WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.110
在上一段影片中我說過這樣一個式子

00:00:04.110 --> 00:00:08.990
來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積

00:00:08.990 --> 00:00:11.710
它的結果等同於海倫公式

00:00:11.760 --> 00:00:13.680
在這段影片中我要講的是

00:00:13.700 --> 00:00:15.550
通過一些最基本的代數運算

00:00:15.580 --> 00:00:18.510
來證明上式與海倫公式相等

00:00:18.560 --> 00:00:20.470
首先我們來處理一下1/2 c

00:00:20.530 --> 00:00:23.670
把它放到根號中去

00:00:23.670 --> 00:00:30.680
可得根號下c的平方分之四

00:00:30.770 --> 00:00:32.690
去掉根號等於1/2 c

00:00:32.760 --> 00:00:37.000
我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣

00:00:37.050 --> 00:00:42.860
那麽可以得到c的平方除以4的平方根

00:00:42.900 --> 00:00:49.490
乘以剩下的這些項

00:00:49.560 --> 00:00:54.620
我將它們複製並粘貼

00:00:54.620 --> 00:00:59.530
乘上這個表達式 再把它展開

00:00:59.570 --> 00:01:03.760
所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項

00:01:03.810 --> 00:01:06.320
在末尾加一個括號

00:01:06.340 --> 00:01:11.550
把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等

00:01:11.570 --> 00:01:15.480
這將是一個很複雜的過程

00:01:15.520 --> 00:01:17.630
當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候

00:01:17.630 --> 00:01:20.040
你會覺得很有成就感

00:01:20.100 --> 00:01:27.610
根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方

00:01:27.610 --> 00:01:33.950
除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項

00:01:34.010 --> 00:01:37.200
展開括號

00:01:37.200 --> 00:01:39.230
並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式

00:01:39.230 --> 00:01:48.070
c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方

00:01:48.090 --> 00:01:52.410
除以分母的平方 即4c方

00:01:52.410 --> 00:01:54.300
於是可以將這個c方和這個c方

00:01:54.350 --> 00:01:55.890
一並消去

00:01:55.940 --> 00:01:58.830
像這樣把所有的括號閉合

00:01:58.830 --> 00:02:02.060
這個分母中的4 乘以另一個分母中的4

00:02:02.060 --> 00:02:04.850
讓我這樣寫下結果

00:02:04.900 --> 00:02:06.670
這和4的平方相等

00:02:06.670 --> 00:02:09.620
接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16

00:02:09.620 --> 00:02:15.760
現在我可以重新寫下這個式子

00:02:15.800 --> 00:02:18.750
我隨機地變換了一下顏色

00:02:18.750 --> 00:02:26.130
這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方

00:02:26.130 --> 00:02:28.830
我要把它寫成c/4的平方的形式

00:02:28.830 --> 00:02:30.850
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方

00:02:30.930 --> 00:02:35.290
即4 再減去

00:02:35.320 --> 00:02:36.700
把這個長的表達式也寫成平方的形式

00:02:36.700 --> 00:02:44.120
即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4

00:02:44.180 --> 00:02:48.360
將分子和分母同時平方

00:02:48.390 --> 00:02:50.710
將分子和分母同時平方

00:02:50.710 --> 00:02:54.390
現在看起來好像很有趣

00:02:54.390 --> 00:02:55.970
用另一個不同的顏色來表示這個括號

00:02:56.020 --> 00:03:00.570
也許你還記得多項式的因式分解

00:03:00.570 --> 00:03:03.410
x方減去y方

00:03:03.410 --> 00:03:08.620
可以寫成(x+y)(x-y)

00:03:08.660 --> 00:03:10.450
現在我們要一遍遍地運用這個公式

00:03:10.480 --> 00:03:16.110
把ca/2當作x 把這個當成y

00:03:16.140 --> 00:03:20.180
那麽便構成了x方減y方這個式子

00:03:20.230 --> 00:03:25.370
分解這個式子 可寫成

00:03:25.370 --> 00:03:34.230
根號下 x+y即ca/2+y

00:03:34.230 --> 00:03:40.150
乘以 x-y

00:03:40.150 --> 00:03:47.900
其中y等於c方加a方x是 ca/2

00:03:47.960 --> 00:03:51.510
減去這一串式子

00:03:51.510 --> 00:03:55.250
或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號

