WEBVTT 00:00:00.530 --> 00:00:03.220 Dans cette vidéo, nous allons étudier 00:00:03.220 --> 00:00:14.190 le théorème de Pythagore, qui est amusant en lui-même. 00:00:14.190 --> 00:00:16.930 Mais vous verrez en avançant de plus en plus en mathématiques 00:00:16.930 --> 00:00:21.570 que ce théorème est l'une des pierres angulaires de vraiment tous les maths. 00:00:21.570 --> 00:00:24.920 Il est utile en géométrie, c'est un peu la colonne vertébrale 00:00:24.920 --> 00:00:26.750 de la trigonométrie. 00:00:26.750 --> 00:00:29.200 Vous l'utiliserez également pour calculer les distances 00:00:29.200 --> 00:00:30.510 entre des points. 00:00:30.510 --> 00:00:33.810 Donc c'est une bonne chose de s'assurer que nous le connaissons bien. 00:00:33.810 --> 00:00:35.570 Mais entrons dans le vif du sujet. 00:00:35.570 --> 00:00:38.320 Laissez-moi vous dire ce qu'est le théorème de Pythagore. 00:00:38.320 --> 00:00:43.290 prenons un triangle, et ce triangle doit être 00:00:43.290 --> 00:00:49.110 un triangle rectangle, ce qui signifie que l'un des trois angles de ce 00:00:49.110 --> 00:00:51.520 triangle doit être de 90 degrés. 00:00:51.520 --> 00:00:54.580 Et vous indiquez qu'il est de 90 degrés en dessinant cette 00:00:54.580 --> 00:00:55.930 petite boite juste ici. 00:00:55.930 --> 00:00:58.830 Donc ici nous avons -- traçons le dans une couleur 00:00:58.830 --> 00:01:05.550 différente-- un angle à 90 degrés. 00:01:05.550 --> 00:01:09.930 Nous pouvons aussi l'appeler un angle droit. 00:01:09.930 --> 00:01:13.390 Et un triangle qui a un angle droit cela 00:01:13.390 --> 00:01:15.850 s'appelle un triangle rectangle. 00:01:15.850 --> 00:01:21.700 Donc ce triangle s'appelle un triangle rectangle. 00:01:21.700 --> 00:01:25.440 Maintenant, avec le théorème de Pythagore, si nous connaissons deux côtés 00:01:25.440 --> 00:01:28.980 d'un triangle rectangle nous pouvons toujours connaître 00:01:28.980 --> 00:01:30.920 le troisième côté. 00:01:30.920 --> 00:01:34.310 Et avant que je vous montre comment faire, laissez-moi vous donner un 00:01:34.310 --> 00:01:36.560 autre mot de vocabulaire. 00:01:36.560 --> 00:01:43.230 Le côté le plus long d'un triangle rectangle est le côté opposé 00:01:43.230 --> 00:01:46.690 à l'angle a 90 degrés -- ou opposé à l'angle droit. 00:01:46.690 --> 00:01:49.650 Donc dans ce cas c'est ce côté ici. 00:01:49.650 --> 00:01:51.285 C'est le côté le plus long. 00:01:51.285 --> 00:01:55.020 Et c'est aussi le moyen de découvrir où est l'angle droit, qui 00:01:55.020 --> 00:01:58.060 "s'ouvre" en quelque sorte sur ce côté plus long. 00:01:58.060 --> 00:02:00.150 Ce côté le plus long est appelé l'hypoténuse. 00:02:00.150 --> 00:02:03.130 Et c'est à retenir, parce que nous allons beaucoup en parler. 00:02:12.560 --> 00:02:17.090 Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça. 00:02:17.090 --> 00:02:19.390 Permettez-moi de le dessiner un peu mieux. 00:02:19.390 --> 00:02:22.130 Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça. 00:02:22.130 --> 00:02:24.010 Et j'allais vous indiquer que cet angle juste 00:02:24.010 --> 00:02:25.390 ici est de 90 degrés. 00:02:25.390 --> 00:02:29.860 Dans cette situation, voilà l'hypoténuse, parce qu'il est 00:02:29.860 --> 00:02:33.410 opposé à l'angle de 90 degrés. 00:02:33.410 --> 00:02:34.880 C'est le côté le plus long. 00:02:34.880 --> 00:02:36.670 Permettez-moi d'en faire un de plus, juste pour bien savoir 00:02:36.670 --> 00:02:39.420 reconnaître l'hypoténuse. 00:02:39.420 --> 00:02:44.050 Alors disons que c'est mon triangle, et là c'est 00:02:44.050 --> 00:02:45.790 l'angle à 90 degrés. 