1
00:00:00,530 --> 00:00:03,220
V tomto videu se seznámíme

2
00:00:03,220 --> 00:00:14,190
s Pythagorovou větou, 
která je zábavná sama o sobě.

3
00:00:14,190 --> 00:00:16,930
Až budete vědět víc o matematice, poznáte,

4
00:00:16,930 --> 00:00:21,570
že je to jedna
ze základních vět celé matematiky.

5
00:00:21,570 --> 00:00:24,920
Je používaná v geometrii,

6
00:00:24,920 --> 00:00:26,750
tvoří základ trigonometrie.

7
00:00:26,750 --> 00:00:29,200
Také se dá požít na výpočet

8
00:00:29,200 --> 00:00:30,510
vzdáleností mezi body.

9
00:00:30,510 --> 00:00:33,810
Takže je důležité, abychom ji dobře znali.

10
00:00:33,810 --> 00:00:35,570
A dost řečí.

11
00:00:35,570 --> 00:00:38,320
Nechte mě vysvětlit, 
co Pythagorova věta doopravdy je.

12
00:00:38,320 --> 00:00:43,290
Mějme trojúhelník,
ale musí to být pravoúhlý

13
00:00:43,290 --> 00:00:49,110
trojúhelník, to znamená,
že jeden z tří úhlů

14
00:00:49,110 --> 00:00:51,520
v trojúhelníku musí mít 90 stupňů.

15
00:00:51,520 --> 00:00:54,580
To, že se jedná o 90 stupňů, 
zobrazíte tak, že nakreslíte

16
00:00:54,580 --> 00:00:55,930
malý čtverec přesně zde.

17
00:00:55,930 --> 00:00:58,830
Jen to nakreslím jinou barvou.

18
00:00:58,830 --> 00:01:05,550
Toto je úhel o velikosti 90 stupňů.

19
00:01:05,550 --> 00:01:09,930
Nebo mu říkejme pravý úhel.

20
00:01:09,930 --> 00:01:13,390
Trojúhelník, který má jeden pravý úhel,

21
00:01:13,390 --> 00:01:15,850
se jmenuje pravoúhlý trojúhelník.

22
00:01:15,850 --> 00:01:21,700
Tomuto říkáme pravoúhlý trojúhelník.

23
00:01:21,700 --> 00:01:25,440
Pomocí Pythagorovy věty můžeme,

24
00:01:25,440 --> 00:01:28,980
když známe dvě strany
pravoúhlého trojúhelníku,

25
00:01:28,980 --> 00:01:30,920
určit třetí stranu.

26
00:01:30,920 --> 00:01:34,310
Ale než vám ukážu, jak to dělat, 
mám pro vás

27
00:01:34,310 --> 00:01:36,560
ještě trochu terminologie.

28
00:01:36,560 --> 00:01:43,230
Nejdelší strana pravoúhlého
trojúhelníku je strana naproti

29
00:01:43,230 --> 00:01:46,690
úhlu o velikosti 90 stupňů, 
naproti pravému úhlu.

30
00:01:46,690 --> 00:01:49,650
V našem případě je to přesné tato strana.

31
00:01:49,650 --> 00:01:51,285
Tato strana je nejdelší.

32
00:01:51,285 --> 00:01:55,020
Která strana je nejdelší
se dá určit tak,

33
00:01:55,020 --> 00:01:58,060
že je to strana naproti pravému úhlu.

34
00:01:58,060 --> 00:02:03,360
Nejdelší strana se jmenuje přepona.

35
00:02:03,360 --> 00:02:06,795
A to je dobré vědět,
protože o ní budeme pořád mluvit.

36
00:02:06,795 --> 00:02:12,605
Abychom si byli jisti určováním přepony,
nakreslím ještě pár trojúhelníků.

37
00:02:12,605 --> 00:02:17,090
Tak, řekněme, že máme trojúhleník,
který vypadá takto.

