0:00:00.000,0:00:04.110
在上一段视频中我说过这样一个式子

0:00:04.110,0:00:08.990
来求一个三边长分别为a b c的三角形的面积

0:00:08.990,0:00:11.710
它的结果等同于海伦公式

0:00:11.760,0:00:13.680
在这段视频中我要讲的是

0:00:13.700,0:00:15.550
通过一些最基本的代数运算

0:00:15.580,0:00:18.510
来证明上式与海伦公式相等

0:00:18.560,0:00:20.470
首先我们来处理一下1/2 c

0:00:20.530,0:00:23.670
把它放到根号中去

0:00:23.670,0:00:30.680
可得根号下c的平方分之四

0:00:30.770,0:00:32.690
去掉根号等于1/2 c

0:00:32.760,0:00:37.000
我用sqrt来代替根号 整个表达式就变成了这样

0:00:37.050,0:00:42.860
那么可以得到c的平方除以4的平方根

0:00:42.900,0:00:49.490
乘以剩下的这些项

0:00:49.560,0:00:54.620
我将它们复制并粘贴

0:00:54.620,0:00:59.530
乘上这个表达式 再把它展开

0:00:59.570,0:01:03.760
所以用4分之c的平方 乘以括号里面的这些项

0:01:03.810,0:01:06.320
在末尾加一个括号

0:01:06.340,0:01:11.550
把4分之c的平方乘进括号 得到的结果与公式相等

0:01:11.570,0:01:15.480
这将是一个很复杂的过程

0:01:15.520,0:01:17.630
当这个式子会被简化成像海伦公式那样浅显的时候

0:01:17.630,0:01:20.040
你会觉得很有成就感

0:01:20.100,0:01:27.610
根号下4分之c的平方乘以a的平方即a方c方

0:01:27.610,0:01:33.950
除以4 减去4分之c的平方乘以括号中的项

0:01:34.010,0:01:37.200
展开括号

0:01:37.200,0:01:39.230
并把它写成分子的平方除以分母的平方的形式

0:01:39.230,0:01:48.070
c的平方加上a的平方减去b的平方 括号外的平方

0:01:48.090,0:01:52.410
除以分母的平方 即4c方

0:01:52.410,0:01:54.300
于是可以将这个c方和这个c方

0:01:54.350,0:01:55.890
一并消去

0:01:55.940,0:01:58.830
像这样把所有的括号闭合

0:01:58.830,0:02:02.060
这个分母中的4 乘以另一个分母中的4

0:02:02.060,0:02:04.850
让我这样写下结果

0:02:04.900,0:02:06.670
这和4的平方相等

0:02:06.670,0:02:09.620
接下来你会发现为什么我用4的平方代替16

0:02:09.620,0:02:15.760
现在我可以重新写下这个式子

0:02:15.800,0:02:18.750
我随机地变换了一下颜色

0:02:18.750,0:02:26.130
这个式子等于根号下ca/2 括号外的平方

0:02:26.130,0:02:28.830
我要把它写成c/4的平方的形式

0:02:28.830,0:02:30.850
如果我把它平方 得到成了c方a方除以2的平方

0:02:30.930,0:02:35.290
即4 再减去

0:02:35.320,0:02:36.700
把这个长的表达式也写成平方的形式

0:02:36.700,0:02:44.120
即c的平方 加上a的平方 减去b的平方除以4

0:02:44.180,0:02:48.360
将分子和分母同时平方

0:02:48.390,0:02:50.710
将分子和分母同时平方

0:02:50.710,0:02:54.390
现在看起来好像很有趣

0:02:54.390,0:02:55.970
用另一个不同的颜色来表示这个括号

0:02:56.020,0:03:00.570
也许你还记得多项式的因式分解

0:03:00.570,0:03:03.410
x方减去y方

0:03:03.410,0:03:08.620
可以写成(x+y)(x-y)

