1
00:00:00,000 --> 00:00:04,110
在上一段视频中我说过这样一个式子

2
00:00:04,110 --> 00:00:08,990
来求一个三边长分别为a b c的三角形的面积

3
00:00:08,990 --> 00:00:11,710
它的结果等同于海伦公式

4
00:00:11,760 --> 00:00:13,680
在这段视频中我要讲的是

5
00:00:13,700 --> 00:00:15,550
通过一些最基本的代数运算

6
00:00:15,580 --> 00:00:18,510
来证明上式与海伦公式相等

7
00:00:18,560 --> 00:00:20,470
首先我们来处理一下1/2 c

8
00:00:20,530 --> 00:00:23,670
把它放到根号中去

9
00:00:23,670 --> 00:00:30,680
可得根号下c的平方分之四

10
00:00:30,770 --> 00:00:32,690
去掉根号等于1/2 c

11
00:00:32,760 --> 00:00:37,000
我用sqrt来代替根号 整个表达式就变成了这样

12
00:00:37,050 --> 00:00:42,860
那么可以得到c的平方除以4的平方根

13
00:00:42,900 --> 00:00:49,490
乘以剩下的这些项

14
00:00:49,560 --> 00:00:54,620
我将它们复制并粘贴

15
00:00:54,620 --> 00:00:59,530
乘上这个表达式 再把它展开

16
00:00:59,570 --> 00:01:03,760
所以用4分之c的平方 乘以括号里面的这些项

17
00:01:03,810 --> 00:01:06,320
在末尾加一个括号

18
00:01:06,340 --> 00:01:11,550
把4分之c的平方乘进括号 得到的结果与公式相等

19
00:01:11,570 --> 00:01:15,480
这将是一个很复杂的过程

20
00:01:15,520 --> 00:01:17,630
当这个式子会被简化成像海伦公式那样浅显的时候

21
00:01:17,630 --> 00:01:20,040
你会觉得很有成就感

22
00:01:20,100 --> 00:01:27,610
根号下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方

23
00:01:27,610 --> 00:01:33,950
除以4 减去4分之c的平方乘以括号中的项

24
00:01:34,010 --> 00:01:37,200
展开括号

25
00:01:37,200 --> 00:01:39,230
并把它写成分子的平方除以分母的平方的形式

26
00:01:39,230 --> 00:01:48,070
c的平方加上a的平方减去b的平方 括号外的平方

27
00:01:48,090 --> 00:01:52,410
除以分母的平方 即4c方

28
00:01:52,410 --> 00:01:54,300
于是可以将这个c方和这个c方

29
00:01:54,350 --> 00:01:55,890
一并消去

30
00:01:55,940 --> 00:01:58,830
像这样把所有的括号闭合

31
00:01:58,830 --> 00:02:02,060
这个分母中的4 乘以另一个分母中的4

32
00:02:02,060 --> 00:02:04,850
让我这样写下结果

33
00:02:04,900 --> 00:02:06,670
这和4的平方相等

34
00:02:06,670 --> 00:02:09,620
接下来你会发现为什么我用4的平方代替16

35
00:02:09,620 --> 00:02:15,760
现在我可以重新写下这个式子

36
00:02:15,800 --> 00:02:18,750
我随机地变换了一下颜色

37
00:02:18,750 --> 00:02:26,130
这个式子等于根号下ca/2 括号外的平方

38
00:02:26,130 --> 00:02:28,830
我要把它写成c/4的平方的形式

39
00:02:28,830 --> 00:02:30,850
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方

40
00:02:30,930 --> 00:02:35,290
即4 再减去

41
00:02:35,320 --> 00:02:36,700
把这个长的表达式也写成平方的形式

42
00:02:36,700 --> 00:02:44,120
即c的平方 加上a的平方 减去b的平方除以4

43
00:02:44,180 --> 00:02:48,360
将分子和分母同时平方

44
00:02:48,390 --> 00:02:50,710
将分子和分母同时平方

45
00:02:50,710 --> 00:02:54,390
现在看起来好像很有趣

46
00:02:54,390 --> 00:02:55,970
用另一个不同的颜色来表示这个括号

47
00:02:56,020 --> 00:03:00,570
也许你还记得多项式的因式分解

48
00:03:00,570 --> 00:03:03,410
x方减去y方

49
00:03:03,410 --> 00:03:08,620
可以写成(x+y)(x-y)

