1
00:00:00,500 --> 00:00:03,200
В това видео ще се запознаем с

2
00:00:03,200 --> 00:00:14,100
прословутата Питагорова теорема, 
която е доста приложима и забавна.

3
00:00:14,100 --> 00:00:16,900
Като изучаваме по-подробно 
математика, ще видим, че тя е

4
00:00:16,900 --> 00:00:21,500
една от основните теореми.

5
00:00:21,500 --> 00:00:24,900
Аритметичните знания се прилагат
в геометрията и тя е нещо като гръбнак

6
00:00:24,900 --> 00:00:26,700
на раздела от математиката, наречен ТРИГОНОМЕТРИЯ.

7
00:00:26,700 --> 00:00:29,200
Често ще я използваме, за да изчисляваме разстоянието

8
00:00:29,200 --> 00:00:30,500
между две точки, зададени в координатен вид.

9
00:00:30,500 --> 00:00:33,800
Затова би било хубаво наистина
да сме сигурни, че я познаваме добре.

10
00:00:33,800 --> 00:00:35,500
Стига общи приказки.

11
00:00:35,500 --> 00:00:38,300
Нека ти кажа какво всъщност 
представлява Питагоровата теорема.

12
00:00:38,300 --> 00:00:43,200
Имаме триъгълник и той трябва да е правоъгълен,

13
00:00:43,200 --> 00:00:49,100
което значи, че мярката на един от трите му ъгъла

14
00:00:49,100 --> 00:00:51,500
трябва да е 90 градуса.

15
00:00:51,500 --> 00:00:54,500
За удобство, вместо да отбелязваме,
че ъгълът е 90 градуса,

16
00:00:54,500 --> 00:00:55,900
чертаем малка кутийка ето тук, при върха на този ъгъл.

17
00:00:55,900 --> 00:00:58,800
И така това тук, нека го оцветя с различен

18
00:00:58,800 --> 00:01:05,500
цвят, е ъгъл, чиято мярка е 90 градуса.

19
00:01:05,500 --> 00:01:09,900
За удобство такъв ъгъл наричаме ПРАВ ъгъл.

20
00:01:09,900 --> 00:01:13,300
Естествено е триъгълник, който има прав ъгъл,

21
00:01:13,300 --> 00:01:15,800
да се нарича ПРАВОЪГЪЛЕН.

22
00:01:15,800 --> 00:01:21,700
Значи ето този триъгълник е правоъгълен триъгълник.

23
00:01:21,700 --> 00:01:25,400
Смисълът на Питагоровата теорема е, че 
ако знаем дължините на две от страните

24
00:01:25,400 --> 00:01:28,900
на правоъгълен триъгълник, винаги можем да намерим

25
00:01:28,900 --> 00:01:30,900
и дължината на третата му страна.

26
00:01:30,900 --> 00:01:34,300
Но преди да ви покажа как става това, 
нека ви обясня

27
00:01:34,300 --> 00:01:36,500
още един важен термин.

28
00:01:36,500 --> 00:01:43,200
Най-дългата страна във всеки 
правоъгълен триъгълник е страната срещу

29
00:01:43,200 --> 00:01:46,600
ъгъла, равен на 90 градуса (или срещу правия ъгъл).

30
00:01:46,600 --> 00:01:49,600
В този случай това е ето тази страна.

31
00:01:49,600 --> 00:01:51,200
Ето тази е най-дългата страна.

32
00:01:51,200 --> 00:01:55,000
Тя като че ли загражда правоъгълния триъгълник -

33
00:01:55,000 --> 00:01:58,000
най-големият ъгъл сякаш се разтваря, 
докато стигне краищата на най-дълга страна.

34
00:01:58,000 --> 00:02:03,070
Именно най-дългата страна се нарича ХИПОТЕНУЗА.

35
00:02:03,070 --> 00:02:06,395
Много е важно да овладеем термина,
защото често се използва.

