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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:04.11,Default,,0000,0000,0000,,在上一段视频中我说过这样一个式子
Dialogue: 0,0:00:04.11,0:00:08.99,Default,,0000,0000,0000,,来求一个三边长分别为a b c的三角形的面积
Dialogue: 0,0:00:08.99,0:00:11.71,Default,,0000,0000,0000,,它的结果等同于海伦公式
Dialogue: 0,0:00:11.76,0:00:13.68,Default,,0000,0000,0000,,在这段视频中我要讲的是
Dialogue: 0,0:00:13.70,0:00:15.55,Default,,0000,0000,0000,,通过一些最基本的代数运算
Dialogue: 0,0:00:15.58,0:00:18.51,Default,,0000,0000,0000,,来证明上式与海伦公式相等
Dialogue: 0,0:00:18.56,0:00:20.47,Default,,0000,0000,0000,,首先我们来处理一下1/2 c
Dialogue: 0,0:00:20.53,0:00:23.67,Default,,0000,0000,0000,,把它放到根号中去
Dialogue: 0,0:00:23.67,0:00:30.68,Default,,0000,0000,0000,,可得根号下c的平方分之四
Dialogue: 0,0:00:30.77,0:00:32.69,Default,,0000,0000,0000,,去掉根号等于1/2 c
Dialogue: 0,0:00:32.76,0:00:37.00,Default,,0000,0000,0000,,我用sqrt来代替根号 整个表达式就变成了这样
Dialogue: 0,0:00:37.05,0:00:42.86,Default,,0000,0000,0000,,那么可以得到c的平方除以4的平方根
Dialogue: 0,0:00:42.90,0:00:49.49,Default,,0000,0000,0000,,乘以剩下的这些项
Dialogue: 0,0:00:49.56,0:00:54.62,Default,,0000,0000,0000,,我将它们复制并粘贴
Dialogue: 0,0:00:54.62,0:00:59.53,Default,,0000,0000,0000,,乘上这个表达式 再把它展开
Dialogue: 0,0:00:59.57,0:01:03.76,Default,,0000,0000,0000,,所以用4分之c的平方 乘以括号里面的这些项
Dialogue: 0,0:01:03.81,0:01:06.32,Default,,0000,0000,0000,,在末尾加一个括号
Dialogue: 0,0:01:06.34,0:01:11.55,Default,,0000,0000,0000,,把4分之c的平方乘进括号 得到的结果与公式相等
Dialogue: 0,0:01:11.57,0:01:15.48,Default,,0000,0000,0000,,这将是一个很复杂的过程
Dialogue: 0,0:01:15.52,0:01:17.63,Default,,0000,0000,0000,,当这个式子会被简化成像海伦公式那样浅显的时候
Dialogue: 0,0:01:17.63,0:01:20.04,Default,,0000,0000,0000,,你会觉得很有成就感
Dialogue: 0,0:01:20.10,0:01:27.61,Default,,0000,0000,0000,,根号下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
Dialogue: 0,0:01:27.61,0:01:33.95,Default,,0000,0000,0000,,除以4 减去4分之c的平方乘以括号中的项
Dialogue: 0,0:01:34.01,0:01:37.20,Default,,0000,0000,0000,,展开括号
Dialogue: 0,0:01:37.20,0:01:39.23,Default,,0000,0000,0000,,并把它写成分子的平方除以分母的平方的形式
Dialogue: 0,0:01:39.23,0:01:48.07,Default,,0000,0000,0000,,c的平方加上a的平方减去b的平方 括号外的平方
Dialogue: 0,0:01:48.09,0:01:52.41,Default,,0000,0000,0000,,除以分母的平方 即4c方
Dialogue: 0,0:01:52.41,0:01:54.30,Default,,0000,0000,0000,,于是可以将这个c方和这个c方
Dialogue: 0,0:01:54.35,0:01:55.89,Default,,0000,0000,0000,,一并消去
Dialogue: 0,0:01:55.94,0:01:58.83,Default,,0000,0000,0000,,像这样把所有的括号闭合
Dialogue: 0,0:01:58.83,0:02:02.06,Default,,0000,0000,0000,,这个分母中的4 乘以另一个分母中的4
