0:00:00.000,0:00:04.110
在上一段影片中我說過這樣一個式子

0:00:04.110,0:00:08.990
來求一個三邊長分別爲a b c的三角形的面積

0:00:08.990,0:00:11.710
它的結果等同於海倫公式

0:00:11.760,0:00:13.680
在這段影片中我要講的是

0:00:13.700,0:00:15.550
通過一些最基本的代數運算

0:00:15.580,0:00:18.510
來證明上式與海倫公式相等

0:00:18.560,0:00:20.470
首先我們來處理一下1/2 c

0:00:20.530,0:00:23.670
把它放到根號中去

0:00:23.670,0:00:30.680
可得根號下c的平方分之四

0:00:30.770,0:00:32.690
去掉根號等於1/2 c

0:00:32.760,0:00:37.000
我用sqrt來代替根號 整個表達式就變成了這樣

0:00:37.050,0:00:42.860
那麽可以得到c的平方除以4的平方根

0:00:42.900,0:00:49.490
乘以剩下的這些項

0:00:49.560,0:00:54.620
我將它們複製並粘貼

0:00:54.620,0:00:59.530
乘上這個表達式 再把它展開

0:00:59.570,0:01:03.760
所以用4分之c的平方 乘以括號裏面的這些項

0:01:03.810,0:01:06.320
在末尾加一個括號

0:01:06.340,0:01:11.550
把4分之c的平方乘進括號 得到的結果與公式相等

0:01:11.570,0:01:15.480
這將是一個很複雜的過程

0:01:15.520,0:01:17.630
當這個式子會被簡化成像海倫公式那樣淺顯的時候

0:01:17.630,0:01:20.040
你會覺得很有成就感

0:01:20.100,0:01:27.610
根號下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方

0:01:27.610,0:01:33.950
除以4 減去4分之c的平方乘以括號中的項

0:01:34.010,0:01:37.200
展開括號

0:01:37.200,0:01:39.230
並把它寫成分子的平方除以分母的平方的形式

0:01:39.230,0:01:48.070
c的平方加上a的平方減去b的平方 括號外的平方

0:01:48.090,0:01:52.410
除以分母的平方 即4c方

0:01:52.410,0:01:54.300
於是可以將這個c方和這個c方

0:01:54.350,0:01:55.890
一並消去

0:01:55.940,0:01:58.830
像這樣把所有的括號閉合

0:01:58.830,0:02:02.060
這個分母中的4 乘以另一個分母中的4

0:02:02.060,0:02:04.850
讓我這樣寫下結果

0:02:04.900,0:02:06.670
這和4的平方相等

0:02:06.670,0:02:09.620
接下來你會發現爲什麽我用4的平方代替16

0:02:09.620,0:02:15.760
現在我可以重新寫下這個式子

0:02:15.800,0:02:18.750
我隨機地變換了一下顏色

0:02:18.750,0:02:26.130
這個式子等於根號下ca/2 括號外的平方

0:02:26.130,0:02:28.830
我要把它寫成c/4的平方的形式

0:02:28.830,0:02:30.850
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方

0:02:30.930,0:02:35.290
即4 再減去

0:02:35.320,0:02:36.700
把這個長的表達式也寫成平方的形式

0:02:36.700,0:02:44.120
即c的平方 加上a的平方 減去b的平方除以4

0:02:44.180,0:02:48.360
將分子和分母同時平方

0:02:48.390,0:02:50.710
將分子和分母同時平方

0:02:50.710,0:02:54.390
現在看起來好像很有趣

0:02:54.390,0:02:55.970
用另一個不同的顏色來表示這個括號

0:02:56.020,0:03:00.570
也許你還記得多項式的因式分解

0:03:00.570,0:03:03.410
x方減去y方

0:03:03.410,0:03:08.620
可以寫成(x+y)(x-y)