38
00:02:17,090 --> 00:02:19,390
Jen to nakreslím trochu lépe.

39
00:02:19,390 --> 00:02:22,130
Řekněme, že máme trojúhleník,
který vypadá takto.

40
00:02:22,130 --> 00:02:24,010
A kdybych vám řekl, že tento úhel

41
00:02:24,010 --> 00:02:25,390
je pravý úhel.

42
00:02:25,390 --> 00:02:29,860
V této situaci je tato strana přepona,
protože je

43
00:02:29,860 --> 00:02:33,410
naproti pravému úhlu.

44
00:02:33,410 --> 00:02:34,880
Je to ta nejdelší strana.

45
00:02:34,880 --> 00:02:37,280
Nakreslím ještě jeden,
abychom si byli jistí,

46
00:02:37,280 --> 00:02:39,420
která strana je přepona.

47
00:02:39,420 --> 00:02:44,050
Řekněme, že toto je
můj trojúhelník, a tady je

48
00:02:44,050 --> 00:02:45,790
pravý úhel.

49
00:02:45,790 --> 00:02:47,710
A myslím si, že už víte, jak na to.

50
00:02:47,710 --> 00:02:49,620
Určíte stranu naproti pravému úhlu.

51
00:02:49,620 --> 00:02:51,530
To je přepona.

52
00:02:51,530 --> 00:02:57,240
Je to ta nejdelší strana.

53
00:02:57,240 --> 00:03:00,390
Když už máte určenou přeponu, řekněme, že

54
00:03:00,400 --> 00:03:02,050
má délku C.

55
00:03:02,050 --> 00:03:03,980
Teď se naučíme, co nám říká

56
00:03:03,980 --> 00:03:05,210
Pythagorova věta.

57
00:03:05,210 --> 00:03:08,680
Řekněme, že se C rovná délce přepony.

58
00:03:08,680 --> 00:03:11,630
Říkejme jí C, tato strana je C.

59
00:03:11,630 --> 00:03:17,910
Tuto stranu nazveme A.

60
00:03:17,910 --> 00:03:21,890
A tu poslední stranu B.

61
00:03:21,890 --> 00:03:28,620
Pythagorova věta nám říká, že A na druhou,

62
00:03:28,620 --> 00:03:32,880
délka jedné z kratších stran na druhou
plus

63
00:03:32,880 --> 00:03:36,890
délka druhé z kratších stran na druhou

64
00:03:36,890 --> 00:03:41,370
se rovná délce přepony na druhou.

65
00:03:41,370 --> 00:03:43,740
Tak, teď to uděláme
s konkrétními čísly a uvidíte,

66
00:03:43,740 --> 00:03:45,820
že to není tak složité.

67
00:03:45,820 --> 00:03:49,820
Řekněme, že mám trojúhelník,
který vypadá takto.

68
00:03:49,820 --> 00:03:51,050
Jen ho nakreslím.

69
00:03:51,050 --> 00:03:54,210
Toto je můj trojúhelník.

70
00:03:54,210 --> 00:03:57,160
Vypadá asi takto.

71
00:03:57,160 --> 00:04:00,560
A řekněme, že tento úhel je pravý úhel.

72
00:04:00,560 --> 00:04:02,940
Že tato délka,
nakreslím to jinou barvou,

73
00:04:02,940 --> 00:04:06,830
že tato délka je 3 a že

74
00:04:06,830 --> 00:04:09,170
tato délka je 4.

75
00:04:09,170 --> 00:04:14,490
A chceme zjistit délku poslední strany.

76
00:04:14,490 --> 00:04:17,130
První věc, kterou chceme udělat,
ještě před použitím

77
00:04:17,130 --> 00:04:19,660
Pythagorovy věty, je uvědomit si,

78
00:04:19,660 --> 00:04:20,710
kde je přepona.

79
00:04:20,710 --> 00:04:23,350
Ujistěte se, že víte, co máte vypočítat.