36
00:02:06,395 --> 00:02:09,500
За да се научиш да разпознаваш хипотенузата,

37
00:02:09,500 --> 00:02:12,500
ще начертая още няколко правоъгълни триъгълници.

38
00:02:12,500 --> 00:02:17,000
Нека продължим като кажем, 
че имам триъгълник, който изглежда така.

39
00:02:17,000 --> 00:02:19,300
Ще го начертая още по-добре.

40
00:02:19,300 --> 00:02:22,100
Да кажем, че имам ето такъв триъгълник

41
00:02:22,100 --> 00:02:24,000
и че мярката на този ъгъл ето тук

42
00:02:24,000 --> 00:02:25,300
е 90 градуса.

43
00:02:25,300 --> 00:02:29,800
В случая тази страна е хипотенузата, защото тя се

44
00:02:29,800 --> 00:02:33,400
намира срещу ъгъла, равен на 90 градуса.

45
00:02:33,400 --> 00:02:34,800
Тя е най-дългата страна.

46
00:02:34,800 --> 00:02:36,600
Нека начертая още един правоъгълен 
триъгълник, за да сме сигурни, че

47
00:02:36,600 --> 00:02:39,400
сме се научили да разпознаваме хипотенузата.

48
00:02:39,400 --> 00:02:44,000
Да кажем, че това е правоъгълният триъгълник, а ето това е

49
00:02:44,000 --> 00:02:45,700
ъгълът, чиято мярка е 90 градуса.

50
00:02:45,700 --> 00:02:47,700
Мисля, че вече знаеш как се прави.

51
00:02:47,700 --> 00:02:49,600
Стигаш до мястото, до което се "разтваря" триъгълникът.

52
00:02:49,600 --> 00:02:51,500
Тази страна е хипотенузата -

53
00:02:51,500 --> 00:02:53,200
тя е и най-дългата страна.

54
00:02:53,200 --> 00:02:57,900
След като разпознахме 
хипотенузата (нека означим,

55
00:03:00,400 --> 00:03:02,000
дължината ѝ с числото С ),

56
00:03:02,000 --> 00:03:03,900
ще научим какво гласи

57
00:03:03,900 --> 00:03:05,200
Питагоровата теорема.

58
00:03:05,200 --> 00:03:08,600
Да кажем, че хипотенузата е с дължина С.

59
00:03:08,600 --> 00:03:11,600
Като кажем, че това е С, ще разбираме, 
че това е страната С.

60
00:03:11,600 --> 00:03:17,900
Тази по-късата тук пък ще отбележим с А,

61
00:03:17,900 --> 00:03:21,800
а това тук е другата по-къса страна, означена с В.

62
00:03:21,800 --> 00:03:28,600
Питагоровата теорема гласи: във всеки правоъгълен триъгълник А на квадрат,

63
00:03:28,600 --> 00:03:32,800
дължината на една от по-късите страни на квадрат плюс

64
00:03:32,800 --> 00:03:36,800
дължината на другата по-къса страна на квадрат

65
00:03:36,800 --> 00:03:41,300
винаги е равна на дължината на хипотенузата на квадрат.

66
00:03:41,300 --> 00:03:43,700
Да решим една задача и ще видиш,

67
00:03:43,700 --> 00:03:45,800
че всъщност не е толкова трудно
колкото изглежда.

68
00:03:45,800 --> 00:03:49,800
Да кажем, че имам триъгълник, който изглежда така.

69
00:03:49,800 --> 00:03:51,000
Нека го начертая.

70
00:03:51,000 --> 00:03:54,200
Ето това е моят правоъгълен триъгълник.

71
00:03:54,200 --> 00:03:57,100
Изглежда подобно на това.

72
00:03:57,100 --> 00:04:00,500
Нека ни е дадено, че този ъгъл тук е правия ъгъл,

73
00:04:00,500 --> 00:04:02,900
че дължината на това, нека го оцветя с друг цвят...

74
00:04:02,900 --> 00:04:06,800
Че дължината на този катет тук е числото 3 и

75
00:04:06,800 --> 00:04:09,100
че дължината на другия катет е числото 4.

