条为B

0:06:31.350,0:06:34.130
就让我们把这条边叫A A的长度是6

0:06:34.130,0:06:35.550
让B 这个颜色的B的长度是未知的

0:06:35.550,0:06:37.650
现在我们可以应用勾股定理了

0:06:37.650,0:06:41.460
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

0:06:41.460,0:06:46.100
等于斜边的平方

0:06:46.100,0:06:50.820
等于C的平方

0:06:50.820,0:06:52.220
就是等于12的平方 现在我们可以求出B了

0:06:52.220,0:06:54.740
注意这里的区别

0:06:54.740,0:06:56.670
我们现在求的不是斜边

0:06:56.670,0:06:59.030
我们在求一条直角边

0:06:59.030,0:07:00.880
上一个例子中我们求的是斜边 我们求的是C

0:07:00.880,0:07:02.580
所以要注意

0:07:02.580,0:07:04.970
A的平方加上B的平方等于C的平方

0:07:04.970,0:07:06.990
C是斜边的边长 现在我们来求B

0:07:06.990,0:07:11.780
6的平方等于36 加上B的平方

0:07:11.780,0:07:12.640
等于12的平方 12乘以12 等于144

0:07:12.640,0:07:15.070
两边同时减掉36

0:07:15.070,0:07:25.940
这里约掉了

0:07:25.940,0:07:28.330
左边只剩下B的平方

0:07:28.330,0:07:29.760
等于 144减去36 是多少 144减去30是114

0:07:29.760,0:07:33.250
再减去6 是108

0:07:33.250,0:07:35.260
这是108 那是B的平方

0:07:35.260,0:07:36.370
现在我们要它两边的算术平方根

0:07:36.370,0:07:38.110
或者正根

0:07:38.110,0:07:40.210
得到B等于108的算术平方根

0:07:40.210,0:07:42.790
现在看看我们可不可以化简

0:07:42.790,0:07:43.790
根号108

0:07:43.790,0:07:46.570
我们可以找出108的质因数分解式

0:07:46.570,0:07:49.190
然后看一下怎样可以化简这个根数

0:07:49.190,0:07:49.670
108等于

0:07:49.670,0:07:51.850
等于2乘以54

0:07:51.850,0:07:59.280
54等于2乘以27

0:07:59.280,0:08:04.700
27等于3乘以9

0:08:04.700,0:08:08.550
所以根号108 等于

0:08:08.550,0:08:11.420
根号下2乘以2哦 还没完

0:08:13.270,0:08:17.510
9可以被分解成3乘以3

0:08:17.510,0:08:23.410
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

0:08:30.080,0:08:33.910
所以我们现在有几个完全平方式

0:08:33.910,0:08:36.630
让我把它写得工整些

0:08:36.630,0:08:40.600
这种化简根数的练习

0:08:40.600,0:08:44.430
你们在用勾股定理的时候会经常遇到

0:08:44.430,0:08:48.650
所以现在做没有坏处

0:08:48.650,0:08:50.550
这个等同于根号下2乘以2

0:08:50.550,0:08:53.550
乘以3乘以3乘以3 那里有最后一个根号3

0:08:53.550,0:08:54.930
这是一样的

0:08:54.930,0:08:56.670
你不必把这些都写在纸上

0:08:56.670,0:08:58.410
你可以在脑中思考

0:08:58.410,0:09:07.590
这是多少2乘以2是4

0:09:07.590,0:09:15.570
4乘以9 是36 所以这是根号36

0:09:15.570,0:09:19.780
乘以根号3 36的算术平方根是6

0:09:19.780,0:09:24.550
所以这个化简成了6倍根号3

0:09:24.550,0:09:25.520
所以B的长 你可以把它写成根号108

0:09:25.520,0:09:28.760
或者你可以写成6乘以根号3

0:09:28.760,0:09:34.170
这是12 这是6

0:09:34.170,0:09:36.820
根号3是1点多

0:09:36.820,0:09:38.680
所以它会比6大一点点