00:02:45.790 --> 00:02:47.710 Et je pense que vous savez déjà le faire. 00:02:47.710 --> 00:02:49.620 Vous vous dirigez vers là où il s'ouvre. 00:02:49.620 --> 00:02:51.530 C'est l'hypoténuse. 00:02:51.530 --> 00:02:53.200 C'est le côté le plus long. 00:02:53.200 --> 00:02:57.940 donc vous avez identifié l'hypoténuse--et disons 00:03:00.400 --> 00:03:02.050 qu'il a la longueur C. 00:03:02.050 --> 00:03:03.980 Et maintenant, nous allons apprendre ce que le théorème 00:03:03.980 --> 00:03:05.210 de Pythagore nous apprend. 00:03:05.210 --> 00:03:08.680 Alors disons que que C est égale à la longueur de l'hypoténuse. 00:03:08.680 --> 00:03:11.630 Nous allons l'appeler C -- ce côté est C. 00:03:11.630 --> 00:03:17.910 Appelons ce côté juste ici A. 00:03:17.910 --> 00:03:21.890 Et appelons ce côté là B. 00:03:21.890 --> 00:03:28.620 Donc le théorème de Pythagore nous dit que A au carré --soit 00:03:28.620 --> 00:03:32.880 la longueur de l'un des petits côtés au carré, plus 00:03:32.880 --> 00:03:36.890 la longueur de l'autre petit côté au carré va 00:03:36.890 --> 00:03:41.370 être égale à la longueur de l'hypoténuse au carré. 00:03:41.370 --> 00:03:43.740 Maintenant faisons cela avec un réel problème, et vous verrez 00:03:43.740 --> 00:03:45.820 que ce n'est en fait pas si dur. 00:03:45.820 --> 00:03:49.820 Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ceci. 00:03:49.820 --> 00:03:51.050 Permettez-moi de le dessiner. 00:03:51.050 --> 00:03:54.210 Disons que c'est mon triangle. 00:03:54.210 --> 00:03:57.160 On dirait quelque chose comme ça. 00:03:57.160 --> 00:04:00.560 Et disons que l'on nous dit que c'est l'angle droit. 00:04:00.560 --> 00:04:02.940 Que cette longueur juste ici--permettez-moi de la faire dans une couleur 00:04:02.940 --> 00:04:06.830 différente-- cette longueur ici est égale à 3 et que 00:04:06.830 --> 00:04:09.170 cette longueur est égale à 4. 00:04:09.170 --> 00:04:14.490 Et ils veulent que nous trouvions cette longueur là. 00:04:14.490 --> 00:04:17.130 Maintenant la première chose que vous voulez faire, avant d'appliquer vous même le 00:04:17.130 --> 00:04:19.660 théorème de Pythagore, est de s'assurer que vous avez votre 00:04:19.660 --> 00:04:20.710 hypoténuse. 00:04:20.710 --> 00:04:23.350 Vous vous assurez que vous savez ce que vous avez à trouver. 00:04:23.350 --> 00:04:26.120 Et dans ce cas, nous avons à trouver l'hypoténuse. 00:04:26.120 --> 00:04:30.440 Et nous le savons, parce que ce côté là, c'est le côté 00:04:30.440 --> 00:04:33.310 opposé à l'angle droit. 00:04:33.310 --> 00:04:36.540 Si nous regardons le théorème de Pythagore, c'est C. 00:04:36.540 --> 00:04:38.160 C'est le côté le plus long. 00:04:38.160 --> 00:04:41.920 Nous sommes maintenant prêts à appliquer le théorème de Pythagore. 00:04:41.920 --> 00:04:48.070 Il nous raconte que 4 au carré--un des petits côtés --plus 00:04:48.070 --> 00:04:53.260 3 au carré, le carré de l'autre petit côté -- 00:04:53.260 --> 00:04:56.080 va être égal à ce côté plus long au carré-- 00:04:56.080 --> 00:05:00.590 l'hypoténuse au carré -- va être égale à C au carré. 00:05:00.590 --> 00:05:02.310 Et vous avez trouvé C. 00:05:02.310 --> 00:05:06.380 4 au carré est la même chose que 4 fois 4. 00:05:06.380 --> 00:05:08.460 C'est 16. 00:05:08.460 --> 00:05:11.910 Et 3 au carré est la même chose que 3 fois 3. 00:05:11.910 --> 00:05:13.810 C'est donc 9. 00:05:13.810 --> 00:05:18.580 Et ça va être égal à C au carré. 00:05:18.580 --> 00:05:20.610 Combien font 16 plus 9 ? 00:05:20.610 --> 00:05:22.480 C' est 25. 