80
00:04:23,350 --> 00:04:26,120
V tomto případě chceme zjistit přeponu.

81
00:04:26,120 --> 00:04:30,440
Víme to, protože tato strana je strana

82
00:04:30,440 --> 00:04:33,310
naproti pravému úhlu.

83
00:04:33,310 --> 00:04:36,540
Když se podíváme na Pythagorovu větu,
tak toto je C.

84
00:04:36,540 --> 00:04:38,160
Je to nejdelší strana.

85
00:04:38,160 --> 00:04:41,920
Teď použijeme Pythagorovu větu.

86
00:04:41,920 --> 00:04:48,070
Říká nám, že 4 na druhou,
jedna z kratších stran, plus

87
00:04:48,070 --> 00:04:53,260
3 na druhou, druhá kratší strana,

88
00:04:53,260 --> 00:04:56,080
se bude rovnat délce
nejdelší strany na druhou,

89
00:04:56,080 --> 00:05:00,590
délce přepony na druhou, "C" na druhou.

90
00:05:00,590 --> 00:05:02,310
Teď už jenom vyřešíte rovnici pro C.

91
00:05:02,310 --> 00:05:06,380
4 na druhou je totéž, 
jako 4 krát 4.

92
00:05:06,380 --> 00:05:08,460
To je 16.

93
00:05:08,460 --> 00:05:11,910
A 3 na druhou je totéž, 
jako 3 krát 3.

94
00:05:11,910 --> 00:05:13,810
Takže to je 9.

95
00:05:13,810 --> 00:05:18,580
A to se rovná C na druhou.

96
00:05:18,580 --> 00:05:20,610
Kolik je 16 plus 9?

97
00:05:20,610 --> 00:05:22,480
Je to 25.

98
00:05:22,480 --> 00:05:25,195
Takže 25 se rovná C na druhou.

99
00:05:25,195 --> 00:05:29,020
Teď už jen vypočítáme 
druhou odmocninu z 25.

100
00:05:29,020 --> 00:05:30,960
No, když se na to podíváme
čistě matematicky,

101
00:05:30,960 --> 00:05:33,160
tak řešením by mohlo být i -5.

102
00:05:33,160 --> 00:05:34,870
Ale my se bavíme o vzdálenostech, 
takže nás zajímá

103
00:05:34,870 --> 00:05:37,050
jenom kladný výsledek odmocniny.

104
00:05:37,050 --> 00:05:41,170
Tak vypočítáme odmocninu z 25

105
00:05:41,170 --> 00:05:44,280
a dostaneme 5, což se rovná C.

106
00:05:44,280 --> 00:05:50,260
Neboli délka nejdelší strany se rovná 5.

107
00:05:50,260 --> 00:05:52,330
Teď už umíte použít Pythagorovu větu,

108
00:05:52,330 --> 00:05:54,620
když jsou zadány dvě ze stran,
na zjištění poslední strany,

109
00:05:54,620 --> 00:05:56,040
ať už je to kterákoliv strana.

110
00:05:56,040 --> 00:05:59,300
Zkusíme si ještě jiný příklad.

111
00:05:59,300 --> 00:06:10,670
Řekněme, že máme takový trojúhleník.

112
00:06:10,670 --> 00:06:12,610
A tady je náš pravý úhel.

113
00:06:12,610 --> 00:06:17,820
Mějme tuto stranu o délce 12 a

114
00:06:17,820 --> 00:06:21,080
druhou stranu o délce 6.

115
00:06:21,080 --> 00:06:27,210
A chceme zjistit délku této třetí strany.

116
00:06:27,210 --> 00:06:29,030
Tak, jak jsem už řekl,

117
00:06:29,030 --> 00:06:31,350
nejdříve potřebujete určit přeponu.

118
00:06:31,350 --> 00:06:34,130
Je to strana naproti pravému úhlu.

119
00:06:34,130 --> 00:06:35,550
Pravý úhel máme tady.

