WEBVTT 00:00:00.530 --> 00:00:03.220 V tomto videu se seznámíme 00:00:03.220 --> 00:00:14.190 s Pythagorovou větou, která je zábavná sama o sobě. 00:00:14.190 --> 00:00:16.930 Až budete vědět víc o matematice, poznáte, 00:00:16.930 --> 00:00:21.570 že je to jedna ze základních vět celé matematiky. 00:00:21.570 --> 00:00:24.920 Je používaná v geometrii, 00:00:24.920 --> 00:00:26.750 tvoří základ trigonometrie. 00:00:26.750 --> 00:00:29.200 Také se dá požít na výpočet 00:00:29.200 --> 00:00:30.510 vzdáleností mezi body. 00:00:30.510 --> 00:00:33.810 Takže je důležité, abychom ji dobře znali. 00:00:33.810 --> 00:00:35.570 A dost řečí. 00:00:35.570 --> 00:00:38.320 Nechte mě vysvětlit, co Pythagorova věta doopravdy je. 00:00:38.320 --> 00:00:43.290 Mějme trojúhelník, ale musí to být pravoúhlý 00:00:43.290 --> 00:00:49.110 trojúhelník, to znamená, že jeden z tří úhlů 00:00:49.110 --> 00:00:51.520 v trojúhelníku musí mít 90 stupňů. 00:00:51.520 --> 00:00:54.580 To, že se jedná o 90 stupňů, zobrazíte tak, že nakreslíte 00:00:54.580 --> 00:00:55.930 malý čtverec přesně zde. 00:00:55.930 --> 00:00:58.830 Jen to nakreslím jinou barvou. 00:00:58.830 --> 00:01:05.550 Toto je úhel o velikosti 90 stupňů. 00:01:05.550 --> 00:01:09.930 Nebo mu říkejme pravý úhel. 00:01:09.930 --> 00:01:13.390 Trojúhelník, který má jeden pravý úhel, 00:01:13.390 --> 00:01:15.850 se jmenuje pravoúhlý trojúhelník. 00:01:15.850 --> 00:01:21.700 Tomuto říkáme pravoúhlý trojúhelník. 00:01:21.700 --> 00:01:25.440 Pomocí Pythagorovy věty můžeme, 00:01:25.440 --> 00:01:28.980 když známe dvě strany pravoúhlého trojúhelníku, 00:01:28.980 --> 00:01:30.920 určit třetí stranu. 00:01:30.920 --> 00:01:34.310 Ale než vám ukážu, jak to dělat, mám pro vás 00:01:34.310 --> 00:01:36.560 ještě trochu terminologie. 00:01:36.560 --> 00:01:43.230 Nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku je strana naproti 00:01:43.230 --> 00:01:46.690 úhlu o velikosti 90 stupňů, naproti pravému úhlu. 00:01:46.690 --> 00:01:49.650 V našem případě je to přesné tato strana. 00:01:49.650 --> 00:01:51.285 Tato strana je nejdelší. 00:01:51.285 --> 00:01:55.020 Která strana je nejdelší se dá určit tak, 00:01:55.020 --> 00:01:58.060 že je to strana naproti pravému úhlu. 00:01:58.060 --> 00:02:03.360 Nejdelší strana se jmenuje přepona. 00:02:03.360 --> 00:02:06.795 A to je dobré vědět, protože o ní budeme pořád mluvit. 00:02:06.795 --> 00:02:12.605 Abychom si byli jisti určováním přepony, nakreslím ještě pár trojúhelníků. 00:02:12.605 --> 00:02:17.090 Tak, řekněme, že máme trojúhleník, který vypadá takto. 00:02:17.090 --> 00:02:19.390 Jen to nakreslím trochu lépe. 00:02:19.390 --> 00:02:22.130 Řekněme, že máme trojúhleník, který vypadá takto. 00:02:22.130 --> 00:02:24.010 A kdybych vám řekl, že tento úhel 00:02:24.010 --> 00:02:25.390 je pravý úhel. 00:02:25.390 --> 00:02:29.860 V této situaci je tato strana přepona, protože je 00:02:29.860 --> 00:02:33.410 naproti pravému úhlu. 00:02:33.410 --> 00:02:34.880 Je to ta nejdelší strana. 00:02:34.880 --> 00:02:37.280 Nakreslím ještě jeden, abychom si byli jistí, 00:02:37.280 --> 00:02:39.420 která strana je přepona. 