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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:04.11,Default,,0000,0000,0000,,在上一段影片中我說過這樣一個式子
Dialogue: 0,0:00:04.11,0:00:08.99,Default,,0000,0000,0000,,來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積
Dialogue: 0,0:00:08.99,0:00:11.71,Default,,0000,0000,0000,,它的結果等同於海倫公式
Dialogue: 0,0:00:11.76,0:00:13.68,Default,,0000,0000,0000,,在這段影片中我要講的是
Dialogue: 0,0:00:13.70,0:00:15.55,Default,,0000,0000,0000,,通過一些最基本的代數運算
Dialogue: 0,0:00:15.58,0:00:18.51,Default,,0000,0000,0000,,來證明上式與海倫公式相等
Dialogue: 0,0:00:18.56,0:00:20.47,Default,,0000,0000,0000,,首先我們來處理一下1/2 c
Dialogue: 0,0:00:20.53,0:00:23.67,Default,,0000,0000,0000,,把它放到根號中去
Dialogue: 0,0:00:23.67,0:00:30.68,Default,,0000,0000,0000,,可得根號下c的平方分之四
Dialogue: 0,0:00:30.77,0:00:32.69,Default,,0000,0000,0000,,去掉根號等於1/2 c
Dialogue: 0,0:00:32.76,0:00:37.00,Default,,0000,0000,0000,,我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣
Dialogue: 0,0:00:37.05,0:00:42.86,Default,,0000,0000,0000,,那麽可以得到c的平方除以4的平方根
Dialogue: 0,0:00:42.90,0:00:49.49,Default,,0000,0000,0000,,乘以剩下的這些項
Dialogue: 0,0:00:49.56,0:00:54.62,Default,,0000,0000,0000,,我將它們複製並粘貼
Dialogue: 0,0:00:54.62,0:00:59.53,Default,,0000,0000,0000,,乘上這個表達式 再把它展開
Dialogue: 0,0:00:59.57,0:01:03.76,Default,,0000,0000,0000,,所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項
Dialogue: 0,0:01:03.81,0:01:06.32,Default,,0000,0000,0000,,在末尾加一個括號
Dialogue: 0,0:01:06.34,0:01:11.55,Default,,0000,0000,0000,,把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等
Dialogue: 0,0:01:11.57,0:01:15.48,Default,,0000,0000,0000,,這將是一個很複雜的過程
Dialogue: 0,0:01:15.52,0:01:17.63,Default,,0000,0000,0000,,當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候
Dialogue: 0,0:01:17.63,0:01:20.04,Default,,0000,0000,0000,,你會覺得很有成就感
Dialogue: 0,0:01:20.10,0:01:27.61,Default,,0000,0000,0000,,根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
Dialogue: 0,0:01:27.61,0:01:33.95,Default,,0000,0000,0000,,除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項
Dialogue: 0,0:01:34.01,0:01:37.20,Default,,0000,0000,0000,,展開括號
Dialogue: 0,0:01:37.20,0:01:39.23,Default,,0000,0000,0000,,並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式
Dialogue: 0,0:01:39.23,0:01:48.07,Default,,0000,0000,0000,,c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方
Dialogue: 0,0:01:48.09,0:01:52.41,Default,,0000,0000,0000,,除以分母的平方 即4c方
Dialogue: 0,0:01:52.41,0:01:54.30,Default,,0000,0000,0000,,於是可以將這個c方和這個c方
Dialogue: 0,0:01:54.35,0:01:55.89,Default,,0000,0000,0000,,一並消去