00:05:22.480 --> 00:05:25.195 Donc 25 est égal à C au carré. 00:05:25.195 --> 00:05:29.020 Et nous pourrions prendre la racine carrée positive des deux côtés. 00:05:29.020 --> 00:05:30.960 Je suppose que, si vous l'examinez mathématiquement, cela pourrait 00:05:30.960 --> 00:05:33.160 être égal à moins 5. 00:05:33.160 --> 00:05:34.870 Mais nous avons affaire à des distances, donc nous nous occupons seulement 00:05:34.870 --> 00:05:37.050 des racines positives. 00:05:37.050 --> 00:05:41.170 Donc vous prenez la racine positive et 00:05:41.170 --> 00:05:44.280 vous obtenez 5 est égale à C. 00:05:44.280 --> 00:05:50.260 Ou encore, la longueur du côté le plus long est égale à 5. 00:05:50.260 --> 00:05:52.640 Maintenant, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore, si nous donnons 00:05:52.640 --> 00:05:54.620 deux des côtés, pour trouver le troisième côté quel 00:05:54.620 --> 00:05:55.690 que soit ce troisième côté. 00:05:55.690 --> 00:05:59.300 Dessinons un autre triangle ici. 00:05:59.300 --> 00:06:10.670 Disons que notre triangle ressemble à ceci. 00:06:10.670 --> 00:06:12.610 Et c'est notre angle droit. 00:06:12.610 --> 00:06:17.820 Disons que ce côté ci a une longueur de 12 et disons que 00:06:17.820 --> 00:06:21.080 que ce côté ici a une longueur de 6. 00:06:21.080 --> 00:06:27.210 Et nous voulons découvrir cette longueur juste là. 00:06:27.210 --> 00:06:29.870 Maintenant, comme je le disais, la première chose que vous voulez faire est 00:06:29.870 --> 00:06:31.350 identifier l'hypoténuse. 00:06:31.350 --> 00:06:34.130 Et cela va être le côté opposé à l'angle droit. 00:06:34.130 --> 00:06:35.550 Nous avons ici l'angle droit. 00:06:35.550 --> 00:06:37.650 Vous allez en face de l'angle droit. 00:06:37.650 --> 00:06:41.460 La côté le plus long, l'hypoténuse est là. 00:06:41.460 --> 00:06:46.100 Donc, si nous pensons au théorème de Pythagore-- 00:06:46.100 --> 00:06:50.820 que A au carré plus B au carré est égal à C au carré-- 12 -- 00:06:50.820 --> 00:06:52.220 que vous pouvez voir en C. 00:06:52.220 --> 00:06:54.740 C'est l'hypoténuse. 00:06:54.740 --> 00:06:56.670 Le C au carré est l'hypoténuse au carré. 00:06:56.670 --> 00:06:59.030 Donc vous pourriez dire 12 est égal à C. 00:06:59.030 --> 00:07:00.880 Et puis, nous pourrions dire que ces côtés, peu importe 00:07:00.880 --> 00:07:02.580 que vous appeliez l'un d'eux A ou l'un d'eux B. 00:07:02.580 --> 00:07:04.970 Alors nommons juste ce côté ici. 00:07:04.970 --> 00:07:06.990 Disons que A est égal à 6. 00:07:06.990 --> 00:07:11.780 Et puis nous dire que B--ce B coloré --est égal 00:07:11.780 --> 00:07:12.640 à un point d'interrogation. 00:07:12.640 --> 00:07:15.070 Et maintenant nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. 00:07:15.070 --> 00:07:25.940 Un carré, qui est 6 au carré, plus l'inconnu B au carré est 00:07:25.940 --> 00:07:28.330 égal à l'hypoténuse au carré -- est égal 00:07:28.330 --> 00:07:29.760 à C au carré. 00:07:29.760 --> 00:07:33.250 Est égal à 12 au carré. 00:07:33.250 --> 00:07:35.260 Et maintenant nous pouvons trouver B. 00:07:35.260 --> 00:07:36.370 Et remarquez la différence ici. 00:07:36.370 --> 00:07:38.110 Maintenant nous n'allons pas trouver l'hypoténuse. 00:07:38.110 --> 00:07:40.210 Nous allons trouver l'un des petits côtés. 00:07:40.210 --> 00:07:42.790 Dans le dernier exemple, que nous avons cherché l'hypoténuse. 00:07:42.790 --> 00:07:43.790 Nous avons cherché C. 00:07:43.790 --> 00:07:46.570 C'est pourquoi il est toujours important de reconnaître que 00:07:46.570 --> 00:07:49.190 dans A au carré plus B au carré égalent C au carré, C est la longueur 00:07:49.190 --> 00:07:49.670 de l'hypoténuse. 