00:02:39.420 --> 00:02:44.050 Řekněme, že toto je můj trojúhelník, a tady je 00:02:44.050 --> 00:02:45.790 pravý úhel. 00:02:45.790 --> 00:02:47.710 A myslím si, že už víte, jak na to. 00:02:47.710 --> 00:02:49.620 Určíte stranu naproti pravému úhlu. 00:02:49.620 --> 00:02:51.530 To je přepona. 00:02:51.530 --> 00:02:57.240 Je to ta nejdelší strana. 00:02:57.240 --> 00:03:00.390 Když už máte určenou přeponu, řekněme, že 00:03:00.400 --> 00:03:02.050 má délku C. 00:03:02.050 --> 00:03:03.980 Teď se naučíme, co nám říká 00:03:03.980 --> 00:03:05.210 Pythagorova věta. 00:03:05.210 --> 00:03:08.680 Řekněme, že se C rovná délce přepony. 00:03:08.680 --> 00:03:11.630 Říkejme jí C, tato strana je C. 00:03:11.630 --> 00:03:17.910 Tuto stranu nazveme A. 00:03:17.910 --> 00:03:21.890 A tu poslední stranu B. 00:03:21.890 --> 00:03:28.620 Pythagorova věta nám říká, že A na druhou, 00:03:28.620 --> 00:03:32.880 délka jedné z kratších stran na druhou plus 00:03:32.880 --> 00:03:36.890 délka druhé z kratších stran na druhou 00:03:36.890 --> 00:03:41.370 se rovná délce přepony na druhou. 00:03:41.370 --> 00:03:43.740 Tak, teď to uděláme s konkrétními čísly a uvidíte, 00:03:43.740 --> 00:03:45.820 že to není tak složité. 00:03:45.820 --> 00:03:49.820 Řekněme, že mám trojúhelník, který vypadá takto. 00:03:49.820 --> 00:03:51.050 Jen ho nakreslím. 00:03:51.050 --> 00:03:54.210 Toto je můj trojúhelník. 00:03:54.210 --> 00:03:57.160 Vypadá asi takto. 00:03:57.160 --> 00:04:00.560 A řekněme, že tento úhel je pravý úhel. 00:04:00.560 --> 00:04:02.940 Že tato délka, nakreslím to jinou barvou, 00:04:02.940 --> 00:04:06.830 že tato délka je 3 a že 00:04:06.830 --> 00:04:09.170 tato délka je 4. 00:04:09.170 --> 00:04:14.490 A chceme zjistit délku poslední strany. 00:04:14.490 --> 00:04:17.130 První věc, kterou chceme udělat, ještě před použitím 00:04:17.130 --> 00:04:19.660 Pythagorovy věty, je uvědomit si, 00:04:19.660 --> 00:04:20.710 kde je přepona. 00:04:20.710 --> 00:04:23.350 Ujistěte se, že víte, co máte vypočítat. 00:04:23.350 --> 00:04:26.120 V tomto případě chceme zjistit přeponu. 00:04:26.120 --> 00:04:30.440 Víme to, protože tato strana je strana 00:04:30.440 --> 00:04:33.310 naproti pravému úhlu. 00:04:33.310 --> 00:04:36.540 Když se podíváme na Pythagorovu větu, tak toto je C. 00:04:36.540 --> 00:04:38.160 Je to nejdelší strana. 00:04:38.160 --> 00:04:41.920 Teď použijeme Pythagorovu větu. 00:04:41.920 --> 00:04:48.070 Říká nám, že 4 na druhou, jedna z kratších stran, plus 00:04:48.070 --> 00:04:53.260 3 na druhou, druhá kratší strana, 00:04:53.260 --> 00:04:56.080 se bude rovnat délce nejdelší strany na druhou, 00:04:56.080 --> 00:05:00.590 délce přepony na druhou, "C" na druhou. 00:05:00.590 --> 00:05:02.310 Teď už jenom vyřešíte rovnici pro C. 00:05:02.310 --> 00:05:06.380 4 na druhou je totéž, jako 4 krát 4. 00:05:06.380 --> 00:05:08.460 To je 16. 00:05:08.460 --> 00:05:11.910 A 3 na druhou je totéž, jako 3 krát 3. 00:05:11.910 --> 00:05:13.810 Takže to je 9. 00:05:13.810 --> 00:05:18.580 A to se rovná C na druhou. 00:05:18.580 --> 00:05:20.610 Kolik je 16 plus 9? 00:05:20.610 --> 00:05:22.480 Je to 25. 00:05:22.480 --> 00:05:25.195 Takže 25 se rovná C na druhou. 