1
00:00:00,000 --> 00:00:04,110
在上一段影片中我說過這樣一個式子

2
00:00:04,110 --> 00:00:08,990
來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積

3
00:00:08,990 --> 00:00:11,710
它的結果等同於海倫公式

4
00:00:11,760 --> 00:00:13,680
在這段影片中我要講的是

5
00:00:13,700 --> 00:00:15,550
通過一些最基本的代數運算

6
00:00:15,580 --> 00:00:18,510
來證明上式與海倫公式相等

7
00:00:18,560 --> 00:00:20,470
首先我們來處理一下1/2 c

8
00:00:20,530 --> 00:00:23,670
把它放到根號中去

9
00:00:23,670 --> 00:00:30,680
可得根號下c的平方分之四

10
00:00:30,770 --> 00:00:32,690
去掉根號等於1/2 c

11
00:00:32,760 --> 00:00:37,000
我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣

12
00:00:37,050 --> 00:00:42,860
那麽可以得到c的平方除以4的平方根

13
00:00:42,900 --> 00:00:49,490
乘以剩下的這些項

14
00:00:49,560 --> 00:00:54,620
我將它們複製並粘貼

15
00:00:54,620 --> 00:00:59,530
乘上這個表達式 再把它展開

16
00:00:59,570 --> 00:01:03,760
所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項

17
00:01:03,810 --> 00:01:06,320
在末尾加一個括號

18
00:01:06,340 --> 00:01:11,550
把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等

19
00:01:11,570 --> 00:01:15,480
這將是一個很複雜的過程

20
00:01:15,520 --> 00:01:17,630
當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候

21
00:01:17,630 --> 00:01:20,040
你會覺得很有成就感

22
00:01:20,100 --> 00:01:27,610
根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方

23
00:01:27,610 --> 00:01:33,950
除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項

24
00:01:34,010 --> 00:01:37,200
展開括號

25
00:01:37,200 --> 00:01:39,230
並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式

26
00:01:39,230 --> 00:01:48,070
c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方

27
00:01:48,090 --> 00:01:52,410
除以分母的平方 即4c方

28
00:01:52,410 --> 00:01:54,300
於是可以將這個c方和這個c方

29
00:01:54,350 --> 00:01:55,890
一並消去

30
00:01:55,940 --> 00:01:58,830
像這樣把所有的括號閉合

31
00:01:58,830 --> 00:02:02,060
這個分母中的4 乘以另一個分母中的4

32
00:02:02,060 --> 00:02:04,850
讓我這樣寫下結果

33
00:02:04,900 --> 00:02:06,670
這和4的平方相等

34
00:02:06,670 --> 00:02:09,620
接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16

35
00:02:09,620 --> 00:02:15,760
現在我可以重新寫下這個式子

36
00:02:15,800 --> 00:02:18,750
我隨機地變換了一下顏色

37
00:02:18,750 --> 00:02:26,130
這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方

38
00:02:26,130 --> 00:02:28,830
我要把它寫成c/4的平方的形式

39
00:02:28,830 --> 00:02:30,850
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方

40
00:02:30,930 --> 00:02:35,290
即4 再減去

41
00:02:35,320 --> 00:02:36,700
把這個長的表達式也寫成平方的形式

42
00:02:36,700 --> 00:02:44,120
即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4

43
00:02:44,180 --> 00:02:48,360
將分子和分母同時平方

44
00:02:48,390 --> 00:02:50,710
將分子和分母同時平方

45
00:02:50,710 --> 00:02:54,390
現在看起來好像很有趣

46
00:02:54,390 --> 00:02:55,970
用另一個不同的顏色來表示這個括號

47
00:02:56,020 --> 00:03:00,570
也許你還記得多項式的因式分解

48
00:03:00,570 --> 00:03:03,410
x方減去y方

49
00:03:03,410 --> 00:03:08,620
可以寫成(x+y)(x-y)

50
00:03:08,660 --> 00:03:10,450
現在我們要一遍遍地運用這個公式

51
00:03:10,480 --> 00:03:16,110
把ca/2當作x 把這個當成y

52
00:03:16,140 --> 00:03:20,180
那麽便構成了x方減y方這個式子

53
00:03:20,230 --> 00:03:25,370
分解這個式子 可寫成

54
00:03:25,370 --> 00:03:34,230
根號下 x+y即ca/2+y

55
00:03:34,230 --> 00:03:40,150
乘以 x-y

56
00:03:40,150 --> 00:03:47,900
其中y等於c方加a方x是 ca/2

57
00:03:47,960 --> 00:03:51,510
減去這一串式子

58
00:03:51,510 --> 00:03:55,250
或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號