Dialogue: 0,0:02:02.06,0:02:04.85,Default,,0000,0000,0000,,让我这样写下结果
Dialogue: 0,0:02:04.90,0:02:06.67,Default,,0000,0000,0000,,这和4的平方相等
Dialogue: 0,0:02:06.67,0:02:09.62,Default,,0000,0000,0000,,接下来你会发现为什么我用4的平方代替16
Dialogue: 0,0:02:09.62,0:02:15.76,Default,,0000,0000,0000,,现在我可以重新写下这个式子
Dialogue: 0,0:02:15.80,0:02:18.75,Default,,0000,0000,0000,,我随机地变换了一下颜色
Dialogue: 0,0:02:18.75,0:02:26.13,Default,,0000,0000,0000,,这个式子等于根号下ca/2 括号外的平方
Dialogue: 0,0:02:26.13,0:02:28.83,Default,,0000,0000,0000,,我要把它写成c/4的平方的形式
Dialogue: 0,0:02:28.83,0:02:30.85,Default,,0000,0000,0000,,如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
Dialogue: 0,0:02:30.93,0:02:35.29,Default,,0000,0000,0000,,即4 再减去
Dialogue: 0,0:02:35.32,0:02:36.70,Default,,0000,0000,0000,,把这个长的表达式也写成平方的形式
Dialogue: 0,0:02:36.70,0:02:44.12,Default,,0000,0000,0000,,即c的平方 加上a的平方 减去b的平方除以4
Dialogue: 0,0:02:44.18,0:02:48.36,Default,,0000,0000,0000,,将分子和分母同时平方
Dialogue: 0,0:02:48.39,0:02:50.71,Default,,0000,0000,0000,,将分子和分母同时平方
Dialogue: 0,0:02:50.71,0:02:54.39,Default,,0000,0000,0000,,现在看起来好像很有趣
Dialogue: 0,0:02:54.39,0:02:55.97,Default,,0000,0000,0000,,用另一个不同的颜色来表示这个括号
Dialogue: 0,0:02:56.02,0:03:00.57,Default,,0000,0000,0000,,也许你还记得多项式的因式分解
Dialogue: 0,0:03:00.57,0:03:03.41,Default,,0000,0000,0000,,x方减去y方
Dialogue: 0,0:03:03.41,0:03:08.62,Default,,0000,0000,0000,,可以写成(x+y)(x-y)
Dialogue: 0,0:03:08.66,0:03:10.45,Default,,0000,0000,0000,,现在我们要一遍遍地运用这个公式
Dialogue: 0,0:03:10.48,0:03:16.11,Default,,0000,0000,0000,,把ca/2当作x 把这个当成y
Dialogue: 0,0:03:16.14,0:03:20.18,Default,,0000,0000,0000,,那么便构成了x方减y方这个式子
Dialogue: 0,0:03:20.23,0:03:25.37,Default,,0000,0000,0000,,分解这个式子 可写成
Dialogue: 0,0:03:25.37,0:03:34.23,Default,,0000,0000,0000,,根号下 x+y即ca/2+y
Dialogue: 0,0:03:34.23,0:03:40.15,Default,,0000,0000,0000,,乘以 x-y
Dialogue: 0,0:03:40.15,0:03:47.90,Default,,0000,0000,0000,,其中y等于c方加a方x是 ca/2
Dialogue: 0,0:03:47.96,0:03:51.51,Default,,0000,0000,0000,,减去这一串式子
Dialogue: 0,0:03:51.51,0:03:55.25,Default,,0000,0000,0000,,或者让我们用一种更好的方式 把减号写成加号
Dialogue: 0,0:03:55.25,0:04:04.75,Default,,0000,0000,0000,,加上负的c方 减去a方 加上b方 除以4
Dialogue: 0,0:04:04.75,0:04:10.31,Default,,0000,0000,0000,,这一切等同于
Dialogue: 0,0:04:10.31,0:04:15.92,Default,,0000,0000,0000,,这个与这个的和 再乘以这个与这个的差
Dialogue: 0,0:04:15.95,0:04:18.88,Default,,0000,0000,0000,,像我刚刚说的那样 加上它的相反数
Dialogue: 0,0:04:18.90,0:04:23.94,Default,,0000,0000,0000,,即负的c方 减a方 加b方