Dialogue: 0,0:01:55.94,0:01:58.83,Default,,0000,0000,0000,,像這樣把所有的括號閉合
Dialogue: 0,0:01:58.83,0:02:02.06,Default,,0000,0000,0000,,這個分母中的4 乘以另一個分母中的4
Dialogue: 0,0:02:02.06,0:02:04.85,Default,,0000,0000,0000,,讓我這樣寫下結果
Dialogue: 0,0:02:04.90,0:02:06.67,Default,,0000,0000,0000,,這和4的平方相等
Dialogue: 0,0:02:06.67,0:02:09.62,Default,,0000,0000,0000,,接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16
Dialogue: 0,0:02:09.62,0:02:15.76,Default,,0000,0000,0000,,現在我可以重新寫下這個式子
Dialogue: 0,0:02:15.80,0:02:18.75,Default,,0000,0000,0000,,我隨機地變換了一下顏色
Dialogue: 0,0:02:18.75,0:02:26.13,Default,,0000,0000,0000,,這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方
Dialogue: 0,0:02:26.13,0:02:28.83,Default,,0000,0000,0000,,我要把它寫成c/4的平方的形式
Dialogue: 0,0:02:28.83,0:02:30.85,Default,,0000,0000,0000,,如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
Dialogue: 0,0:02:30.93,0:02:35.29,Default,,0000,0000,0000,,即4 再減去
Dialogue: 0,0:02:35.32,0:02:36.70,Default,,0000,0000,0000,,把這個長的表達式也寫成平方的形式
Dialogue: 0,0:02:36.70,0:02:44.12,Default,,0000,0000,0000,,即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4
Dialogue: 0,0:02:44.18,0:02:48.36,Default,,0000,0000,0000,,將分子和分母同時平方
Dialogue: 0,0:02:48.39,0:02:50.71,Default,,0000,0000,0000,,將分子和分母同時平方
Dialogue: 0,0:02:50.71,0:02:54.39,Default,,0000,0000,0000,,現在看起來好像很有趣
Dialogue: 0,0:02:54.39,0:02:55.97,Default,,0000,0000,0000,,用另一個不同的顏色來表示這個括號
Dialogue: 0,0:02:56.02,0:03:00.57,Default,,0000,0000,0000,,也許你還記得多項式的因式分解
Dialogue: 0,0:03:00.57,0:03:03.41,Default,,0000,0000,0000,,x方減去y方
Dialogue: 0,0:03:03.41,0:03:08.62,Default,,0000,0000,0000,,可以寫成(x+y)(x-y)
Dialogue: 0,0:03:08.66,0:03:10.45,Default,,0000,0000,0000,,現在我們要一遍遍地運用這個公式
Dialogue: 0,0:03:10.48,0:03:16.11,Default,,0000,0000,0000,,把ca/2當作x 把這個當成y
Dialogue: 0,0:03:16.14,0:03:20.18,Default,,0000,0000,0000,,那麽便構成了x方減y方這個式子
Dialogue: 0,0:03:20.23,0:03:25.37,Default,,0000,0000,0000,,分解這個式子 可寫成
Dialogue: 0,0:03:25.37,0:03:34.23,Default,,0000,0000,0000,,根號下 x+y即ca/2+y
Dialogue: 0,0:03:34.23,0:03:40.15,Default,,0000,0000,0000,,乘以 x-y
Dialogue: 0,0:03:40.15,0:03:47.90,Default,,0000,0000,0000,,其中y等於c方加a方x是 ca/2
Dialogue: 0,0:03:47.96,0:03:51.51,Default,,0000,0000,0000,,減去這一串式子
Dialogue: 0,0:03:51.51,0:03:55.25,Default,,0000,0000,0000,,或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號
Dialogue: 0,0:03:55.25,0:04:04.75,Default,,0000,0000,0000,,加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4
Dialogue: 0,0:04:04.75,0:04:10.31,Default,,0000,0000,0000,,這一切等同於
Dialogue: 0,0:04:10.31,0:04:15.92,Default,,0000,0000,0000,,這個與這個的和 再乘以這個與這個的差
