在上一段影片中我說過這樣一個式子
來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積
它的結果等同於海倫公式
在這段影片中我要講的是
通過一些最基本的代數運算
來證明上式與海倫公式相等
首先我們來處理一下1/2 c
把它放到根號中去
可得根號下c的平方分之四
去掉根號等於1/2 c
我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣
那麽可以得到c的平方除以4的平方根
乘以剩下的這些項
我將它們複製並粘貼
乘上這個表達式 再把它展開
所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項
在末尾加一個括號
把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等
這將是一個很複雜的過程
當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候
你會覺得很有成就感
根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項
展開括號
並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式
c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方
除以分母的平方 即4c方
於是可以將這個c方和這個c方
一並消去
像這樣把所有的括號閉合
這個分母中的4 乘以另一個分母中的4
讓我這樣寫下結果
這和4的平方相等
接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16
現在我可以重新寫下這個式子
我隨機地變換了一下顏色
這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方
我要把它寫成c/4的平方的形式
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
即4 再減去
把這個長的表達式也寫成平方的形式
即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4
將分子和分母同時平方
現在看起來好像很有趣
用另一個不同的顏色來表示這個括號
也許你還記得多項式的因式分解
x方減去y方
可以寫成(x+y)(x-y)
現在我們要一遍遍地運用這個公式
把ca/2當作x 把這個當成y
那麽便構成了x方減y方這個式子
分解這個式子 可寫成
根號下 x+y即ca/2+y
乘以 x-y
其中y等於c方加a方x是 ca/2
減去這一串式子
或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號
加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4
這一切等同於
這個與這個的和 再乘以這個與這個的差
像我剛剛說的那樣 加上它的相反數
即負的c方 減a方 加b方
運用這個式子
看看是否能夠將其簡化
我們可以通分得到公分母
ca/2 等於2ca/4
這個也是 ca/2 即2ca/4
將分子和分母同時乘以2
我們可以把分子相加
我們的整個表達式等於根號下
我要把第一項寫成這樣的形式
c方 加2ca 加a方 減b方
用這些項除以四
得到第一個表達式
下一個表達式
寫下它的分母是4
我們可以這樣寫
我們可以寫成 b方減去
括號 c方減2ca 加a方
只是爲了確保我在這裡有一個負a方
負負得正 在這裡有一個正的2ca
這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方
這兩個是等效的
現在我們需要來辨認一下
圈出來的這部分 可能有點亂
這部分等於a與c和的平方
這個等於根號下 括號
c與a和的平方 減去b的平方 除以4
這是第一項
接下來是第二項也就是a與c和的平方
因此 整個式子可簡化爲
b方減去a與c和的平方 再除以4
這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展
但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法
而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子
化簡成更簡單的形式
現在我們可以運用同樣的公式
一項的平方減去另一項的平方
接著分解它 把過程寫在同一行
我將縮小字體以便能寫下
這將等於根號下
這個因式可以分解成 這個加上這個
即 (c+a+b)(c+a-b)
和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方
乘以 (c+a+b)/4
來分解下一項 乘以 (b+c-a)
讓我稍微往右移一下屏幕
乘以(b+c-a)
這是X+Y即b-(c-a)
等同於(b-c+a)
這等同於
除以4
現在我可以重新來寫整個表達式了
將這個表達式
改寫一下
將4寫成22
這個化簡過程終於要結束了
我們的表達式被簡化爲 根號下
寫成(a+b+c)/2
這是這一項 乘以這項 乘以這項
讓我在這把它簡化一下
c+a-b 等於 a+b+c-2b
這兩項是相等的
這是a 這是c
b-2b 等於 -b
對吧 這是-b
下一項是(a+b+c-2b)/2
或者可以拆開 寫成這樣的形式
接下來第三項也是同樣的思路
等於 a+b+c-2a
再除以2
如果我們用a加上-2a 就能得到-a
即可得 b+c-a他們是相同的
這些除以2 或者將分子分開
像這樣 除以2
到了最後一項
也許你已經可以從中分辨出海倫公式
但是我沒有在考慮海倫公式
那項很顯然與
a+b+c-2c 是相等的
用c減去2c 得到-c
依然是 a+b-c 然後除以2
把這個除以二減去那個除以二
而且 在這一整串式子上還要加上一個根號
現在如果我們設 S=(a+b+c)/2
那麽這個式子會變得更簡潔
這是S這也是S這個也是S
那個也是S
確實簡化了許多
-2b/2 等同於-b
-2a/2 等同於-a
-2c/2 同樣的道理 是-c
現在 重新寫上根號
這個式子等於
根號下 S乘以
我將用相同的顏色寫接下來的這些式子
乘以(S-b)(S-a)
再乘以最後一項 (S-c)
現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子
和海倫公式是一回事
它變得非常簡潔
我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它