0:00:00.500,0:00:03.200
В това видео ще се запознаем с

0:00:03.200,0:00:14.100
прословутата Питагорова теорема, [br]която е доста приложима и забавна.

0:00:14.100,0:00:16.900
Като изучаваме по-подробно [br]математика, ще видим, че тя е

0:00:16.900,0:00:21.500
една от основните теореми.

0:00:21.500,0:00:24.900
Аритметичните знания се прилагат[br]в геометрията и тя е нещо като гръбнак

0:00:24.900,0:00:26.700
на раздела от математиката, наречен ТРИГОНОМЕТРИЯ.

0:00:26.700,0:00:29.200
Често ще я използваме, за да изчисляваме разстоянието

0:00:29.200,0:00:30.500
между две точки, зададени в координатен вид.

0:00:30.500,0:00:33.800
Затова би било хубаво наистина[br]да сме сигурни, че я познаваме добре.

0:00:33.800,0:00:35.500
Стига общи приказки.

0:00:35.500,0:00:38.300
Нека ти кажа какво всъщност [br]представлява Питагоровата теорема.

0:00:38.300,0:00:43.200
Имаме триъгълник и той трябва да е правоъгълен,

0:00:43.200,0:00:49.100
което значи, че мярката на един от трите му ъгъла

0:00:49.100,0:00:51.500
трябва да е 90 градуса.

0:00:51.500,0:00:54.500
За удобство, вместо да отбелязваме,[br]че ъгълът е 90 градуса,

0:00:54.500,0:00:55.900
чертаем малка кутийка ето тук, при върха на този ъгъл.

0:00:55.900,0:00:58.800
И така това тук, нека го оцветя с различен

0:00:58.800,0:01:05.500
цвят, е ъгъл, чиято мярка е 90 градуса.

0:01:05.500,0:01:09.900
За удобство такъв ъгъл наричаме ПРАВ ъгъл.

0:01:09.900,0:01:13.300
Естествено е триъгълник, който има прав ъгъл,

0:01:13.300,0:01:15.800
да се нарича ПРАВОЪГЪЛЕН.

0:01:15.800,0:01:21.700
Значи ето този триъгълник е правоъгълен триъгълник.

0:01:21.700,0:01:25.400
Смисълът на Питагоровата теорема е, че [br]ако знаем дължините на две от страните

0:01:25.400,0:01:28.900
на правоъгълен триъгълник, винаги можем да намерим

0:01:28.900,0:01:30.900
и дължината на третата му страна.

0:01:30.900,0:01:34.300
Но преди да ви покажа как става това, [br]нека ви обясня

0:01:34.300,0:01:36.500
още един важен термин.

0:01:36.500,0:01:43.200
Най-дългата страна във всеки [br]правоъгълен триъгълник е страната срещу

0:01:43.200,0:01:46.600
ъгъла, равен на 90 градуса (или срещу правия ъгъл).

0:01:46.600,0:01:49.600
В този случай това е ето тази страна.

0:01:49.600,0:01:51.200
Ето тази е най-дългата страна.

0:01:51.200,0:01:55.000
Тя като че ли загражда правоъгълния триъгълник -

0:01:55.000,0:01:58.000
най-големият ъгъл сякаш се разтваря, [br]докато стигне краищата на най-дълга страна.

0:01:58.000,0:02:03.070
Именно най-дългата страна се нарича ХИПОТЕНУЗА.

0:02:03.070,0:02:06.395
Много е важно да овладеем термина,[br]защото често се използва.

0:02:06.395,0:02:09.500
За да се научиш да разпознаваш хипотенузата,

0:02:09.500,0:02:12.500
ще начертая още няколко правоъгълни триъгълници.

0:02:12.500,0:02:17.000
Нека продължим като кажем, [br]че имам триъгълник, който изглежда така.

0:02:17.000,0:02:19.300
Ще го начертая още по-добре.

0:02:19.300,0:02:22.100
Да кажем, че имам ето такъв триъгълник

0:02:22.100,0:02:24.000
и че мярката на този ъгъл ето тук

0:02:24.000,0:02:25.300
е 90 градуса.

0:02:25.300,0:02:29.800
В случая тази страна е хипотенузата, защото тя се

0:02:29.800,0:02:33.400
намира срещу ъгъла, равен на 90 градуса.

0:02:33.400,0:02:34.800
Тя е най-дългата страна.