Dialogue: 0,0:04:15.95,0:04:18.88,Default,,0000,0000,0000,,像我剛剛說的那樣 加上它的相反數
Dialogue: 0,0:04:18.90,0:04:23.94,Default,,0000,0000,0000,,即負的c方 減a方 加b方
Dialogue: 0,0:04:23.94,0:04:26.00,Default,,0000,0000,0000,,運用這個式子
Dialogue: 0,0:04:26.00,0:04:28.29,Default,,0000,0000,0000,,看看是否能夠將其簡化
Dialogue: 0,0:04:28.37,0:04:31.89,Default,,0000,0000,0000,,我們可以通分得到公分母
Dialogue: 0,0:04:31.95,0:04:34.85,Default,,0000,0000,0000,,ca/2 等於2ca/4
Dialogue: 0,0:04:34.85,0:04:38.83,Default,,0000,0000,0000,,這個也是 ca/2 即2ca/4
Dialogue: 0,0:04:38.87,0:04:40.89,Default,,0000,0000,0000,,將分子和分母同時乘以2
Dialogue: 0,0:04:40.93,0:04:43.92,Default,,0000,0000,0000,,我們可以把分子相加
Dialogue: 0,0:04:43.99,0:04:51.25,Default,,0000,0000,0000,,我們的整個表達式等於根號下
Dialogue: 0,0:04:51.28,0:04:56.92,Default,,0000,0000,0000,,我要把第一項寫成這樣的形式
Dialogue: 0,0:04:56.92,0:05:03.06,Default,,0000,0000,0000,,c方 加2ca 加a方 減b方
Dialogue: 0,0:05:03.06,0:05:08.21,Default,,0000,0000,0000,,用這些項除以四
Dialogue: 0,0:05:08.21,0:05:13.23,Default,,0000,0000,0000,,得到第一個表達式
Dialogue: 0,0:05:13.23,0:05:19.21,Default,,0000,0000,0000,,下一個表達式
Dialogue: 0,0:05:19.21,0:05:21.25,Default,,0000,0000,0000,,寫下它的分母是4
Dialogue: 0,0:05:21.29,0:05:23.68,Default,,0000,0000,0000,,我們可以這樣寫
Dialogue: 0,0:05:23.68,0:05:30.90,Default,,0000,0000,0000,,我們可以寫成 b方減去
Dialogue: 0,0:05:30.90,0:05:42.91,Default,,0000,0000,0000,,括號 c方減2ca 加a方
Dialogue: 0,0:05:42.91,0:05:48.10,Default,,0000,0000,0000,,只是爲了確保我在這裡有一個負a方
Dialogue: 0,0:05:48.10,0:05:52.84,Default,,0000,0000,0000,,負負得正 在這裡有一個正的2ca
Dialogue: 0,0:05:52.84,0:05:57.31,Default,,0000,0000,0000,,這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方
Dialogue: 0,0:05:57.31,0:06:00.32,Default,,0000,0000,0000,,這兩個是等效的
Dialogue: 0,0:06:00.32,0:06:06.11,Default,,0000,0000,0000,,現在我們需要來辨認一下
Dialogue: 0,0:06:06.11,0:06:10.68,Default,,0000,0000,0000,,圈出來的這部分 可能有點亂
Dialogue: 0,0:06:10.73,0:06:14.58,Default,,0000,0000,0000,,這部分等於a與c和的平方
Dialogue: 0,0:06:14.62,0:06:19.53,Default,,0000,0000,0000,,這個等於根號下 括號
Dialogue: 0,0:06:19.53,0:06:29.25,Default,,0000,0000,0000,,c與a和的平方 減去b的平方 除以4
Dialogue: 0,0:06:29.25,0:06:32.61,Default,,0000,0000,0000,,這是第一項
Dialogue: 0,0:06:32.65,0:06:35.94,Default,,0000,0000,0000,,接下來是第二項也就是a與c和的平方
Dialogue: 0,0:06:35.99,0:06:43.04,Default,,0000,0000,0000,,因此 整個式子可簡化爲
Dialogue: 0,0:06:43.04,0:06:47.50,Default,,0000,0000,0000,,b方減去a與c和的平方 再除以4
Dialogue: 0,0:06:47.54,0:06:51.94,Default,,0000,0000,0000,,這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展
Dialogue: 0,0:06:51.94,0:06:54.62,Default,,0000,0000,0000,,但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法