00:05:25.195 --> 00:05:29.020 Teď už jen vypočítáme druhou odmocninu z 25. 00:05:29.020 --> 00:05:30.960 No, když se na to podíváme čistě matematicky, 00:05:30.960 --> 00:05:33.160 tak řešením by mohlo být i -5. 00:05:33.160 --> 00:05:34.870 Ale my se bavíme o vzdálenostech, takže nás zajímá 00:05:34.870 --> 00:05:37.050 jenom kladný výsledek odmocniny. 00:05:37.050 --> 00:05:41.170 Tak vypočítáme odmocninu z 25 00:05:41.170 --> 00:05:44.280 a dostaneme 5, což se rovná C. 00:05:44.280 --> 00:05:50.260 Neboli délka nejdelší strany se rovná 5. 00:05:50.260 --> 00:05:52.330 Teď už umíte použít Pythagorovu větu, 00:05:52.330 --> 00:05:54.620 když jsou zadány dvě ze stran, na zjištění poslední strany, 00:05:54.620 --> 00:05:56.040 ať už je to kterákoliv strana. 00:05:56.040 --> 00:05:59.300 Zkusíme si ještě jiný příklad. 00:05:59.300 --> 00:06:10.670 Řekněme, že máme takový trojúhleník. 00:06:10.670 --> 00:06:12.610 A tady je náš pravý úhel. 00:06:12.610 --> 00:06:17.820 Mějme tuto stranu o délce 12 a 00:06:17.820 --> 00:06:21.080 druhou stranu o délce 6. 00:06:21.080 --> 00:06:27.210 A chceme zjistit délku této třetí strany. 00:06:27.210 --> 00:06:29.030 Tak, jak jsem už řekl, 00:06:29.030 --> 00:06:31.350 nejdříve potřebujete určit přeponu. 00:06:31.350 --> 00:06:34.130 Je to strana naproti pravému úhlu. 00:06:34.130 --> 00:06:35.550 Pravý úhel máme tady. 00:06:35.550 --> 00:06:37.650 Naproti pravému úhlu máme 00:06:37.650 --> 00:06:41.460 nejdelší stranu, přeponu. 00:06:41.460 --> 00:06:46.100 Když se zamyslíme nad Pythagorovou větou, 00:06:46.100 --> 00:06:50.820 A na druhou plus B na druhou se rovná C na druhou. 00:06:50.820 --> 00:06:52.220 Můžete si za C dosadit 12. 00:06:52.220 --> 00:06:54.740 To je přepona. 00:06:54.740 --> 00:06:56.670 C na druhou je přepona na druhou. 00:06:56.670 --> 00:06:59.030 Můžete říct, že 12 se rovná C. 00:06:59.030 --> 00:07:00.880 A potom můžeme říct, že u těchto stran nezáleží na tom, 00:07:00.880 --> 00:07:02.580 kterou z nich si pojmenujete A nebo B. 00:07:02.580 --> 00:07:04.970 Řekněme, že tato strana je A. 00:07:04.970 --> 00:07:06.990 Že se A rovná 6. 00:07:06.990 --> 00:07:11.360 A potom řekneme, že B... Tato barva. 00:07:11.360 --> 00:07:12.640 ...je naše neznámá. 00:07:12.640 --> 00:07:15.070 Použijeme Pythagorovu větu. 00:07:15.070 --> 00:07:25.940 "A" na druhou, což je 6 na druhou, plus "B" na druhou se rovná 00:07:25.940 --> 00:07:28.330 přepona na druhou, což se rovná 00:07:28.330 --> 00:07:29.760 "C" na druhou. 00:07:29.760 --> 00:07:33.250 To se rovná 12 na druhou. 00:07:33.250 --> 00:07:35.260 A teď vyřešíme rovnici pro "B". 00:07:35.260 --> 00:07:36.370 Jen si všimněte rozdílu. 00:07:36.370 --> 00:07:38.110 Teď nehledáme neznámou přeponu, 00:07:38.110 --> 00:07:40.210 teď hledáme jednu z kratších stran. 00:07:40.210 --> 00:07:42.790 V minulém případě jsme hledali přeponu. 00:07:42.790 --> 00:07:43.790 Počítali jsme "C". 00:07:43.790 --> 00:07:46.570 Proto je tak důležité rozpoznat ve vzorci 00:07:46.570 --> 00:07:48.640 "A" na druhou plus "B" na druhou se rovná "C" na druhou, 00:07:48.640 --> 00:07:49.670 že C je délka přepony. 