76
00:04:09,100 --> 00:04:14,400
Задачата ни е да изчислим дължината
на третата страна, тази тук.

77
00:04:14,400 --> 00:04:17,100
Първото нещо, което трябва да направим, преди да използваме

78
00:04:17,100 --> 00:04:19,600
Питагоровата теорема, е да се уверим, че знаем коя страна е

79
00:04:19,600 --> 00:04:20,700
хипотенузата.

80
00:04:20,700 --> 00:04:23,300
Уверяваме се, че знаем какво се търси.

81
00:04:23,300 --> 00:04:26,100
В случая търсим дължината на хипотенузата.

82
00:04:26,100 --> 00:04:30,400
Знаем това, защото тази страна тук е страната

83
00:04:30,400 --> 00:04:33,300
срещу правия ъгъл.

84
00:04:33,300 --> 00:04:36,500
Според Питагоровата теорема 
това е страната означена с С,

85
00:04:36,500 --> 00:04:38,100
най-дългата страна.

86
00:04:38,100 --> 00:04:41,900
Вече сме готови да използваме теоремата.

87
00:04:41,900 --> 00:04:48,000
Тя гласи, че 4 (дължината на една от по-късите страни) на квадрат плюс

88
00:04:48,000 --> 00:04:53,200
3 (дължината на другата по-къса страна) на квадрат

89
00:04:53,200 --> 00:04:56,000
е равно на дължината на най-дългата страна на квадрат

90
00:04:56,000 --> 00:05:00,500
(дължината на хипотенузата на квадрат), което пък е означено с С на квадрат.

91
00:05:00,500 --> 00:05:02,300
Сега просто търсим стойността на С.

92
00:05:02,300 --> 00:05:06,300
И така, 4 на квадрат е равно на 4 по 4,

93
00:05:06,300 --> 00:05:08,400
което прави 16.

94
00:05:08,400 --> 00:05:11,900
3 на квадрат е равно на 3 по 3,

95
00:05:11,900 --> 00:05:13,800
което е 9.

96
00:05:13,800 --> 00:05:18,500
Сборът на тези две числа ще е равен на С на квадрат.

97
00:05:18,500 --> 00:05:20,600
Колко е 16+9?

98
00:05:20,600 --> 00:05:22,400
25.

99
00:05:22,400 --> 00:05:25,100
И така 25 е равно на С на квадрат.

100
00:05:25,100 --> 00:05:29,000
Вземаме положителните стойности 
на квадратните корени на двете страни...

101
00:05:29,000 --> 00:05:30,900
Предполагам, че от математическа гледна точка можем

102
00:05:30,900 --> 00:05:33,100
да получим и -5,

103
00:05:33,100 --> 00:05:34,800
но сега изчисляваме за разстояния, затова ни интересуват

104
00:05:34,800 --> 00:05:37,000
само неотрицателните им стойности.

105
00:05:37,000 --> 00:05:41,100
И така като изчислим двете страни,

106
00:05:41,100 --> 00:05:44,200
получаваме, че стойността на числото, 
означено с С е равна на 5,

107
00:05:44,200 --> 00:05:50,200
или иначе казано - дължината на 
най-дългата страна е числото 5.

108
00:05:50,200 --> 00:05:52,600
Сега вече винаги можеш да използваш
Питагоровата теорема, ако са дадени дължините

109
00:05:52,600 --> 00:05:54,600
на две от страните и търсиш
дължината на третата без значение

110
00:05:54,600 --> 00:05:55,600
коя е тя, катет или хипотенуза.

111
00:05:55,600 --> 00:05:59,300
Да решим още една задача.

112
00:05:59,300 --> 00:06:10,600
Правоъгълният триъгълник изглежда така

113
00:06:10,600 --> 00:06:12,600
и този е правия ъгъл.

114
00:06:12,600 --> 00:06:17,800
Да кажем, че дължината на тази страна е 12,

115
00:06:17,800 --> 00:06:21,000
а пък тази страна тук е с дължина 6.