0:02:34.800,0:02:36.600
Нека начертая още един правоъгълен [br]триъгълник, за да сме сигурни, че

0:02:36.600,0:02:39.400
сме се научили да разпознаваме хипотенузата.

0:02:39.400,0:02:44.000
Да кажем, че това е правоъгълният триъгълник, а ето това е

0:02:44.000,0:02:45.700
ъгълът, чиято мярка е 90 градуса.

0:02:45.700,0:02:47.700
Мисля, че вече знаеш как се прави.

0:02:47.700,0:02:49.600
Стигаш до мястото, до което се "разтваря" триъгълникът.

0:02:49.600,0:02:51.500
Тази страна е хипотенузата -

0:02:51.500,0:02:53.200
тя е и най-дългата страна.

0:02:53.200,0:02:57.900
След като разпознахме [br]хипотенузата (нека означим,

0:03:00.400,0:03:02.000
дължината ѝ с числото С ),

0:03:02.000,0:03:03.900
ще научим какво гласи

0:03:03.900,0:03:05.200
Питагоровата теорема.

0:03:05.200,0:03:08.600
Да кажем, че хипотенузата е с дължина С.

0:03:08.600,0:03:11.600
Като кажем, че това е С, ще разбираме, [br]че това е страната С.

0:03:11.600,0:03:17.900
Тази по-късата тук пък ще отбележим с А,

0:03:17.900,0:03:21.800
а това тук е другата по-къса страна, означена с В.

0:03:21.800,0:03:28.600
Питагоровата теорема гласи: във всеки правоъгълен триъгълник А на квадрат,

0:03:28.600,0:03:32.800
дължината на една от по-късите страни на квадрат плюс

0:03:32.800,0:03:36.800
дължината на другата по-къса страна на квадрат

0:03:36.800,0:03:41.300
винаги е равна на дължината на хипотенузата на квадрат.

0:03:41.300,0:03:43.700
Да решим една задача и ще видиш,

0:03:43.700,0:03:45.800
че всъщност не е толкова трудно[br]колкото изглежда.

0:03:45.800,0:03:49.800
Да кажем, че имам триъгълник, който изглежда така.

0:03:49.800,0:03:51.000
Нека го начертая.

0:03:51.000,0:03:54.200
Ето това е моят правоъгълен триъгълник.

0:03:54.200,0:03:57.100
Изглежда подобно на това.

0:03:57.100,0:04:00.500
Нека ни е дадено, че този ъгъл тук е правия ъгъл,

0:04:00.500,0:04:02.900
че дължината на това, нека го оцветя с друг цвят...

0:04:02.900,0:04:06.800
Че дължината на този катет тук е числото 3 и

0:04:06.800,0:04:09.100
че дължината на другия катет е числото 4.

0:04:09.100,0:04:14.400
Задачата ни е да изчислим дължината[br]на третата страна, тази тук.

0:04:14.400,0:04:17.100
Първото нещо, което трябва да направим, преди да използваме

0:04:17.100,0:04:19.600
Питагоровата теорема, е да се уверим, че знаем коя страна е

0:04:19.600,0:04:20.700
хипотенузата.

0:04:20.700,0:04:23.300
Уверяваме се, че знаем какво се търси.

0:04:23.300,0:04:26.100
В случая търсим дължината на хипотенузата.

0:04:26.100,0:04:30.400
Знаем това, защото тази страна тук е страната

0:04:30.400,0:04:33.300
срещу правия ъгъл.

0:04:33.300,0:04:36.500
Според Питагоровата теорема [br]това е страната означена с С,

0:04:36.500,0:04:38.100
най-дългата страна.

0:04:38.100,0:04:41.900
Вече сме готови да използваме теоремата.

0:04:41.900,0:04:48.000
Тя гласи, че 4 (дължината на една от по-късите страни) на квадрат плюс

0:04:48.000,0:04:53.200
3 (дължината на другата по-къса страна) на квадрат

0:04:53.200,0:04:56.000
е равно на дължината на най-дългата страна на квадрат

0:04:56.000,0:05:00.500
(дължината на хипотенузата на квадрат), което пък е означено с С на квадрат.

0:05:00.500,0:05:02.300
Сега просто търсим стойността на С.

0:05:02.300,0:05:06.300
И така, 4 на квадрат е равно на 4 по 4,

0:05:06.300,0:05:08.400
което прави 16.