59
00:03:55,250 --> 00:04:04,750
加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4

60
00:04:04,750 --> 00:04:10,310
這一切等同於

61
00:04:10,310 --> 00:04:15,920
這個與這個的和 再乘以這個與這個的差

62
00:04:15,950 --> 00:04:18,880
像我剛剛說的那樣 加上它的相反數

63
00:04:18,900 --> 00:04:23,940
即負的c方 減a方 加b方

64
00:04:23,940 --> 00:04:26,000
運用這個式子

65
00:04:26,000 --> 00:04:28,290
看看是否能夠將其簡化

66
00:04:28,370 --> 00:04:31,890
我們可以通分得到公分母

67
00:04:31,950 --> 00:04:34,850
ca/2 等於2ca/4

68
00:04:34,850 --> 00:04:38,830
這個也是 ca/2 即2ca/4

69
00:04:38,870 --> 00:04:40,890
將分子和分母同時乘以2

70
00:04:40,930 --> 00:04:43,920
我們可以把分子相加

71
00:04:43,990 --> 00:04:51,250
我們的整個表達式等於根號下

72
00:04:51,280 --> 00:04:56,920
我要把第一項寫成這樣的形式

73
00:04:56,920 --> 00:05:03,060
c方 加2ca 加a方 減b方

74
00:05:03,060 --> 00:05:08,210
用這些項除以四

75
00:05:08,210 --> 00:05:13,230
得到第一個表達式

76
00:05:13,230 --> 00:05:19,210
下一個表達式

77
00:05:19,210 --> 00:05:21,250
寫下它的分母是4

78
00:05:21,290 --> 00:05:23,680
我們可以這樣寫

79
00:05:23,680 --> 00:05:30,900
我們可以寫成 b方減去

80
00:05:30,900 --> 00:05:42,910
括號 c方減2ca 加a方

81
00:05:42,910 --> 00:05:48,100
只是爲了確保我在這裡有一個負a方

82
00:05:48,100 --> 00:05:52,840
負負得正 在這裡有一個正的2ca

83
00:05:52,840 --> 00:05:57,310
這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方

84
00:05:57,310 --> 00:06:00,320
這兩個是等效的

85
00:06:00,320 --> 00:06:06,110
現在我們需要來辨認一下

86
00:06:06,110 --> 00:06:10,680
圈出來的這部分 可能有點亂

87
00:06:10,730 --> 00:06:14,580
這部分等於a與c和的平方

88
00:06:14,620 --> 00:06:19,530
這個等於根號下 括號

89
00:06:19,530 --> 00:06:29,250
c與a和的平方 減去b的平方 除以4

90
00:06:29,250 --> 00:06:32,610
這是第一項

91
00:06:32,650 --> 00:06:35,940
接下來是第二項也就是a與c和的平方

92
00:06:35,990 --> 00:06:43,040
因此 整個式子可簡化爲

93
00:06:43,040 --> 00:06:47,500
b方減去a與c和的平方 再除以4

94
00:06:47,540 --> 00:06:51,940
這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展

95
00:06:51,940 --> 00:06:54,620
但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法

96
00:06:54,650 --> 00:06:57,760
而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子

97
00:06:57,760 --> 00:06:59,700
化簡成更簡單的形式

98
00:06:59,740 --> 00:07:02,650
現在我們可以運用同樣的公式

99
00:07:02,710 --> 00:07:04,970
一項的平方減去另一項的平方

100
00:07:05,010 --> 00:07:06,850
一項的平方減去另一項的平方

101
00:07:06,900 --> 00:07:10,260
接著分解它 把過程寫在同一行

102
00:07:10,260 --> 00:07:13,240
我將縮小字體以便能寫下

103
00:07:13,280 --> 00:07:14,780
這將等於根號下

104
00:07:14,800 --> 00:07:23,720
這個因式可以分解成 這個加上這個

105
00:07:23,790 --> 00:07:29,940
即 (c+a+b)(c+a-b)

106
00:07:29,980 --> 00:07:33,840
和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方

107
00:07:33,880 --> 00:07:41,250
乘以 (c+a+b)/4

108
00:07:41,300 --> 00:07:46,240
來分解下一項 乘以 (b+c-a)

109
00:07:50,560 --> 00:07:52,770
讓我稍微往右移一下屏幕

110
00:07:52,860 --> 00:07:57,130
乘以(b+c-a)