00:03:55.250 --> 00:04:04.750
加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4

00:04:04.750 --> 00:04:10.310
這一切等同於

00:04:10.310 --> 00:04:15.920
這個與這個的和 再乘以這個與這個的差

00:04:15.950 --> 00:04:18.880
像我剛剛說的那樣 加上它的相反數

00:04:18.900 --> 00:04:23.940
即負的c方 減a方 加b方

00:04:23.940 --> 00:04:26.000
運用這個式子

00:04:26.000 --> 00:04:28.290
看看是否能夠將其簡化

00:04:28.370 --> 00:04:31.890
我們可以通分得到公分母

00:04:31.950 --> 00:04:34.850
ca/2 等於2ca/4

00:04:34.850 --> 00:04:38.830
這個也是 ca/2 即2ca/4

00:04:38.870 --> 00:04:40.890
將分子和分母同時乘以2

00:04:40.930 --> 00:04:43.920
我們可以把分子相加

00:04:43.990 --> 00:04:51.250
我們的整個表達式等於根號下

00:04:51.280 --> 00:04:56.920
我要把第一項寫成這樣的形式

00:04:56.920 --> 00:05:03.060
c方 加2ca 加a方 減b方

00:05:03.060 --> 00:05:08.210
用這些項除以四

00:05:08.210 --> 00:05:13.230
得到第一個表達式

00:05:13.230 --> 00:05:19.210
下一個表達式

00:05:19.210 --> 00:05:21.250
寫下它的分母是4

00:05:21.290 --> 00:05:23.680
我們可以這樣寫

00:05:23.680 --> 00:05:30.900
我們可以寫成 b方減去

00:05:30.900 --> 00:05:42.910
括號 c方減2ca 加a方

00:05:42.910 --> 00:05:48.100
只是爲了確保我在這裡有一個負a方

00:05:48.100 --> 00:05:52.840
負負得正 在這裡有一個正的2ca

00:05:52.840 --> 00:05:57.310
這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方

00:05:57.310 --> 00:06:00.320
這兩個是等效的

00:06:00.320 --> 00:06:06.110
現在我們需要來辨認一下

00:06:06.110 --> 00:06:10.680
圈出來的這部分 可能有點亂

00:06:10.730 --> 00:06:14.580
這部分等於a與c和的平方

00:06:14.620 --> 00:06:19.530
這個等於根號下 括號

00:06:19.530 --> 00:06:29.250
c與a和的平方 減去b的平方 除以4

00:06:29.250 --> 00:06:32.610
這是第一項

00:06:32.650 --> 00:06:35.940
接下來是第二項也就是a與c和的平方

00:06:35.990 --> 00:06:43.040
因此 整個式子可簡化爲

00:06:43.040 --> 00:06:47.500
b方減去a與c和的平方 再除以4

00:06:47.540 --> 00:06:51.940
這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展

00:06:51.940 --> 00:06:54.620
但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法

00:06:54.650 --> 00:06:57.760
而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子

00:06:57.760 --> 00:06:59.700
化簡成更簡單的形式

00:06:59.740 --> 00:07:02.650
現在我們可以運用同樣的公式

00:07:02.710 --> 00:07:04.970
一項的平方減去另一項的平方

00:07:05.010 --> 00:07:06.850
一項的平方減去另一項的平方

00:07:06.900 --> 00:07:10.260
接著分解它 把過程寫在同一行

00:07:10.260 --> 00:07:13.240
我將縮小字體以便能寫下

00:07:13.280 --> 00:07:14.780
這將等於根號下

00:07:14.800 --> 00:07:23.720
這個因式可以分解成 這個加上這個

00:07:23.790 --> 00:07:29.940
即 (c+a+b)(c+a-b)

00:07:29.980 --> 00:07:33.840
和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方

00:07:33.880 --> 00:07:41.250
乘以 (c+a+b)/4

00:07:41.300 --> 00:07:46.240
來分解下一項 乘以 (b+c-a)

00:07:50.560 --> 00:07:52.770
讓我稍微往右移一下屏幕

00:07:52.860 --> 00:07:57.130
乘以(b+c-a)