00:07:49.670 --> 00:07:51.850 Tak teď dořešíme rovnici pro "B". 00:07:51.850 --> 00:07:59.280 Dostáváme, že 6 na druhou, což je 36, plus "B" na druhou 00:07:59.280 --> 00:08:04.700 se rovná 12 na druhou, to je 12 krát 12, což je 144. 00:08:04.700 --> 00:08:10.960 Nyní můžeme odečíst 36 od obou stran rovnice. 00:08:10.960 --> 00:08:13.270 Tyto se vzájemně vyruší. 00:08:13.270 --> 00:08:17.510 Na levé straně máme B na druhou 00:08:17.510 --> 00:08:23.410 a to se rovná, 144 mínus 36, což je? 00:08:23.410 --> 00:08:30.070 144 mínus 30 je 114, teď odečtu 6, to je 108. 00:08:30.080 --> 00:08:33.910 Bude to 108. 00:08:33.910 --> 00:08:36.630 Takže to je "B" na druhou. Chceme určit odmocninu, 00:08:36.630 --> 00:08:40.600 pouze její kladný kořen z obou stran. 00:08:40.600 --> 00:08:44.430 Dostaneme, že "B" se rovná odmocnině, 00:08:44.430 --> 00:08:48.650 kladné odmocnině ze 108. 00:08:48.650 --> 00:08:50.550 Podíváme se, jestli to můžeme trochu zjednodušit. 00:08:50.550 --> 00:08:53.550 Odmocnina ze 108. 00:08:53.550 --> 00:08:54.930 Můžeme vzít 108, 00:08:54.930 --> 00:08:56.670 rozložit ho na součin prvočísel 00:08:56.670 --> 00:08:58.410 a podívat se, jak zjednodušit odmocninu. 00:08:58.410 --> 00:09:07.590 Takže 108 se rovná 2 krát 54, 00:09:07.590 --> 00:09:15.570 což je 2 krát 27, a to je 3 krát 9. 00:09:15.570 --> 00:09:19.780 Máme zde odmocninu ze 108, což je totéž jako 00:09:19.780 --> 00:09:24.550 odmocnina ze 2 krát 2, ale to není všechno. 00:09:24.550 --> 00:09:25.520 Na něco jsem zapomněl. 00:09:25.520 --> 00:09:28.760 9 se rovná 3 krát 3. 00:09:28.760 --> 00:09:34.170 Takže to je 2 krát 2 krát 3 krát 3 krát 3. 00:09:34.170 --> 00:09:36.820 Tím dostáváme několik pěkných mocnin. 00:09:36.820 --> 00:09:38.680 Jenom to s dovolením přepíšu do pěknějšího tvaru. 00:09:38.680 --> 00:09:41.160 Rozklad čísla na součin prvočísel je něco, 00:09:41.160 --> 00:09:44.200 s čím se budete setkávat často, pokud budete používat Pythagorovu větu. 00:09:44.200 --> 00:09:46.460 Takže nemůže škodit si to trochu procvičit. 00:09:46.460 --> 00:09:55.820 Toto je totéž jako druhá odmocnina z 2 krát 2 krát 00:09:55.820 --> 00:10:00.790 3 krát 3, to celé krát odmocnina 00:10:00.790 --> 00:10:02.510 z poslední trojky, co tam byla. 00:10:02.510 --> 00:10:04.090 Je to totéž... 00:10:04.090 --> 00:10:05.785 Toto celé nemusíte počítat 00:10:05.785 --> 00:10:07.960 na papíře. 00:10:07.960 --> 00:10:08.970 Můžete to dělat z hlavy. 00:10:08.970 --> 00:10:09.530 Co je toto? 00:10:09.530 --> 00:10:11.780 2 krát 2 je 4. 00:10:11.780 --> 00:10:14.200 4 krát 9 je 36. 00:10:14.200 --> 00:10:18.030 Takže to je odmocnina z 36 krát odmocnina ze 3. 00:10:18.030 --> 00:10:20.610 Druhá odmocnina z 36 je 6. 00:10:20.610 --> 00:10:25.380 Zjednodušeně je to 6 odmocnin ze 3. 00:10:25.380 --> 00:10:28.730 Takže délka "B" je rovna 00:10:28.730 --> 00:10:34.040 odmocnině ze 108, nebo můžeme také říct, 00:10:34.040 --> 00:10:35.040 že je rovna 6 krát odmocnina ze 3. 00:10:35.040 --> 00:10:37.150 Toto je 12, toto je 6. 00:10:37.150 --> 00:10:40.580 Druhá odmocnina ze 3 je přibližně 00:10:40.580 --> 00:10:41.600 jedna celá něco málo. 00:10:41.600 --> 00:10:45.360 Takže toto bude rochu větší než šest.