116
00:06:21,000 --> 00:06:27,200
Търсим дължината на третата страна, тази тук.

117
00:06:27,200 --> 00:06:29,800
Както казах, първата стъпка е

118
00:06:29,800 --> 00:06:31,300
да се определи коя от трите страни е хипотенузата.

119
00:06:31,300 --> 00:06:34,100
Знаем, че тя е страната срещу правия ъгъл.

120
00:06:34,100 --> 00:06:35,500
Ето го правия ъгъл тук,

121
00:06:35,500 --> 00:06:37,600
търсим страната срещу него.

122
00:06:37,600 --> 00:06:41,400
Най-дългата страна, хипотенузата, ето я тук.

123
00:06:41,400 --> 00:06:46,100
Ако се върнем на Питагоровата теорема,

124
00:06:46,100 --> 00:06:50,800
А на квадрат, плюс В на квадрат е равно на С на квадрат,

125
00:06:50,800 --> 00:06:52,200
12 се въвежда вместо С.

126
00:06:52,200 --> 00:06:54,700
Това е хипотенузата.

127
00:06:54,700 --> 00:06:56,600
С на квадрат означава хипотенузата на квадрат.

128
00:06:56,600 --> 00:06:59,000
Значи можем да кажем, че 12 е равно на С

129
00:06:59,000 --> 00:07:00,800
и тогава имаме още две страни, като няма значение

130
00:07:00,800 --> 00:07:02,500
точно коя от другите страни 
ще означим с А или с В.

131
00:07:02,500 --> 00:07:04,900
Да означим първо дължината на тази страна,

132
00:07:04,900 --> 00:07:06,900
да кажем, че А е равно на 6,

133
00:07:06,900 --> 00:07:11,700
и после В, това оцветеното В,

134
00:07:11,700 --> 00:07:12,600
ще е неизвестно.

135
00:07:12,600 --> 00:07:15,000
Сега прилагаме Питагоровата теорема.

136
00:07:15,000 --> 00:07:25,900
А на квадрат, което е 6 на квадрат, плюс неизвестното В

137
00:07:25,900 --> 00:07:28,300
е равно на квадрата на хипотенузата,

138
00:07:28,300 --> 00:07:29,700
равно е на С на квадрат,

139
00:07:29,700 --> 00:07:33,200
което е 12 на квадрат.

140
00:07:33,200 --> 00:07:35,200
Сега решаваме уравнението
спрямо неизвестното, означено с В.

141
00:07:35,200 --> 00:07:36,300
Обърни внимание на разликата -

142
00:07:36,300 --> 00:07:38,100
сега не търсим дължината на хипотенузата,

143
00:07:38,100 --> 00:07:40,200
а дължината на един от катетите.

144
00:07:40,200 --> 00:07:42,700
В предишната задача търсехме
дължината на хипотенузата,

145
00:07:42,700 --> 00:07:43,700
търсехме стойността на С.

146
00:07:43,700 --> 00:07:46,500
Затова е важно да е ясно, че

147
00:07:46,500 --> 00:07:49,100
А на квадрат плюс В на квадрат
е равно на С на квадрат,

148
00:07:49,100 --> 00:07:49,600
като с С е означена дължината на хипотенузата.

149
00:07:49,600 --> 00:07:51,800
Да намерим стойността на неизвестното В.

150
00:07:51,800 --> 00:07:59,200
6 на квадрат е 36, плюс В на квадрат е равно

151
00:07:59,200 --> 00:08:04,700
на 12 на квадрат, което е 12 по 12, 144.

152
00:08:04,700 --> 00:08:08,500
Вадим числото 36 от двете страни на уравнението.

153
00:08:08,500 --> 00:08:11,400
Тези се съкращават.

154
00:08:13,200 --> 00:08:17,500
От лявата страна остана само В на квадрат

155
00:08:17,500 --> 00:08:23,400
равно на… Колко е 144 минус 36?