50
00:03:08,660 --> 00:03:10,450
现在我们要一遍遍地运用这个公式

51
00:03:10,480 --> 00:03:16,110
把ca/2当作x 把这个当成y

52
00:03:16,140 --> 00:03:20,180
那么便构成了x方减y方这个式子

53
00:03:20,230 --> 00:03:25,370
分解这个式子 可写成

54
00:03:25,370 --> 00:03:34,230
根号下 x+y即ca/2+y

55
00:03:34,230 --> 00:03:40,150
乘以 x-y

56
00:03:40,150 --> 00:03:47,900
其中y等于c方加a方x是 ca/2

57
00:03:47,960 --> 00:03:51,510
减去这一串式子

58
00:03:51,510 --> 00:03:55,250
或者让我们用一种更好的方式 把减号写成加号

59
00:03:55,250 --> 00:04:04,750
加上负的c方 减去a方 加上b方 除以4

60
00:04:04,750 --> 00:04:10,310
这一切等同于

61
00:04:10,310 --> 00:04:15,920
这个与这个的和 再乘以这个与这个的差

62
00:04:15,950 --> 00:04:18,880
像我刚刚说的那样 加上它的相反数

63
00:04:18,900 --> 00:04:23,940
即负的c方 减a方 加b方

64
00:04:23,940 --> 00:04:26,000
运用这个式子

65
00:04:26,000 --> 00:04:28,290
看看是否能够将其简化

66
00:04:28,370 --> 00:04:31,890
我们可以通分得到公分母

67
00:04:31,950 --> 00:04:34,850
ca/2 等于2ca/4

68
00:04:34,850 --> 00:04:38,830
这个也是 ca/2 即2ca/4

69
00:04:38,870 --> 00:04:40,890
将分子和分母同时乘以2

70
00:04:40,930 --> 00:04:43,920
我们可以把分子相加

71
00:04:43,990 --> 00:04:51,250
我们的整个表达式等于根号下

72
00:04:51,280 --> 00:04:56,920
我要把第一项写成这样的形式

73
00:04:56,920 --> 00:05:03,060
c方 加2ca 加a方 减b方

74
00:05:03,060 --> 00:05:08,210
用这些项除以四

75
00:05:08,210 --> 00:05:13,230
得到第一个表达式

76
00:05:13,230 --> 00:05:19,210
下一个表达式

77
00:05:19,210 --> 00:05:21,250
写下它的分母是4

78
00:05:21,290 --> 00:05:23,680
我们可以这样写

79
00:05:23,680 --> 00:05:30,900
我们可以写成 b方减去

80
00:05:30,900 --> 00:05:42,910
括号 c方减2ca 加a方

81
00:05:42,910 --> 00:05:48,100
只是为了确保我在这里有一个负a方

82
00:05:48,100 --> 00:05:52,840
负负得正 在这里有一个正的2ca

83
00:05:52,840 --> 00:05:57,310
这里有一个负的c方 这里有减去括号内的c方

84
00:05:57,310 --> 00:06:00,320
这两个是等效的

85
00:06:00,320 --> 00:06:06,110
现在我们需要来辨认一下

86
00:06:06,110 --> 00:06:10,680
圈出来的这部分 可能有点乱

87
00:06:10,730 --> 00:06:14,580
这部分等于a与c和的平方

88
00:06:14,620 --> 00:06:19,530
这个等于根号下 括号

89
00:06:19,530 --> 00:06:29,250
c与a和的平方 减去b的平方 除以4

90
00:06:29,250 --> 00:06:32,610
这是第一项

91
00:06:32,650 --> 00:06:35,940
接下来是第二项也就是a与c和的平方

92
00:06:35,990 --> 00:06:43,040
因此 整个式子可简化为

93
00:06:43,040 --> 00:06:47,500
b方减去a与c和的平方 再除以4

94
00:06:47,540 --> 00:06:51,940
这是一个复杂的问题 我们取得了一些进展

95
00:06:51,940 --> 00:06:54,620
但是我们可以看到一些 简洁的分解因式的方法

96
00:06:54,650 --> 00:06:57,760
而且 我们可以把这样一个奇怪的式子

97
00:06:57,760 --> 00:06:59,700
化简成更简单的形式

98
00:06:59,740 --> 00:07:02,650
现在我们可以运用同样的公式

99
00:07:02,710 --> 00:07:04,970
一项的平方减去另一项的平方

100
00:07:05,010 --> 00:07:06,850
一项的平方减去另一项的平方

101
00:07:06,900 --> 00:07:10,260
接着分解它 把过程写在同一行

102
00:07:10,260 --> 00:07:13,240
我将缩小字体以便能写下

103
00:07:13,280 --> 00:07:14,780
这将等于根号下

104
00:07:14,800 --> 00:07:23,720
这个因式可以分解成 这个加上这个

105
00:07:23,790 --> 00:07:29,940
即 (c+a+b)(c+a-b)

106
00:07:29,980 --> 00:07:33,840
和这个因式分解是相同的 这是x的平方 这是y的平方

107
00:07:33,880 --> 00:07:41,250
乘以 (c+a+b)/4

108
00:07:41,300 --> 00:07:46,240
来分解下一项 乘以 (b+c-a)