Dialogue: 0,0:04:23.94,0:04:26.00,Default,,0000,0000,0000,,运用这个式子
Dialogue: 0,0:04:26.00,0:04:28.29,Default,,0000,0000,0000,,看看是否能够将其简化
Dialogue: 0,0:04:28.37,0:04:31.89,Default,,0000,0000,0000,,我们可以通分得到公分母
Dialogue: 0,0:04:31.95,0:04:34.85,Default,,0000,0000,0000,,ca/2 等于2ca/4
Dialogue: 0,0:04:34.85,0:04:38.83,Default,,0000,0000,0000,,这个也是 ca/2 即2ca/4
Dialogue: 0,0:04:38.87,0:04:40.89,Default,,0000,0000,0000,,将分子和分母同时乘以2
Dialogue: 0,0:04:40.93,0:04:43.92,Default,,0000,0000,0000,,我们可以把分子相加
Dialogue: 0,0:04:43.99,0:04:51.25,Default,,0000,0000,0000,,我们的整个表达式等于根号下
Dialogue: 0,0:04:51.28,0:04:56.92,Default,,0000,0000,0000,,我要把第一项写成这样的形式
Dialogue: 0,0:04:56.92,0:05:03.06,Default,,0000,0000,0000,,c方 加2ca 加a方 减b方
Dialogue: 0,0:05:03.06,0:05:08.21,Default,,0000,0000,0000,,用这些项除以四
Dialogue: 0,0:05:08.21,0:05:13.23,Default,,0000,0000,0000,,得到第一个表达式
Dialogue: 0,0:05:13.23,0:05:19.21,Default,,0000,0000,0000,,下一个表达式
Dialogue: 0,0:05:19.21,0:05:21.25,Default,,0000,0000,0000,,写下它的分母是4
Dialogue: 0,0:05:21.29,0:05:23.68,Default,,0000,0000,0000,,我们可以这样写
Dialogue: 0,0:05:23.68,0:05:30.90,Default,,0000,0000,0000,,我们可以写成 b方减去
Dialogue: 0,0:05:30.90,0:05:42.91,Default,,0000,0000,0000,,括号 c方减2ca 加a方
Dialogue: 0,0:05:42.91,0:05:48.10,Default,,0000,0000,0000,,只是为了确保我在这里有一个负a方
Dialogue: 0,0:05:48.10,0:05:52.84,Default,,0000,0000,0000,,负负得正 在这里有一个正的2ca
Dialogue: 0,0:05:52.84,0:05:57.31,Default,,0000,0000,0000,,这里有一个负的c方 这里有减去括号内的c方
Dialogue: 0,0:05:57.31,0:06:00.32,Default,,0000,0000,0000,,这两个是等效的
Dialogue: 0,0:06:00.32,0:06:06.11,Default,,0000,0000,0000,,现在我们需要来辨认一下
Dialogue: 0,0:06:06.11,0:06:10.68,Default,,0000,0000,0000,,圈出来的这部分 可能有点乱
Dialogue: 0,0:06:10.73,0:06:14.58,Default,,0000,0000,0000,,这部分等于a与c和的平方
Dialogue: 0,0:06:14.62,0:06:19.53,Default,,0000,0000,0000,,这个等于根号下 括号
Dialogue: 0,0:06:19.53,0:06:29.25,Default,,0000,0000,0000,,c与a和的平方 减去b的平方 除以4
Dialogue: 0,0:06:29.25,0:06:32.61,Default,,0000,0000,0000,,这是第一项
Dialogue: 0,0:06:32.65,0:06:35.94,Default,,0000,0000,0000,,接下来是第二项也就是a与c和的平方
Dialogue: 0,0:06:35.99,0:06:43.04,Default,,0000,0000,0000,,因此 整个式子可简化为
Dialogue: 0,0:06:43.04,0:06:47.50,Default,,0000,0000,0000,,b方减去a与c和的平方 再除以4
Dialogue: 0,0:06:47.54,0:06:51.94,Default,,0000,0000,0000,,这是一个复杂的问题 我们取得了一些进展
Dialogue: 0,0:06:51.94,0:06:54.62,Default,,0000,0000,0000,,但是我们可以看到一些 简洁的分解因式的方法
Dialogue: 0,0:06:54.65,0:06:57.76,Default,,0000,0000,0000,,而且 我们可以把这样一个奇怪的式子
Dialogue: 0,0:06:57.76,0:06:59.70,Default,,0000,0000,0000,,化简成更简单的形式