0:03:08.660,0:03:10.450
現在我們要一遍遍地運用這個公式

0:03:10.480,0:03:16.110
把ca/2當作x 把這個當成y

0:03:16.140,0:03:20.180
那麽便構成了x方減y方這個式子

0:03:20.230,0:03:25.370
分解這個式子 可寫成

0:03:25.370,0:03:34.230
根號下 x+y即ca/2+y

0:03:34.230,0:03:40.150
乘以 x-y

0:03:40.150,0:03:47.900
其中y等於c方加a方x是 ca/2

0:03:47.960,0:03:51.510
減去這一串式子

0:03:51.510,0:03:55.250
或者讓我們用一種更好的方式 把減號寫成加號

0:03:55.250,0:04:04.750
加上負的c方 減去a方 加上b方 除以4

0:04:04.750,0:04:10.310
這一切等同於

0:04:10.310,0:04:15.920
這個與這個的和 再乘以這個與這個的差

0:04:15.950,0:04:18.880
像我剛剛說的那樣 加上它的相反數

0:04:18.900,0:04:23.940
即負的c方 減a方 加b方

0:04:23.940,0:04:26.000
運用這個式子

0:04:26.000,0:04:28.290
看看是否能夠將其簡化

0:04:28.370,0:04:31.890
我們可以通分得到公分母

0:04:31.950,0:04:34.850
ca/2 等於2ca/4

0:04:34.850,0:04:38.830
這個也是 ca/2 即2ca/4

0:04:38.870,0:04:40.890
將分子和分母同時乘以2

0:04:40.930,0:04:43.920
我們可以把分子相加

0:04:43.990,0:04:51.250
我們的整個表達式等於根號下

0:04:51.280,0:04:56.920
我要把第一項寫成這樣的形式

0:04:56.920,0:05:03.060
c方 加2ca 加a方 減b方

0:05:03.060,0:05:08.210
用這些項除以四

0:05:08.210,0:05:13.230
得到第一個表達式

0:05:13.230,0:05:19.210
下一個表達式

0:05:19.210,0:05:21.250
寫下它的分母是4

0:05:21.290,0:05:23.680
我們可以這樣寫

0:05:23.680,0:05:30.900
我們可以寫成 b方減去

0:05:30.900,0:05:42.910
括號 c方減2ca 加a方

0:05:42.910,0:05:48.100
只是爲了確保我在這裡有一個負a方

0:05:48.100,0:05:52.840
負負得正 在這裡有一個正的2ca

0:05:52.840,0:05:57.310
這裡有一個負的c方 這裡有減去括號內的c方

0:05:57.310,0:06:00.320
這兩個是等效的

0:06:00.320,0:06:06.110
現在我們需要來辨認一下

0:06:06.110,0:06:10.680
圈出來的這部分 可能有點亂

0:06:10.730,0:06:14.580
這部分等於a與c和的平方

0:06:14.620,0:06:19.530
這個等於根號下 括號

0:06:19.530,0:06:29.250
c與a和的平方 減去b的平方 除以4

0:06:29.250,0:06:32.610
這是第一項

0:06:32.650,0:06:35.940
接下來是第二項也就是a與c和的平方

0:06:35.990,0:06:43.040
因此 整個式子可簡化爲

0:06:43.040,0:06:47.500
b方減去a與c和的平方 再除以4

0:06:47.540,0:06:51.940
這是一個複雜的問題 我們取得了一些進展

0:06:51.940,0:06:54.620
但是我們可以看到一些 簡潔的分解因式的方法

0:06:54.650,0:06:57.760
而且 我們可以把這樣一個奇怪的式子

0:06:57.760,0:06:59.700
化簡成更簡單的形式

0:06:59.740,0:07:02.650
現在我們可以運用同樣的公式

0:07:02.710,0:07:04.970
一項的平方減去另一項的平方

0:07:05.010,0:07:06.850
一項的平方減去另一項的平方

0:07:06.900,0:07:10.260
接著分解它 把過程寫在同一行

0:07:10.260,0:07:13.240
我將縮小字體以便能寫下

0:07:13.280,0:07:14.780
這將等於根號下

0:07:14.800,0:07:23.720
這個因式可以分解成 這個加上這個

0:07:23.790,0:07:29.940
即 (c+a+b)(c+a-b)

0:07:29.980,0:07:33.840
和這個因式分解是相同的 這是x的平方 這是y的平方

0:07:33.880,0:07:41.250
乘以 (c+a+b)/4

0:07:41.300,0:07:46.240
來分解下一項 乘以 (b+c-a)