0:05:08.400,0:05:11.900
3 на квадрат е равно на 3 по 3,

0:05:11.900,0:05:13.800
което е 9.

0:05:13.800,0:05:18.500
Сборът на тези две числа ще е равен на С на квадрат.

0:05:18.500,0:05:20.600
Колко е 16+9?

0:05:20.600,0:05:22.400
25.

0:05:22.400,0:05:25.100
И така 25 е равно на С на квадрат.

0:05:25.100,0:05:29.000
Вземаме положителните стойности [br]на квадратните корени на двете страни...

0:05:29.000,0:05:30.900
Предполагам, че от математическа гледна точка можем

0:05:30.900,0:05:33.100
да получим и -5,

0:05:33.100,0:05:34.800
но сега изчисляваме за разстояния, затова ни интересуват

0:05:34.800,0:05:37.000
само неотрицателните им стойности.

0:05:37.000,0:05:41.100
И така като изчислим двете страни,

0:05:41.100,0:05:44.200
получаваме, че стойността на числото, [br]означено с С е равна на 5,

0:05:44.200,0:05:50.200
или иначе казано - дължината на [br]най-дългата страна е числото 5.

0:05:50.200,0:05:52.600
Сега вече винаги можеш да използваш[br]Питагоровата теорема, ако са дадени дължините

0:05:52.600,0:05:54.600
на две от страните и търсиш[br]дължината на третата без значение

0:05:54.600,0:05:55.600
коя е тя, катет или хипотенуза.

0:05:55.600,0:05:59.300
Да решим още една задача.

0:05:59.300,0:06:10.600
Правоъгълният триъгълник изглежда така

0:06:10.600,0:06:12.600
и този е правия ъгъл.

0:06:12.600,0:06:17.800
Да кажем, че дължината на тази страна е 12,

0:06:17.800,0:06:21.000
а пък тази страна тук е с дължина 6.

0:06:21.000,0:06:27.200
Търсим дължината на третата страна, тази тук.

0:06:27.200,0:06:29.800
Както казах, първата стъпка е

0:06:29.800,0:06:31.300
да се определи коя от трите страни е хипотенузата.

0:06:31.300,0:06:34.100
Знаем, че тя е страната срещу правия ъгъл.

0:06:34.100,0:06:35.500
Ето го правия ъгъл тук,

0:06:35.500,0:06:37.600
търсим страната срещу него.

0:06:37.600,0:06:41.400
Най-дългата страна, хипотенузата, ето я тук.

0:06:41.400,0:06:46.100
Ако се върнем на Питагоровата теорема,

0:06:46.100,0:06:50.800
А на квадрат, плюс В на квадрат е равно на С на квадрат,

0:06:50.800,0:06:52.200
12 се въвежда вместо С.

0:06:52.200,0:06:54.700
Това е хипотенузата.

0:06:54.700,0:06:56.600
С на квадрат означава хипотенузата на квадрат.

0:06:56.600,0:06:59.000
Значи можем да кажем, че 12 е равно на С

0:06:59.000,0:07:00.800
и тогава имаме още две страни, като няма значение

0:07:00.800,0:07:02.500
точно коя от другите страни [br]ще означим с А или с В.

0:07:02.500,0:07:04.900
Да означим първо дължината на тази страна,

0:07:04.900,0:07:06.900
да кажем, че А е равно на 6,

0:07:06.900,0:07:11.700
и после В, това оцветеното В,

0:07:11.700,0:07:12.600
ще е неизвестно.

0:07:12.600,0:07:15.000
Сега прилагаме Питагоровата теорема.

0:07:15.000,0:07:25.900
А на квадрат, което е 6 на квадрат, плюс неизвестното В

0:07:25.900,0:07:28.300
е равно на квадрата на хипотенузата,

0:07:28.300,0:07:29.700
равно е на С на квадрат,

0:07:29.700,0:07:33.200
което е 12 на квадрат.

0:07:33.200,0:07:35.200
Сега решаваме уравнението[br]спрямо неизвестното, означено с В.

0:07:35.200,0:07:36.300
Обърни внимание на разликата -

0:07:36.300,0:07:38.100
сега не търсим дължината на хипотенузата,

0:07:38.100,0:07:40.200
а дължината на един от катетите.

0:07:40.200,0:07:42.700
В предишната задача търсехме[br]дължината на хипотенузата,

0:07:42.700,0:07:43.700
търсехме стойността на С.