120
00:06:35,550 --> 00:06:37,650
Naproti pravému úhlu máme

121
00:06:37,650 --> 00:06:41,460
nejdelší stranu, přeponu.

122
00:06:41,460 --> 00:06:46,100
Když se zamyslíme nad Pythagorovou větou,

123
00:06:46,100 --> 00:06:50,820
A na druhou plus B na druhou
se rovná C na druhou.

124
00:06:50,820 --> 00:06:52,220
Můžete si za C dosadit 12.

125
00:06:52,220 --> 00:06:54,740
To je přepona.

126
00:06:54,740 --> 00:06:56,670
C na druhou je přepona na druhou.

127
00:06:56,670 --> 00:06:59,030
Můžete říct, že 12 se rovná C.

128
00:06:59,030 --> 00:07:00,880
A potom můžeme říct,
že u těchto stran nezáleží na tom,

129
00:07:00,880 --> 00:07:02,580
kterou z nich si pojmenujete A nebo B.

130
00:07:02,580 --> 00:07:04,970
Řekněme, že tato strana je A.

131
00:07:04,970 --> 00:07:06,990
Že se A rovná 6.

132
00:07:06,990 --> 00:07:11,360
A potom řekneme, že B...
Tato barva.

133
00:07:11,360 --> 00:07:12,640
...je naše neznámá.

134
00:07:12,640 --> 00:07:15,070
Použijeme Pythagorovu větu.

135
00:07:15,070 --> 00:07:25,940
"A" na druhou, což je 6 na druhou,
plus "B" na druhou se rovná

136
00:07:25,940 --> 00:07:28,330
přepona na druhou, což se rovná

137
00:07:28,330 --> 00:07:29,760
"C" na druhou.

138
00:07:29,760 --> 00:07:33,250
To se rovná 12 na druhou.

139
00:07:33,250 --> 00:07:35,260
A teď vyřešíme rovnici pro "B".

140
00:07:35,260 --> 00:07:36,370
Jen si všimněte rozdílu.

141
00:07:36,370 --> 00:07:38,110
Teď nehledáme neznámou přeponu,

142
00:07:38,110 --> 00:07:40,210
teď hledáme jednu z kratších stran.

143
00:07:40,210 --> 00:07:42,790
V minulém případě jsme hledali přeponu.

144
00:07:42,790 --> 00:07:43,790
Počítali jsme "C".

145
00:07:43,790 --> 00:07:46,570
Proto je tak důležité rozpoznat ve vzorci

146
00:07:46,570 --> 00:07:48,640
"A" na druhou plus "B" na druhou
se rovná "C" na druhou,

147
00:07:48,640 --> 00:07:49,670
že C je délka přepony.

148
00:07:49,670 --> 00:07:51,850
Tak teď dořešíme rovnici pro "B".

149
00:07:51,850 --> 00:07:59,280
Dostáváme, že 6 na druhou, což je 36, 
plus "B" na druhou

150
00:07:59,280 --> 00:08:04,700
se rovná 12 na druhou,
to je 12 krát 12, což je 144.

151
00:08:04,700 --> 00:08:10,960
Nyní můžeme odečíst 36
od obou stran rovnice.

152
00:08:10,960 --> 00:08:13,270
Tyto se vzájemně vyruší.

153
00:08:13,270 --> 00:08:17,510
Na levé straně 
máme B na druhou

154
00:08:17,510 --> 00:08:23,410
a to se rovná, 144 mínus 36, což je?

155
00:08:23,410 --> 00:08:30,070
144 mínus 30 je 114,
teď odečtu 6, to je 108.

156
00:08:30,080 --> 00:08:33,910
Bude to 108.

157
00:08:33,910 --> 00:08:36,630
Takže to je "B" na druhou. 
Chceme určit odmocninu,

158
00:08:36,630 --> 00:08:40,600
pouze její kladný kořen
z obou stran.