0:07:50.560,0:07:52.770
讓我稍微往右移一下屏幕

0:07:52.860,0:07:57.130
乘以(b+c-a)

0:07:57.180,0:08:02.730
這是X+Y即b-(c-a)

0:08:02.790,0:08:07.010
等同於(b-c+a)

0:08:07.060,0:08:08.820
這等同於

0:08:14.850,0:08:19.920
除以4

0:08:19.970,0:08:25.300
現在我可以重新來寫整個表達式了

0:08:25.340,0:08:28.520
將這個表達式

0:08:28.520,0:08:33.020
改寫一下

0:08:33.020,0:08:35.870
將4寫成2<i>2</i>

0:08:35.940,0:08:40.620
這個化簡過程終於要結束了

0:08:40.660,0:08:45.320
我們的表達式被簡化爲 根號下

0:08:45.360,0:08:55.310
寫成(a+b+c)/2

0:08:55.370,0:09:02.440
這是這一項 乘以這項 乘以這項

0:09:02.440,0:09:06.220
讓我在這把它簡化一下

0:09:06.280,0:09:13.000
c+a-b 等於 a+b+c-2b

0:09:13.000,0:09:14.940
這兩項是相等的

0:09:15.010,0:09:19.430
這是a 這是c

0:09:19.520,0:09:23.040
b-2b 等於 -b

0:09:23.070,0:09:25.940
對吧 這是-b

0:09:26.010,0:09:34.070
下一項是(a+b+c-2b)/2

0:09:34.110,0:09:35.730
或者可以拆開 寫成這樣的形式

0:09:39.280,0:09:45.920
接下來第三項也是同樣的思路

0:09:45.960,0:09:53.100
等於 a+b+c-2a

0:09:53.100,0:09:56.890
再除以2

0:09:56.940,0:10:00.090
如果我們用a加上-2a 就能得到-a

0:10:00.140,0:10:03.330
即可得 b+c-a他們是相同的

0:10:03.350,0:10:06.940
這些除以2 或者將分子分開

0:10:06.970,0:10:08.500
像這樣 除以2

0:10:08.530,0:10:12.930
到了最後一項

0:10:12.980,0:10:15.780
也許你已經可以從中分辨出海倫公式

0:10:15.780,0:10:19.220
但是我沒有在考慮海倫公式

0:10:19.270,0:10:21.930
那項很顯然與

0:10:21.960,0:10:28.020
a+b+c-2c 是相等的

0:10:28.090,0:10:30.860
用c減去2c 得到-c

0:10:30.930,0:10:32.830
依然是 a+b-c 然後除以2

0:10:32.910,0:10:37.370
把這個除以二減去那個除以二

0:10:37.430,0:10:41.410
而且 在這一整串式子上還要加上一個根號

0:10:41.450,0:10:48.960
現在如果我們設 S=(a+b+c)/2

0:10:48.960,0:10:55.720
那麽這個式子會變得更簡潔

0:10:55.720,0:10:59.870
這是S這也是S這個也是S

0:10:59.870,0:11:04.400
那個也是S

0:11:04.400,0:11:06.560
確實簡化了許多

0:11:06.560,0:11:11.790
-2b/2 等同於-b

0:11:11.830,0:11:14.450
-2a/2 等同於-a

0:11:14.490,0:11:17.220
-2c/2 同樣的道理 是-c

0:11:17.220,0:11:21.040
現在 重新寫上根號

0:11:21.090,0:11:24.730
這個式子等於

0:11:24.730,0:11:30.730
根號下 S乘以

0:11:30.730,0:11:36.640
我將用相同的顏色寫接下來的這些式子

0:11:36.680,0:11:45.530
乘以(S-b)(S-a)

0:11:45.560,0:11:52.210
再乘以最後一項 (S-c)

0:11:52.260,0:11:57.000
現在我們證明了 上一個影片中我們得到的式子

0:11:57.000,0:11:59.430
和海倫公式是一回事

0:11:59.430,0:12:03.260
它變得非常簡潔

0:12:03.260,0:12:07.160
我們只需要做一些複雜的推導就能夠證明它