0:07:43.700,0:07:46.500
Затова е важно да е ясно, че

0:07:46.500,0:07:49.100
А на квадрат плюс В на квадрат[br]е равно на С на квадрат,

0:07:49.100,0:07:49.600
като с С е означена дължината на хипотенузата.

0:07:49.600,0:07:51.800
Да намерим стойността на неизвестното В.

0:07:51.800,0:07:59.200
6 на квадрат е 36, плюс В на квадрат е равно

0:07:59.200,0:08:04.700
на 12 на квадрат, което е 12 по 12, 144.

0:08:04.700,0:08:08.500
Вадим числото 36 от двете страни на уравнението.

0:08:08.500,0:08:11.400
Тези се съкращават.

0:08:13.200,0:08:17.500
От лявата страна остана само В на квадрат

0:08:17.500,0:08:23.400
равно на… Колко е 144 минус 36?

0:08:23.400,0:08:30.020
144 - 30 е 114. Вадим още 6 и получаваме 108.

0:08:30.020,0:08:33.900
Излиза 108.

0:08:33.900,0:08:36.600
В на квадрат се получава толкова и сега трябва

0:08:36.600,0:08:40.600
да намерим положителните [br]стойности на двете страни.

0:08:40.600,0:08:44.400
Излиза, че В е равно на корен квадратен

0:08:44.400,0:08:48.600
от 108.

0:08:48.600,0:08:50.500
Да видим дали не можем да опростим този израз.

0:08:50.500,0:08:53.500
Квадратен корен от 108.

0:08:53.500,0:08:54.900
Бихме могли да разложим

0:08:54.900,0:08:56.600
числото 108 на произведение от множители и да видим

0:08:56.600,0:08:58.400
как да опростим записа.

0:08:58.400,0:09:07.500
108 е равно на 2 по 54,

0:09:07.500,0:09:15.500
което пък е 2 по 27, което е 3 по 9.

0:09:15.500,0:09:19.700
Квадратният корен на 108 е същото

0:09:19.700,0:09:24.500
като корен квадратен от 2 по 2 по нещо си.[br]Всъщност

0:09:24.500,0:09:25.500
не съм приключил.

0:09:25.500,0:09:28.700
9 се разлага на 3 по 3.

0:09:28.700,0:09:34.100
Значи се получава 2 по 2, по 3 по 3, по 3.

0:09:34.100,0:09:36.800
И така имаме няколко квадрата тук.

0:09:36.800,0:09:38.600
Нека го направя по-добре.

0:09:38.600,0:09:41.100
Това е упражнение за опростяване на изрази под радикали,

0:09:41.100,0:09:44.200
което ще срещаш често, докато[br]прилагаш Питагоровата теорема,

0:09:44.200,0:09:46.400
така че е добре да го направим още сега.

0:09:46.400,0:09:55.800
Това е същото като квадратен корен от 2 по 2,

0:09:55.800,0:10:00.700
умножено с 3 по 3 по корен квадратен

0:10:00.700,0:10:02.500
от последната тройка, която остава, [br]защото не е равна на точен квадрат.

0:10:02.500,0:10:04.000
Едно и също е.

0:10:04.000,0:10:05.700
А и нали знаете, че няма да се налага да пишете

0:10:05.700,0:10:07.900
всичко това на листа.

0:10:07.900,0:10:08.900
Можете да го направите и на ум.

0:10:08.900,0:10:09.500
Какво е това?

0:10:09.500,0:10:11.700
2 по 2 е 4.

0:10:11.700,0:10:14.200
4 по 9 е 36.

0:10:14.200,0:10:18.000
Значи се получава корен квадратен[br]от 36 по корен квадратен от 3.

0:10:18.000,0:10:20.600
Корен квадратен от 36 е 6.

0:10:20.600,0:10:25.300
Получава се 6 по корен квадратен от 3.

0:10:25.300,0:10:28.700
Дължината на В може да бъде [br]записана като корен от 108,

0:10:28.700,0:10:34.000
или може да се каже, че е

0:10:34.000,0:10:35.000
6 по квадратен корен от 3.

0:10:35.000,0:10:37.100
Това е 12, това е 6,

0:10:37.100,0:10:40.500
а корен квадратен от 3 е около

0:10:40.500,0:10:41.600
1 цяло и нещо си,

0:10:41.600,0:10:45.300
така че цялото произведение [br]ще е равно на малко повече от 6.