00:07:49.670 --> 00:07:51.850 Alors trouvons B ici. 00:07:51.850 --> 00:07:59.280 Donc nous obtenons 6 au carré égale 36, plus B au carré, est égale 00:07:59.280 --> 00:08:04.700 égal au carré de 12 --soit 12 fois 12--donc 144. 00:08:04.700 --> 00:08:08.550 Maintenant nous pouvons soustraire 36 des deux côtés de cette équation. 00:08:08.550 --> 00:08:11.420 Ceux-ci s'annulent. 00:08:13.270 --> 00:08:17.510 Sur le côté gauche nous n'avons plus que B au carré 00:08:17.510 --> 00:08:23.410 est égal à --combien font 144 moins 36 ? 00:08:30.080 --> 00:08:33.910 C'est donc égal à 108. 00:08:33.910 --> 00:08:36.630 Donc voilà B au carré, et maintenant nous voulons prendre 00:08:36.630 --> 00:08:40.600 la racine principale, ou la racine positive. 00:08:40.600 --> 00:08:44.430 Et vous obtenez B est égale à la racine carrée, la 00:08:44.430 --> 00:08:48.650 racine principale, de 108. 00:08:48.650 --> 00:08:50.550 Voyons si nous pouvons simplifier ceci un petit peu. 00:08:50.550 --> 00:08:53.550 La racine carrée de 108. 00:08:53.550 --> 00:08:54.930 Et ce que nous pouvons faire c'est prendre le premier 00:08:54.930 --> 00:08:56.670 facteur de 108 et voir comment nous pouvons 00:08:56.670 --> 00:08:58.410 simplifier ce radical. 00:08:58.410 --> 00:09:07.590 108 c'est donc la même chose que 2 fois 54, qui est la même 00:09:07.590 --> 00:09:15.570 chose comme 2 fois 27, qui est la même chose que 3 fois 9. 00:09:15.570 --> 00:09:19.780 Alors, nous avons la racine carrée de 108 qui est la même chose que la 00:09:19.780 --> 00:09:24.550 racine carrée de 2 fois 2 fois--bien en fait, 00:09:24.550 --> 00:09:25.520 ce n'est pas fini. 00:09:25.520 --> 00:09:28.760 9 peuvent être divisés en 3 fois 3. 00:09:28.760 --> 00:09:34.170 C'est donc 2 fois 2 fois 3 fois 3 fois 3. 00:09:34.170 --> 00:09:36.820 Et nous avons donc un couple de carrés parfaits ici. 00:09:36.820 --> 00:09:38.680 Permettez-moi de le refaire un peu plus clairement. 00:09:38.680 --> 00:09:41.160 Et c'est tout un exercice de simplification de radicaux que vous 00:09:41.160 --> 00:09:44.200 allez souvent croiser en faisant le théorème de Pythagore, 00:09:44.200 --> 00:09:46.460 Si cela ne fait pas de mal de le faire ici. 00:09:46.460 --> 00:09:55.820 Donc c'est la même chose que la racine carrée de 2 fois 2 00:09:55.820 --> 00:10:00.790 fois 3 fois 3 fois la racine carrée de ce dernier 00:10:00.790 --> 00:10:02.510 3 là-bas. 00:10:02.510 --> 00:10:04.090 Et c'est la même chose. 00:10:04.090 --> 00:10:05.785 Et, vous savez, vous n'avez pas besoin de faire tout 00:10:05.785 --> 00:10:07.960 ça sur le papier. 00:10:07.960 --> 00:10:08.970 Vous pourriez le faire dans votre tête. 00:10:08.970 --> 00:10:09.530 Qu'est-ce que c est? 00:10:09.530 --> 00:10:11.780 2 fois 2 c'est 4. 00:10:11.780 --> 00:10:14.200 4 fois 9, c'est 36. 00:10:14.200 --> 00:10:18.030 Donc c'est la racine carrée de 36 fois la racine carrée de 3. 00:10:18.030 --> 00:10:20.610 La racine principale de 36 est 6. 00:10:20.610 --> 00:10:25.380 Cela simplifie à 6 racines carrées de 3. 00:10:25.380 --> 00:10:28.730 Donc la longueur de B, vous pourriez l'écrire comme la racine carrée de 00:10:28.730 --> 00:10:34.040 108, ou vous pourriez dire que c'est égal à 6 fois la 00:10:34.040 --> 00:10:35.040 racine carrée de 3. 00:10:35.040 --> 00:10:37.150 Il s'agit de 12, c'est 6. 00:10:37.150 --> 00:10:40.580 Et la racine carrée de 3, bien cela va être un 1 00:10:40.580 --> 00:10:41.600 virgule quelque chose. 00:10:41.600 --> 00:10:45.360 Cela va donc être un peu plus de 6.