Dialogue: 0,0:06:59.74,0:07:02.65,Default,,0000,0000,0000,,现在我们可以运用同样的公式
Dialogue: 0,0:07:02.71,0:07:04.97,Default,,0000,0000,0000,,一项的平方减去另一项的平方
Dialogue: 0,0:07:05.01,0:07:06.85,Default,,0000,0000,0000,,一项的平方减去另一项的平方
Dialogue: 0,0:07:06.90,0:07:10.26,Default,,0000,0000,0000,,接着分解它 把过程写在同一行
Dialogue: 0,0:07:10.26,0:07:13.24,Default,,0000,0000,0000,,我将缩小字体以便能写下
Dialogue: 0,0:07:13.28,0:07:14.78,Default,,0000,0000,0000,,这将等于根号下
Dialogue: 0,0:07:14.80,0:07:23.72,Default,,0000,0000,0000,,这个因式可以分解成 这个加上这个
Dialogue: 0,0:07:23.79,0:07:29.94,Default,,0000,0000,0000,,即 (c+a+b)(c+a-b)
Dialogue: 0,0:07:29.98,0:07:33.84,Default,,0000,0000,0000,,和这个因式分解是相同的 这是x的平方 这是y的平方
Dialogue: 0,0:07:33.88,0:07:41.25,Default,,0000,0000,0000,,乘以 (c+a+b)/4
Dialogue: 0,0:07:41.30,0:07:46.24,Default,,0000,0000,0000,,来分解下一项 乘以 (b+c-a)
Dialogue: 0,0:07:50.56,0:07:52.77,Default,,0000,0000,0000,,让我稍微往右移一下屏幕
Dialogue: 0,0:07:52.86,0:07:57.13,Default,,0000,0000,0000,,乘以(b+c-a)
Dialogue: 0,0:07:57.18,0:08:02.73,Default,,0000,0000,0000,,这是X+Y即b-(c-a)
Dialogue: 0,0:08:02.79,0:08:07.01,Default,,0000,0000,0000,,等同于(b-c+a)
Dialogue: 0,0:08:07.06,0:08:08.82,Default,,0000,0000,0000,,这等同于
Dialogue: 0,0:08:14.85,0:08:19.92,Default,,0000,0000,0000,,除以4
Dialogue: 0,0:08:19.97,0:08:25.30,Default,,0000,0000,0000,,现在我可以重新来写整个表达式了
Dialogue: 0,0:08:25.34,0:08:28.52,Default,,0000,0000,0000,,将这个表达式
Dialogue: 0,0:08:28.52,0:08:33.02,Default,,0000,0000,0000,,改写一下
Dialogue: 0,0:08:33.02,0:08:35.87,Default,,0000,0000,0000,,将4写成2*2
Dialogue: 0,0:08:35.94,0:08:40.62,Default,,0000,0000,0000,,这个化简过程终于要结束了
Dialogue: 0,0:08:40.66,0:08:45.32,Default,,0000,0000,0000,,我们的表达式被简化为 根号下
Dialogue: 0,0:08:45.36,0:08:55.31,Default,,0000,0000,0000,,写成(a+b+c)/2
Dialogue: 0,0:08:55.37,0:09:02.44,Default,,0000,0000,0000,,这是这一项 乘以这项 乘以这项
Dialogue: 0,0:09:02.44,0:09:06.22,Default,,0000,0000,0000,,让我在这把它简化一下
Dialogue: 0,0:09:06.28,0:09:13.00,Default,,0000,0000,0000,,c+a-b 等于 a+b+c-2b
Dialogue: 0,0:09:13.00,0:09:14.94,Default,,0000,0000,0000,,这两项是相等的
Dialogue: 0,0:09:15.01,0:09:19.43,Default,,0000,0000,0000,,这是a 这是c
Dialogue: 0,0:09:19.52,0:09:23.04,Default,,0000,0000,0000,,b-2b 等于 -b
Dialogue: 0,0:09:23.07,0:09:25.94,Default,,0000,0000,0000,,对吧 这是-b
Dialogue: 0,0:09:26.01,0:09:34.07,Default,,0000,0000,0000,,下一项是(a+b+c-2b)/2
Dialogue: 0,0:09:34.11,0:09:35.73,Default,,0000,0000,0000,,或者可以拆开 写成这样的形式