109
00:07:50,560 --> 00:07:52,770
让我稍微往右移一下屏幕

110
00:07:52,860 --> 00:07:57,130
乘以(b+c-a)

111
00:07:57,180 --> 00:08:02,730
这是X+Y即b-(c-a)

112
00:08:02,790 --> 00:08:07,010
等同于(b-c+a)

113
00:08:07,060 --> 00:08:08,820
这等同于

114
00:08:14,850 --> 00:08:19,920
除以4

115
00:08:19,970 --> 00:08:25,300
现在我可以重新来写整个表达式了

116
00:08:25,340 --> 00:08:28,520
将这个表达式

117
00:08:28,520 --> 00:08:33,020
改写一下

118
00:08:33,020 --> 00:08:35,870
将4写成2*2

119
00:08:35,940 --> 00:08:40,620
这个化简过程终于要结束了

120
00:08:40,660 --> 00:08:45,320
我们的表达式被简化为 根号下

121
00:08:45,360 --> 00:08:55,310
写成(a+b+c)/2

122
00:08:55,370 --> 00:09:02,440
这是这一项 乘以这项 乘以这项

123
00:09:02,440 --> 00:09:06,220
让我在这把它简化一下

124
00:09:06,280 --> 00:09:13,000
c+a-b 等于 a+b+c-2b

125
00:09:13,000 --> 00:09:14,940
这两项是相等的

126
00:09:15,010 --> 00:09:19,430
这是a 这是c

127
00:09:19,520 --> 00:09:23,040
b-2b 等于 -b

128
00:09:23,070 --> 00:09:25,940
对吧 这是-b

129
00:09:26,010 --> 00:09:34,070
下一项是(a+b+c-2b)/2

130
00:09:34,110 --> 00:09:35,730
或者可以拆开 写成这样的形式

131
00:09:39,280 --> 00:09:45,920
接下来第三项也是同样的思路

132
00:09:45,960 --> 00:09:53,100
等于 a+b+c-2a

133
00:09:53,100 --> 00:09:56,890
再除以2

134
00:09:56,940 --> 00:10:00,090
如果我们用a加上-2a 就能得到-a

135
00:10:00,140 --> 00:10:03,330
即可得 b+c-a他们是相同的

136
00:10:03,350 --> 00:10:06,940
这些除以2 或者将分子分开

137
00:10:06,970 --> 00:10:08,500
像这样 除以2

138
00:10:08,530 --> 00:10:12,930
到了最后一项

139
00:10:12,980 --> 00:10:15,780
也许你已经可以从中分辨出海伦公式

140
00:10:15,780 --> 00:10:19,220
但是我没有在考虑海伦公式

141
00:10:19,270 --> 00:10:21,930
那项很显然与

142
00:10:21,960 --> 00:10:28,020
a+b+c-2c 是相等的

143
00:10:28,090 --> 00:10:30,860
用c减去2c 得到-c

144
00:10:30,930 --> 00:10:32,830
依然是 a+b-c 然后除以2

145
00:10:32,910 --> 00:10:37,370
把这个除以二减去那个除以二

146
00:10:37,430 --> 00:10:41,410
而且 在这一整串式子上还要加上一个根号

147
00:10:41,450 --> 00:10:48,960
现在如果我们设 S=(a+b+c)/2

148
00:10:48,960 --> 00:10:55,720
那么这个式子会变得更简洁

149
00:10:55,720 --> 00:10:59,870
这是S这也是S这个也是S

150
00:10:59,870 --> 00:11:04,400
那个也是S

151
00:11:04,400 --> 00:11:06,560
确实简化了许多

152
00:11:06,560 --> 00:11:11,790
-2b/2 等同于-b

153
00:11:11,830 --> 00:11:14,450
-2a/2 等同于-a

154
00:11:14,490 --> 00:11:17,220
-2c/2 同样的道理 是-c

155
00:11:17,220 --> 00:11:21,040
现在 重新写上根号

156
00:11:21,090 --> 00:11:24,730
这个式子等于

157
00:11:24,730 --> 00:11:30,730
根号下 S乘以

158
00:11:30,730 --> 00:11:36,640
我将用相同的颜色写接下来的这些式子

159
00:11:36,680 --> 00:11:45,530
乘以(S-b)(S-a)

160
00:11:45,560 --> 00:11:52,210
再乘以最后一项 (S-c)

161
00:11:52,260 --> 00:11:57,000
现在我们证明了 上一个视频中我们得到的式子

162
00:11:57,000 --> 00:11:59,430
和海伦公式是一回事

163
00:11:59,430 --> 00:12:03,260
它变得非常简洁

164
00:12:03,260 --> 00:12:07,160
我们只需要做一些复杂的推导就能够证明它