156
00:08:23,400 --> 00:08:30,020
144 - 30 е 114. Вадим още 6 и получаваме 108.

157
00:08:30,020 --> 00:08:33,900
Излиза 108.

158
00:08:33,900 --> 00:08:36,600
В на квадрат се получава толкова и сега трябва

159
00:08:36,600 --> 00:08:40,600
да намерим положителните 
стойности на двете страни.

160
00:08:40,600 --> 00:08:44,400
Излиза, че В е равно на корен квадратен

161
00:08:44,400 --> 00:08:48,600
от 108.

162
00:08:48,600 --> 00:08:50,500
Да видим дали не можем да опростим този израз.

163
00:08:50,500 --> 00:08:53,500
Квадратен корен от 108.

164
00:08:53,500 --> 00:08:54,900
Бихме могли да разложим

165
00:08:54,900 --> 00:08:56,600
числото 108 на произведение от множители и да видим

166
00:08:56,600 --> 00:08:58,400
как да опростим записа.

167
00:08:58,400 --> 00:09:07,500
108 е равно на 2 по 54,

168
00:09:07,500 --> 00:09:15,500
което пък е 2 по 27, което е 3 по 9.

169
00:09:15,500 --> 00:09:19,700
Квадратният корен на 108 е същото

170
00:09:19,700 --> 00:09:24,500
като корен квадратен от 2 по 2 по нещо си.
Всъщност

171
00:09:24,500 --> 00:09:25,500
не съм приключил.

172
00:09:25,500 --> 00:09:28,700
9 се разлага на 3 по 3.

173
00:09:28,700 --> 00:09:34,100
Значи се получава 2 по 2, по 3 по 3, по 3.

174
00:09:34,100 --> 00:09:36,800
И така имаме няколко квадрата тук.

175
00:09:36,800 --> 00:09:38,600
Нека го направя по-добре.

176
00:09:38,600 --> 00:09:41,100
Това е упражнение за опростяване на изрази под радикали,

177
00:09:41,100 --> 00:09:44,200
което ще срещаш често, докато
прилагаш Питагоровата теорема,

178
00:09:44,200 --> 00:09:46,400
така че е добре да го направим още сега.

179
00:09:46,400 --> 00:09:55,800
Това е същото като квадратен корен от 2 по 2,

180
00:09:55,800 --> 00:10:00,700
умножено с 3 по 3 по корен квадратен

181
00:10:00,700 --> 00:10:02,500
от последната тройка, която остава, 
защото не е равна на точен квадрат.

182
00:10:02,500 --> 00:10:04,000
Едно и също е.

183
00:10:04,000 --> 00:10:05,700
А и нали знаете, че няма да се налага да пишете

184
00:10:05,700 --> 00:10:07,900
всичко това на листа.

185
00:10:07,900 --> 00:10:08,900
Можете да го направите и на ум.

186
00:10:08,900 --> 00:10:09,500
Какво е това?

187
00:10:09,500 --> 00:10:11,700
2 по 2 е 4.

188
00:10:11,700 --> 00:10:14,200
4 по 9 е 36.

189
00:10:14,200 --> 00:10:18,000
Значи се получава корен квадратен
от 36 по корен квадратен от 3.

190
00:10:18,000 --> 00:10:20,600
Корен квадратен от 36 е 6.

191
00:10:20,600 --> 00:10:25,300
Получава се 6 по корен квадратен от 3.

192
00:10:25,300 --> 00:10:28,700
Дължината на В може да бъде 
записана като корен от 108,

193
00:10:28,700 --> 00:10:34,000
или може да се каже, че е

194
00:10:34,000 --> 00:10:35,000
6 по квадратен корен от 3.

195
00:10:35,000 --> 00:10:37,100
Това е 12, това е 6,

196
00:10:37,100 --> 00:10:40,500
а корен квадратен от 3 е около

197
00:10:40,500 --> 00:10:41,600
1 цяло и нещо си,

198
00:10:41,600 --> 00:10:45,300
така че цялото произведение 
ще е равно на малко повече от 6.