Dialogue: 0,0:09:39.28,0:09:45.92,Default,,0000,0000,0000,,接下来第三项也是同样的思路
Dialogue: 0,0:09:45.96,0:09:53.10,Default,,0000,0000,0000,,等于 a+b+c-2a
Dialogue: 0,0:09:53.10,0:09:56.89,Default,,0000,0000,0000,,再除以2
Dialogue: 0,0:09:56.94,0:10:00.09,Default,,0000,0000,0000,,如果我们用a加上-2a 就能得到-a
Dialogue: 0,0:10:00.14,0:10:03.33,Default,,0000,0000,0000,,即可得 b+c-a他们是相同的
Dialogue: 0,0:10:03.35,0:10:06.94,Default,,0000,0000,0000,,这些除以2 或者将分子分开
Dialogue: 0,0:10:06.97,0:10:08.50,Default,,0000,0000,0000,,像这样 除以2
Dialogue: 0,0:10:08.53,0:10:12.93,Default,,0000,0000,0000,,到了最后一项
Dialogue: 0,0:10:12.98,0:10:15.78,Default,,0000,0000,0000,,也许你已经可以从中分辨出海伦公式
Dialogue: 0,0:10:15.78,0:10:19.22,Default,,0000,0000,0000,,但是我没有在考虑海伦公式
Dialogue: 0,0:10:19.27,0:10:21.93,Default,,0000,0000,0000,,那项很显然与
Dialogue: 0,0:10:21.96,0:10:28.02,Default,,0000,0000,0000,,a+b+c-2c 是相等的
Dialogue: 0,0:10:28.09,0:10:30.86,Default,,0000,0000,0000,,用c减去2c 得到-c
Dialogue: 0,0:10:30.93,0:10:32.83,Default,,0000,0000,0000,,依然是 a+b-c 然后除以2
Dialogue: 0,0:10:32.91,0:10:37.37,Default,,0000,0000,0000,,把这个除以二减去那个除以二
Dialogue: 0,0:10:37.43,0:10:41.41,Default,,0000,0000,0000,,而且 在这一整串式子上还要加上一个根号
Dialogue: 0,0:10:41.45,0:10:48.96,Default,,0000,0000,0000,,现在如果我们设 S=(a+b+c)/2
Dialogue: 0,0:10:48.96,0:10:55.72,Default,,0000,0000,0000,,那么这个式子会变得更简洁
Dialogue: 0,0:10:55.72,0:10:59.87,Default,,0000,0000,0000,,这是S这也是S这个也是S
Dialogue: 0,0:10:59.87,0:11:04.40,Default,,0000,0000,0000,,那个也是S
Dialogue: 0,0:11:04.40,0:11:06.56,Default,,0000,0000,0000,,确实简化了许多
Dialogue: 0,0:11:06.56,0:11:11.79,Default,,0000,0000,0000,,-2b/2 等同于-b
Dialogue: 0,0:11:11.83,0:11:14.45,Default,,0000,0000,0000,,-2a/2 等同于-a
Dialogue: 0,0:11:14.49,0:11:17.22,Default,,0000,0000,0000,,-2c/2 同样的道理 是-c
Dialogue: 0,0:11:17.22,0:11:21.04,Default,,0000,0000,0000,,现在 重新写上根号
Dialogue: 0,0:11:21.09,0:11:24.73,Default,,0000,0000,0000,,这个式子等于
Dialogue: 0,0:11:24.73,0:11:30.73,Default,,0000,0000,0000,,根号下 S乘以
Dialogue: 0,0:11:30.73,0:11:36.64,Default,,0000,0000,0000,,我将用相同的颜色写接下来的这些式子
Dialogue: 0,0:11:36.68,0:11:45.53,Default,,0000,0000,0000,,乘以(S-b)(S-a)
Dialogue: 0,0:11:45.56,0:11:52.21,Default,,0000,0000,0000,,再乘以最后一项 (S-c)
Dialogue: 0,0:11:52.26,0:11:57.00,Default,,0000,0000,0000,,现在我们证明了 上一个视频中我们得到的式子
Dialogue: 0,0:11:57.00,0:11:59.43,Default,,0000,0000,0000,,和海伦公式是一回事
Dialogue: 0,0:11:59.43,0:12:03.26,Default,,0000,0000,0000,,它变得非常简洁
Dialogue: 0,0:12:03.26,0:12:07.16,Default,,0000,0000,0000,,我们只需要做一些复杂的推导就能够证明它