159
00:08:40,600 --> 00:08:44,430
Dostaneme, že "B" se rovná odmocnině,

160
00:08:44,430 --> 00:08:48,650
kladné odmocnině ze 108.

161
00:08:48,650 --> 00:08:50,550
Podíváme se, 
jestli to můžeme trochu zjednodušit.

162
00:08:50,550 --> 00:08:53,550
Odmocnina ze 108.

163
00:08:53,550 --> 00:08:54,930
Můžeme vzít 108,

164
00:08:54,930 --> 00:08:56,670
rozložit ho na součin prvočísel

165
00:08:56,670 --> 00:08:58,410
a podívat se,
jak zjednodušit odmocninu.

166
00:08:58,410 --> 00:09:07,590
Takže 108 se rovná 2 krát 54,

167
00:09:07,590 --> 00:09:15,570
což je 2 krát 27, a to je 3 krát 9.

168
00:09:15,570 --> 00:09:19,780
Máme zde odmocninu ze 108,
což je totéž jako

169
00:09:19,780 --> 00:09:24,550
odmocnina ze 2 krát 2,
ale to není všechno.

170
00:09:24,550 --> 00:09:25,520
Na něco jsem zapomněl.

171
00:09:25,520 --> 00:09:28,760
9 se rovná 3 krát 3.

172
00:09:28,760 --> 00:09:34,170
Takže to je 2 krát 2 krát 
3 krát 3 krát 3.

173
00:09:34,170 --> 00:09:36,820
Tím dostáváme několik pěkných mocnin.

174
00:09:36,820 --> 00:09:38,680
Jenom to s dovolením 
přepíšu do pěknějšího tvaru.

175
00:09:38,680 --> 00:09:41,160
Rozklad čísla na součin prvočísel je něco,

176
00:09:41,160 --> 00:09:44,200
s čím se budete setkávat často,
pokud budete používat Pythagorovu větu.

177
00:09:44,200 --> 00:09:46,460
Takže nemůže škodit
si to trochu procvičit.

178
00:09:46,460 --> 00:09:55,820
Toto je totéž jako
druhá odmocnina z 2 krát 2 krát

179
00:09:55,820 --> 00:10:00,790
3 krát 3, to celé krát odmocnina

180
00:10:00,790 --> 00:10:02,510
z poslední trojky, co tam byla.

181
00:10:02,510 --> 00:10:04,090
Je to totéž...

182
00:10:04,090 --> 00:10:05,785
Toto celé nemusíte počítat

183
00:10:05,785 --> 00:10:07,960
na papíře.

184
00:10:07,960 --> 00:10:08,970
Můžete to dělat z hlavy.

185
00:10:08,970 --> 00:10:09,530
Co je toto?

186
00:10:09,530 --> 00:10:11,780
2 krát 2 je 4.

187
00:10:11,780 --> 00:10:14,200
4 krát 9 je 36.

188
00:10:14,200 --> 00:10:18,030
Takže to je odmocnina z 36
krát odmocnina ze 3.

189
00:10:18,030 --> 00:10:20,610
Druhá odmocnina z 36 je 6.

190
00:10:20,610 --> 00:10:25,380
Zjednodušeně je to 6 odmocnin ze 3.

191
00:10:25,380 --> 00:10:28,730
Takže délka "B" je rovna

192
00:10:28,730 --> 00:10:34,040
odmocnině ze 108, 
nebo můžeme také říct,

193
00:10:34,040 --> 00:10:35,040
že je rovna 6 krát odmocnina ze 3.

194
00:10:35,040 --> 00:10:37,150
Toto je 12, toto je 6.

195
00:10:37,150 --> 00:10:40,580
Druhá odmocnina ze 3 je přibližně

196
00:10:40,580 --> 00:10:41,600
jedna celá něco málo.

197
00:10:41,600 --> 00:10:45,360
Takže toto bude rochu větší než šest.