Dialogue: 0,0:06:54.65,0:06:57.76,Default,,0000,0000,0000,,而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子
Dialogue: 0,0:06:57.76,0:06:59.70,Default,,0000,0000,0000,,化簡成更簡單的形式
Dialogue: 0,0:06:59.74,0:07:02.65,Default,,0000,0000,0000,,現在我們可以運用同樣的公式
Dialogue: 0,0:07:02.71,0:07:04.97,Default,,0000,0000,0000,,一項的平方減去另一項的平方
Dialogue: 0,0:07:05.01,0:07:06.85,Default,,0000,0000,0000,,一項的平方減去另一項的平方
Dialogue: 0,0:07:06.90,0:07:10.26,Default,,0000,0000,0000,,接著分解它 把過程寫在同一行
Dialogue: 0,0:07:10.26,0:07:13.24,Default,,0000,0000,0000,,我將縮小字體以便能寫下
Dialogue: 0,0:07:13.28,0:07:14.78,Default,,0000,0000,0000,,這將等於根號下
Dialogue: 0,0:07:14.80,0:07:23.72,Default,,0000,0000,0000,,這個因式可以分解成 這個加上這個
Dialogue: 0,0:07:23.79,0:07:29.94,Default,,0000,0000,0000,,即 (c+a+b)(c+a-b)
Dialogue: 0,0:07:29.98,0:07:33.84,Default,,0000,0000,0000,,和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方
Dialogue: 0,0:07:33.88,0:07:41.25,Default,,0000,0000,0000,,乘以 (c+a+b)/4
Dialogue: 0,0:07:41.30,0:07:46.24,Default,,0000,0000,0000,,來分解下一項 乘以 (b+c-a)
Dialogue: 0,0:07:50.56,0:07:52.77,Default,,0000,0000,0000,,讓我稍微往右移一下屏幕
Dialogue: 0,0:07:52.86,0:07:57.13,Default,,0000,0000,0000,,乘以(b+c-a)
Dialogue: 0,0:07:57.18,0:08:02.73,Default,,0000,0000,0000,,這是X+Y即b-(c-a)
Dialogue: 0,0:08:02.79,0:08:07.01,Default,,0000,0000,0000,,等同於(b-c+a)
Dialogue: 0,0:08:07.06,0:08:08.82,Default,,0000,0000,0000,,這等同於
Dialogue: 0,0:08:14.85,0:08:19.92,Default,,0000,0000,0000,,除以4
Dialogue: 0,0:08:19.97,0:08:25.30,Default,,0000,0000,0000,,現在我可以重新來寫整個表達式了
Dialogue: 0,0:08:25.34,0:08:28.52,Default,,0000,0000,0000,,將這個表達式
Dialogue: 0,0:08:28.52,0:08:33.02,Default,,0000,0000,0000,,改寫一下
Dialogue: 0,0:08:33.02,0:08:35.87,Default,,0000,0000,0000,,將4寫成2{\i1}2{\i0}
Dialogue: 0,0:08:35.94,0:08:40.62,Default,,0000,0000,0000,,這個化簡過程終於要結束了
Dialogue: 0,0:08:40.66,0:08:45.32,Default,,0000,0000,0000,,我們的表達式被簡化爲 根號下
Dialogue: 0,0:08:45.36,0:08:55.31,Default,,0000,0000,0000,,寫成(a+b+c)/2
Dialogue: 0,0:08:55.37,0:09:02.44,Default,,0000,0000,0000,,這是這一項 乘以這項 乘以這項
Dialogue: 0,0:09:02.44,0:09:06.22,Default,,0000,0000,0000,,讓我在這把它簡化一下
Dialogue: 0,0:09:06.28,0:09:13.00,Default,,0000,0000,0000,,c+a-b 等於 a+b+c-2b
Dialogue: 0,0:09:13.00,0:09:14.94,Default,,0000,0000,0000,,這兩項是相等的
Dialogue: 0,0:09:15.01,0:09:19.43,Default,,0000,0000,0000,,這是a 這是c
Dialogue: 0,0:09:19.52,0:09:23.04,Default,,0000,0000,0000,,b-2b 等於 -b
Dialogue: 0,0:09:23.07,0:09:25.94,Default,,0000,0000,0000,,對吧 這是-b
Dialogue: 0,0:09:26.01,0:09:34.07,Default,,0000,0000,0000,,下一項是(a+b+c-2b)/2
Dialogue: 0,0:09:34.11,0:09:35.73,Default,,0000,0000,0000,,或者可以拆開 寫成這樣的形式