0:03:08.660,0:03:10.450
现在我们要一遍遍地运用这个公式

0:03:10.480,0:03:16.110
把ca/2当作x 把这个当成y

0:03:16.140,0:03:20.180
那么便构成了x方减y方这个式子

0:03:20.230,0:03:25.370
分解这个式子 可写成

0:03:25.370,0:03:34.230
根号下 x+y即ca/2+y

0:03:34.230,0:03:40.150
乘以 x-y

0:03:40.150,0:03:47.900
其中y等于c方加a方x是 ca/2

0:03:47.960,0:03:51.510
减去这一串式子

0:03:51.510,0:03:55.250
或者让我们用一种更好的方式 把减号写成加号

0:03:55.250,0:04:04.750
加上负的c方 减去a方 加上b方 除以4

0:04:04.750,0:04:10.310
这一切等同于

0:04:10.310,0:04:15.920
这个与这个的和 再乘以这个与这个的差

0:04:15.950,0:04:18.880
像我刚刚说的那样 加上它的相反数

0:04:18.900,0:04:23.940
即负的c方 减a方 加b方

0:04:23.940,0:04:26.000
运用这个式子

0:04:26.000,0:04:28.290
看看是否能够将其简化

0:04:28.370,0:04:31.890
我们可以通分得到公分母

0:04:31.950,0:04:34.850
ca/2 等于2ca/4

0:04:34.850,0:04:38.830
这个也是 ca/2 即2ca/4

0:04:38.870,0:04:40.890
将分子和分母同时乘以2

0:04:40.930,0:04:43.920
我们可以把分子相加

0:04:43.990,0:04:51.250
我们的整个表达式等于根号下

0:04:51.280,0:04:56.920
我要把第一项写成这样的形式

0:04:56.920,0:05:03.060
c方 加2ca 加a方 减b方

0:05:03.060,0:05:08.210
用这些项除以四

0:05:08.210,0:05:13.230
得到第一个表达式

0:05:13.230,0:05:19.210
下一个表达式

0:05:19.210,0:05:21.250
写下它的分母是4

0:05:21.290,0:05:23.680
我们可以这样写

0:05:23.680,0:05:30.900
我们可以写成 b方减去

0:05:30.900,0:05:42.910
括号 c方减2ca 加a方

0:05:42.910,0:05:48.100
只是为了确保我在这里有一个负a方

0:05:48.100,0:05:52.840
负负得正 在这里有一个正的2ca

0:05:52.840,0:05:57.310
这里有一个负的c方 这里有减去括号内的c方

0:05:57.310,0:06:00.320
这两个是等效的

0:06:00.320,0:06:06.110
现在我们需要来辨认一下

0:06:06.110,0:06:10.680
圈出来的这部分 可能有点乱

0:06:10.730,0:06:14.580
这部分等于a与c和的平方

0:06:14.620,0:06:19.530
这个等于根号下 括号

0:06:19.530,0:06:29.250
c与a和的平方 减去b的平方 除以4

0:06:29.250,0:06:32.610
这是第一项

0:06:32.650,0:06:35.940
接下来是第二项也就是a与c和的平方

0:06:35.990,0:06:43.040
因此 整个式子可简化为

0:06:43.040,0:06:47.500
b方减去a与c和的平方 再除以4

0:06:47.540,0:06:51.940
这是一个复杂的问题 我们取得了一些进展

0:06:51.940,0:06:54.620
但是我们可以看到一些 简洁的分解因式的方法

0:06:54.650,0:06:57.760
而且 我们可以把这样一个奇怪的式子

0:06:57.760,0:06:59.700
化简成更简单的形式

0:06:59.740,0:07:02.650
现在我们可以运用同样的公式

0:07:02.710,0:07:04.970
一项的平方减去另一项的平方

0:07:05.010,0:07:06.850
一项的平方减去另一项的平方

0:07:06.900,0:07:10.260
接着分解它 把过程写在同一行

0:07:10.260,0:07:13.240
我将缩小字体以便能写下

0:07:13.280,0:07:14.780
这将等于根号下

0:07:14.800,0:07:23.720
这个因式可以分解成 这个加上这个

0:07:23.790,0:07:29.940
即 (c+a+b)(c+a-b)

0:07:29.980,0:07:33.840
和这个因式分解是相同的 这是x的平方 这是y的平方

0:07:33.880,0:07:41.250
乘以 (c+a+b)/4

0:07:41.300,0:07:46.240
来分解下一项 乘以 (b+c-a)