111
00:07:57,180 --> 00:08:02,730
這是X+Y即b-(c-a)

112
00:08:02,790 --> 00:08:07,010
等同於(b-c+a)

113
00:08:07,060 --> 00:08:08,820
這等同於

114
00:08:14,850 --> 00:08:19,920
除以4

115
00:08:19,970 --> 00:08:25,300
現在我可以重新來寫整個表達式了

116
00:08:25,340 --> 00:08:28,520
將這個表達式

117
00:08:28,520 --> 00:08:33,020
改寫一下

118
00:08:33,020 --> 00:08:35,870
將4寫成2<i>2</i>

119
00:08:35,940 --> 00:08:40,620
這個化簡過程終於要結束了

120
00:08:40,660 --> 00:08:45,320
我們的表達式被簡化爲 根號下

121
00:08:45,360 --> 00:08:55,310
寫成(a+b+c)/2

122
00:08:55,370 --> 00:09:02,440
這是這一項 乘以這項 乘以這項

123
00:09:02,440 --> 00:09:06,220
讓我在這把它簡化一下

124
00:09:06,280 --> 00:09:13,000
c+a-b 等於 a+b+c-2b

125
00:09:13,000 --> 00:09:14,940
這兩項是相等的

126
00:09:15,010 --> 00:09:19,430
這是a 這是c

127
00:09:19,520 --> 00:09:23,040
b-2b 等於 -b

128
00:09:23,070 --> 00:09:25,940
對吧 這是-b

129
00:09:26,010 --> 00:09:34,070
下一項是(a+b+c-2b)/2

130
00:09:34,110 --> 00:09:35,730
或者可以拆開 寫成這樣的形式

131
00:09:39,280 --> 00:09:45,920
接下來第三項也是同樣的思路

132
00:09:45,960 --> 00:09:53,100
等於 a+b+c-2a

133
00:09:53,100 --> 00:09:56,890
再除以2

134
00:09:56,940 --> 00:10:00,090
如果我們用a加上-2a 就能得到-a

135
00:10:00,140 --> 00:10:03,330
即可得 b+c-a他們是相同的

136
00:10:03,350 --> 00:10:06,940
這些除以2 或者將分子分開

137
00:10:06,970 --> 00:10:08,500
像這樣 除以2

138
00:10:08,530 --> 00:10:12,930
到了最後一項

139
00:10:12,980 --> 00:10:15,780
也許你已經可以從中分辨出海倫公式

140
00:10:15,780 --> 00:10:19,220
但是我沒有在考慮海倫公式

141
00:10:19,270 --> 00:10:21,930
那項很顯然與

142
00:10:21,960 --> 00:10:28,020
a+b+c-2c 是相等的

143
00:10:28,090 --> 00:10:30,860
用c減去2c 得到-c

144
00:10:30,930 --> 00:10:32,830
依然是 a+b-c 然後除以2

145
00:10:32,910 --> 00:10:37,370
把這個除以二減去那個除以二

146
00:10:37,430 --> 00:10:41,410
而且 在這一整串式子上還要加上一個根號

147
00:10:41,450 --> 00:10:48,960
現在如果我們設 S=(a+b+c)/2

148
00:10:48,960 --> 00:10:55,720
那麽這個式子會變得更簡潔

149
00:10:55,720 --> 00:10:59,870
這是S這也是S這個也是S

150
00:10:59,870 --> 00:11:04,400
那個也是S

151
00:11:04,400 --> 00:11:06,560
確實簡化了許多

152
00:11:06,560 --> 00:11:11,790
-2b/2 等同於-b

153
00:11:11,830 --> 00:11:14,450
-2a/2 等同於-a

154
00:11:14,490 --> 00:11:17,220
-2c/2 同樣的道理 是-c

155
00:11:17,220 --> 00:11:21,040
現在 重新寫上根號

156
00:11:21,090 --> 00:11:24,730
這個式子等於

157
00:11:24,730 --> 00:11:30,730
根號下 S乘以

158
00:11:30,730 --> 00:11:36,640
我將用相同的顏色寫接下來的這些式子

159
00:11:36,680 --> 00:11:45,530
乘以(S-b)(S-a)

160
00:11:45,560 --> 00:11:52,210
再乘以最後一項 (S-c)

161
00:11:52,260 --> 00:11:57,000
現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子

162
00:11:57,000 --> 00:11:59,430
和海倫公式是一回事

163
00:11:59,430 --> 00:12:03,260
它變得非常簡潔

164
00:12:03,260 --> 00:12:07,160
我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它