Dialogue: 0,0:09:39.28,0:09:45.92,Default,,0000,0000,0000,,接下來第三項也是同樣的思路
Dialogue: 0,0:09:45.96,0:09:53.10,Default,,0000,0000,0000,,等於 a+b+c-2a
Dialogue: 0,0:09:53.10,0:09:56.89,Default,,0000,0000,0000,,再除以2
Dialogue: 0,0:09:56.94,0:10:00.09,Default,,0000,0000,0000,,如果我們用a加上-2a 就能得到-a
Dialogue: 0,0:10:00.14,0:10:03.33,Default,,0000,0000,0000,,即可得 b+c-a他們是相同的
Dialogue: 0,0:10:03.35,0:10:06.94,Default,,0000,0000,0000,,這些除以2 或者將分子分開
Dialogue: 0,0:10:06.97,0:10:08.50,Default,,0000,0000,0000,,像這樣 除以2
Dialogue: 0,0:10:08.53,0:10:12.93,Default,,0000,0000,0000,,到了最後一項
Dialogue: 0,0:10:12.98,0:10:15.78,Default,,0000,0000,0000,,也許你已經可以從中分辨出海倫公式
Dialogue: 0,0:10:15.78,0:10:19.22,Default,,0000,0000,0000,,但是我沒有在考慮海倫公式
Dialogue: 0,0:10:19.27,0:10:21.93,Default,,0000,0000,0000,,那項很顯然與
Dialogue: 0,0:10:21.96,0:10:28.02,Default,,0000,0000,0000,,a+b+c-2c 是相等的
Dialogue: 0,0:10:28.09,0:10:30.86,Default,,0000,0000,0000,,用c減去2c 得到-c
Dialogue: 0,0:10:30.93,0:10:32.83,Default,,0000,0000,0000,,依然是 a+b-c 然後除以2
Dialogue: 0,0:10:32.91,0:10:37.37,Default,,0000,0000,0000,,把這個除以二減去那個除以二
Dialogue: 0,0:10:37.43,0:10:41.41,Default,,0000,0000,0000,,而且 在這一整串式子上還要加上一個根號
Dialogue: 0,0:10:41.45,0:10:48.96,Default,,0000,0000,0000,,現在如果我們設 S=(a+b+c)/2
Dialogue: 0,0:10:48.96,0:10:55.72,Default,,0000,0000,0000,,那麽這個式子會變得更簡潔
Dialogue: 0,0:10:55.72,0:10:59.87,Default,,0000,0000,0000,,這是S這也是S這個也是S
Dialogue: 0,0:10:59.87,0:11:04.40,Default,,0000,0000,0000,,那個也是S
Dialogue: 0,0:11:04.40,0:11:06.56,Default,,0000,0000,0000,,確實簡化了許多
Dialogue: 0,0:11:06.56,0:11:11.79,Default,,0000,0000,0000,,-2b/2 等同於-b
Dialogue: 0,0:11:11.83,0:11:14.45,Default,,0000,0000,0000,,-2a/2 等同於-a
Dialogue: 0,0:11:14.49,0:11:17.22,Default,,0000,0000,0000,,-2c/2 同樣的道理 是-c
Dialogue: 0,0:11:17.22,0:11:21.04,Default,,0000,0000,0000,,現在 重新寫上根號
Dialogue: 0,0:11:21.09,0:11:24.73,Default,,0000,0000,0000,,這個式子等於
Dialogue: 0,0:11:24.73,0:11:30.73,Default,,0000,0000,0000,,根號下 S乘以
Dialogue: 0,0:11:30.73,0:11:36.64,Default,,0000,0000,0000,,我將用相同的顏色寫接下來的這些式子
Dialogue: 0,0:11:36.68,0:11:45.53,Default,,0000,0000,0000,,乘以(S-b)(S-a)
Dialogue: 0,0:11:45.56,0:11:52.21,Default,,0000,0000,0000,,再乘以最後一項 (S-c)
Dialogue: 0,0:11:52.26,0:11:57.00,Default,,0000,0000,0000,,現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子
Dialogue: 0,0:11:57.00,0:11:59.43,Default,,0000,0000,0000,,和海倫公式是一回事
Dialogue: 0,0:11:59.43,0:12:03.26,Default,,0000,0000,0000,,它變得非常簡潔
Dialogue: 0,0:12:03.26,0:12:07.16,Default,,0000,0000,0000,,我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它