在上一段视频中我说过这样一个式子
来求一个三边长分别为a b c的三角形的面积
它的结果等同于海伦公式
在这段视频中我要讲的是
通过一些最基本的代数运算
来证明上式与海伦公式相等
首先我们来处理一下1/2 c
把它放到根号中去
可得根号下c的平方分之四
去掉根号等于1/2 c
我用sqrt来代替根号 整个表达式就变成了这样
那么可以得到c的平方除以4的平方根
乘以剩下的这些项
我将它们复制并粘贴
乘上这个表达式 再把它展开
所以用4分之c的平方 乘以括号里面的这些项
在末尾加一个括号
把4分之c的平方乘进括号 得到的结果与公式相等
这将是一个很复杂的过程
当这个式子会被简化成像海伦公式那样浅显的时候
你会觉得很有成就感
根号下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方
除以4 减去4分之c的平方乘以括号中的项
展开括号
并把它写成分子的平方除以分母的平方的形式
c的平方加上a的平方减去b的平方 括号外的平方
除以分母的平方 即4c方
于是可以将这个c方和这个c方
一并消去
像这样把所有的括号闭合
这个分母中的4 乘以另一个分母中的4
让我这样写下结果
这和4的平方相等
接下来你会发现为什么我用4的平方代替16
现在我可以重新写下这个式子
我随机地变换了一下颜色
这个式子等于根号下ca/2 括号外的平方
我要把它写成c/4的平方的形式
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方
即4 再减去
把这个长的表达式也写成平方的形式
即c的平方 加上a的平方 减去b的平方除以4
将分子和分母同时平方
现在看起来好像很有趣
用另一个不同的颜色来表示这个括号
也许你还记得多项式的因式分解
x方减去y方
可以写成(x+y)(x-y)
现在我们要一遍遍地运用这个公式
把ca/2当作x 把这个当成y
那么便构成了x方减y方这个式子
分解这个式子 可写成
根号下 x+y即ca/2+y
乘以 x-y
其中y等于c方加a方x是 ca/2
减去这一串式子
或者让我们用一种更好的方式 把减号写成加号
加上负的c方 减去a方 加上b方 除以4
这一切等同于
这个与这个的和 再乘以这个与这个的差
像我刚刚说的那样 加上它的相反数
即负的c方 减a方 加b方
运用这个式子
看看是否能够将其简化
我们可以通分得到公分母
ca/2 等于2ca/4
这个也是 ca/2 即2ca/4
将分子和分母同时乘以2
我们可以把分子相加
我们的整个表达式等于根号下
我要把第一项写成这样的形式
c方 加2ca 加a方 减b方
用这些项除以四
得到第一个表达式
下一个表达式
写下它的分母是4
我们可以这样写
我们可以写成 b方减去
括号 c方减2ca 加a方
只是为了确保我在这里有一个负a方
负负得正 在这里有一个正的2ca
这里有一个负的c方 这里有减去括号内的c方
这两个是等效的
现在我们需要来辨认一下
圈出来的这部分 可能有点乱
这部分等于a与c和的平方
这个等于根号下 括号
c与a和的平方 减去b的平方 除以4
这是第一项
接下来是第二项也就是a与c和的平方
因此 整个式子可简化为
b方减去a与c和的平方 再除以4
这是一个复杂的问题 我们取得了一些进展
但是我们可以看到一些 简洁的分解因式的方法
而且 我们可以把这样一个奇怪的式子
化简成更简单的形式
现在我们可以运用同样的公式
一项的平方减去另一项的平方
接着分解它 把过程写在同一行
我将缩小字体以便能写下
这将等于根号下
这个因式可以分解成 这个加上这个
即 (c+a+b)(c+a-b)
和这个因式分解是相同的 这是x的平方 这是y的平方
乘以 (c+a+b)/4
来分解下一项 乘以 (b+c-a)
让我稍微往右移一下屏幕
乘以(b+c-a)
这是X+Y即b-(c-a)
等同于(b-c+a)
这等同于
除以4
现在我可以重新来写整个表达式了
将这个表达式
改写一下
将4写成2*2
这个化简过程终于要结束了
我们的表达式被简化为 根号下
写成(a+b+c)/2
这是这一项 乘以这项 乘以这项
让我在这把它简化一下
c+a-b 等于 a+b+c-2b
这两项是相等的
这是a 这是c
b-2b 等于 -b
对吧 这是-b
下一项是(a+b+c-2b)/2
或者可以拆开 写成这样的形式
接下来第三项也是同样的思路
等于 a+b+c-2a
再除以2
如果我们用a加上-2a 就能得到-a
即可得 b+c-a他们是相同的
这些除以2 或者将分子分开
像这样 除以2
到了最后一项
也许你已经可以从中分辨出海伦公式
但是我没有在考虑海伦公式
那项很显然与
a+b+c-2c 是相等的
用c减去2c 得到-c
依然是 a+b-c 然后除以2
把这个除以二减去那个除以二
而且 在这一整串式子上还要加上一个根号
现在如果我们设 S=(a+b+c)/2
那么这个式子会变得更简洁
这是S这也是S这个也是S
那个也是S
确实简化了许多
-2b/2 等同于-b
-2a/2 等同于-a
-2c/2 同样的道理 是-c
现在 重新写上根号
这个式子等于
根号下 S乘以
我将用相同的颜色写接下来的这些式子
乘以(S-b)(S-a)
再乘以最后一项 (S-c)
现在我们证明了 上一个视频中我们得到的式子
和海伦公式是一回事
它变得非常简洁
我们只需要做一些复杂的推导就能够证明它