0:07:50.560,0:07:52.770
让我稍微往右移一下屏幕

0:07:52.860,0:07:57.130
乘以(b+c-a)

0:07:57.180,0:08:02.730
这是X+Y即b-(c-a)

0:08:02.790,0:08:07.010
等同于(b-c+a)

0:08:07.060,0:08:08.820
这等同于

0:08:14.850,0:08:19.920
除以4

0:08:19.970,0:08:25.300
现在我可以重新来写整个表达式了

0:08:25.340,0:08:28.520
将这个表达式

0:08:28.520,0:08:33.020
改写一下

0:08:33.020,0:08:35.870
将4写成2*2

0:08:35.940,0:08:40.620
这个化简过程终于要结束了

0:08:40.660,0:08:45.320
我们的表达式被简化为 根号下

0:08:45.360,0:08:55.310
写成(a+b+c)/2

0:08:55.370,0:09:02.440
这是这一项 乘以这项 乘以这项

0:09:02.440,0:09:06.220
让我在这把它简化一下

0:09:06.280,0:09:13.000
c+a-b 等于 a+b+c-2b

0:09:13.000,0:09:14.940
这两项是相等的

0:09:15.010,0:09:19.430
这是a 这是c

0:09:19.520,0:09:23.040
b-2b 等于 -b

0:09:23.070,0:09:25.940
对吧 这是-b

0:09:26.010,0:09:34.070
下一项是(a+b+c-2b)/2

0:09:34.110,0:09:35.730
或者可以拆开 写成这样的形式

0:09:39.280,0:09:45.920
接下来第三项也是同样的思路

0:09:45.960,0:09:53.100
等于 a+b+c-2a

0:09:53.100,0:09:56.890
再除以2

0:09:56.940,0:10:00.090
如果我们用a加上-2a 就能得到-a

0:10:00.140,0:10:03.330
即可得 b+c-a他们是相同的

0:10:03.350,0:10:06.940
这些除以2 或者将分子分开

0:10:06.970,0:10:08.500
像这样 除以2

0:10:08.530,0:10:12.930
到了最后一项

0:10:12.980,0:10:15.780
也许你已经可以从中分辨出海伦公式

0:10:15.780,0:10:19.220
但是我没有在考虑海伦公式

0:10:19.270,0:10:21.930
那项很显然与

0:10:21.960,0:10:28.020
a+b+c-2c 是相等的

0:10:28.090,0:10:30.860
用c减去2c 得到-c

0:10:30.930,0:10:32.830
依然是 a+b-c 然后除以2

0:10:32.910,0:10:37.370
把这个除以二减去那个除以二

0:10:37.430,0:10:41.410
而且 在这一整串式子上还要加上一个根号

0:10:41.450,0:10:48.960
现在如果我们设 S=(a+b+c)/2

0:10:48.960,0:10:55.720
那么这个式子会变得更简洁

0:10:55.720,0:10:59.870
这是S这也是S这个也是S

0:10:59.870,0:11:04.400
那个也是S

0:11:04.400,0:11:06.560
确实简化了许多

0:11:06.560,0:11:11.790
-2b/2 等同于-b

0:11:11.830,0:11:14.450
-2a/2 等同于-a

0:11:14.490,0:11:17.220
-2c/2 同样的道理 是-c

0:11:17.220,0:11:21.040
现在 重新写上根号

0:11:21.090,0:11:24.730
这个式子等于

0:11:24.730,0:11:30.730
根号下 S乘以

0:11:30.730,0:11:36.640
我将用相同的颜色写接下来的这些式子

0:11:36.680,0:11:45.530
乘以(S-b)(S-a)

0:11:45.560,0:11:52.210
再乘以最后一项 (S-c)

0:11:52.260,0:11:57.000
现在我们证明了 上一个视频中我们得到的式子

0:11:57.000,0:11:59.430
和海伦公式是一回事

0:11:59.430,0:12:03.260
它变得非常简洁

0:12:03.260,0:12:07.160
我们只需要做一些复杂的推导就能够证明它