00:07:57.180 --> 00:08:02.730
這是X+Y即b-(c-a)

00:08:02.790 --> 00:08:07.010
等同於(b-c+a)

00:08:07.060 --> 00:08:08.820
這等同於

00:08:14.850 --> 00:08:19.920
除以4

00:08:19.970 --> 00:08:25.300
現在我可以重新來寫整個表達式了

00:08:25.340 --> 00:08:28.520
將這個表達式

00:08:28.520 --> 00:08:33.020
改寫一下

00:08:33.020 --> 00:08:35.870
將4寫成2<i>2</i>

00:08:35.940 --> 00:08:40.620
這個化簡過程終於要結束了

00:08:40.660 --> 00:08:45.320
我們的表達式被簡化爲 根號下

00:08:45.360 --> 00:08:55.310
寫成(a+b+c)/2

00:08:55.370 --> 00:09:02.440
這是這一項 乘以這項 乘以這項

00:09:02.440 --> 00:09:06.220
讓我在這把它簡化一下

00:09:06.280 --> 00:09:13.000
c+a-b 等於 a+b+c-2b

00:09:13.000 --> 00:09:14.940
這兩項是相等的

00:09:15.010 --> 00:09:19.430
這是a 這是c

00:09:19.520 --> 00:09:23.040
b-2b 等於 -b

00:09:23.070 --> 00:09:25.940
對吧 這是-b

00:09:26.010 --> 00:09:34.070
下一項是(a+b+c-2b)/2

00:09:34.110 --> 00:09:35.730
或者可以拆開 寫成這樣的形式

00:09:39.280 --> 00:09:45.920
接下來第三項也是同樣的思路

00:09:45.960 --> 00:09:53.100
等於 a+b+c-2a

00:09:53.100 --> 00:09:56.890
再除以2

00:09:56.940 --> 00:10:00.090
如果我們用a加上-2a 就能得到-a

00:10:00.140 --> 00:10:03.330
即可得 b+c-a他們是相同的

00:10:03.350 --> 00:10:06.940
這些除以2 或者將分子分開

00:10:06.970 --> 00:10:08.500
像這樣 除以2

00:10:08.530 --> 00:10:12.930
到了最後一項

00:10:12.980 --> 00:10:15.780
也許你已經可以從中分辨出海倫公式

00:10:15.780 --> 00:10:19.220
但是我沒有在考慮海倫公式

00:10:19.270 --> 00:10:21.930
那項很顯然與

00:10:21.960 --> 00:10:28.020
a+b+c-2c 是相等的

00:10:28.090 --> 00:10:30.860
用c減去2c 得到-c

00:10:30.930 --> 00:10:32.830
依然是 a+b-c 然後除以2

00:10:32.910 --> 00:10:37.370
把這個除以二減去那個除以二

00:10:37.430 --> 00:10:41.410
而且 在這一整串式子上還要加上一個根號

00:10:41.450 --> 00:10:48.960
現在如果我們設 S=(a+b+c)/2

00:10:48.960 --> 00:10:55.720
那麽這個式子會變得更簡潔

00:10:55.720 --> 00:10:59.870
這是S這也是S這個也是S

00:10:59.870 --> 00:11:04.400
那個也是S

00:11:04.400 --> 00:11:06.560
確實簡化了許多

00:11:06.560 --> 00:11:11.790
-2b/2 等同於-b

00:11:11.830 --> 00:11:14.450
-2a/2 等同於-a

00:11:14.490 --> 00:11:17.220
-2c/2 同樣的道理 是-c

00:11:17.220 --> 00:11:21.040
現在 重新寫上根號

00:11:21.090 --> 00:11:24.730
這個式子等於

00:11:24.730 --> 00:11:30.730
根號下 S乘以

00:11:30.730 --> 00:11:36.640
我將用相同的顏色寫接下來的這些式子

00:11:36.680 --> 00:11:45.530
乘以(S-b)(S-a)

00:11:45.560 --> 00:11:52.210
再乘以最後一項 (S-c)

00:11:52.260 --> 00:11:57.000
現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子

00:11:57.000 --> 00:11:59.430
和海倫公式是一回事

00:11:59.430 --> 00:12:03.260
它變得非常簡潔

00:12:03.260 --> 00:12:07.160
我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它