-
ใน
ในวิดีโอที่แล้ว, ผมอ้างไว้ว่า ผลที่เราได้ สำหรับพื้นที่
ของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a,b และ c
เท่ากับสูตรของเฮรอน
และสิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือแสดงให้คุณเห็นว่านี่
เท่ากับสูตรของเฮรอน โดยการ
จัดรูปพีชคณิต.
แล้วสิ่งที่เราที่อยากทำ -- แค่โยน
1/2 c นี่เข้าไปใต้เครื่องหมายราก.
แล้ว 1/2 c, นี่เก็เหมือนกับสแควร์รูท
ของ c กำลังสอง ส่วน 4.
คุณหาสแควร์รูทของมัน แล้วจะได้ 1/2 c.
ดังนั้นพจน์ทั้งหมดนี้ เท่ากับ -- แทนที่จะเขียน
เครื่องหมายราก, ผมจะเขียนสแควร์รูทของอันนี้,
ของ c กำลังสอง ส่วน 4 คูณทั้งหมดนี่.
ผมจะคัดลอกและวางมันลงไป.
-
คัดลอกและวาง.
แล้วคูณทั้งหมดนั่น.
และแน่นอน, เราต้องกระจายมันไป.
ได้ c กำลังสองส่วน 4 คูณทั้งหมดนั่น.
แล้วเราต้องปิดเครื่องหมายสแควร์รูท.
-
ขอผมกระจาย c กำลังสอง ส่วน 4 นะ.
นี่จะเท่ากับสแควร์รูท.
มันจะรกหน่อย, แต่ผมว่าคุณจะ
รู้สึกพอใจเมื่อเห็นว่านี่กลายเป็นสิ่ง
ที่ง่ายดายเหมือนสูตรของเฮรอน
สแควร์รูทของ c กำลังสอง ส่วน 4 คูณ a กำลังสอง เท่ากับ c
กำลังสอง a กำลังสอง ส่วน 4, ลบ c กำลังสองส่วน 4,
ผมแค่กระจายนี่ไป.
แล้วผมจะเขียนมันเป็นตัวเศษกำลังสอง ส่วน
ตัวส่วนกำลังสอง.
ได้ คูณ c กำลังสอง บวก a กำลังสอง ลบ b
กำลังสอง, กำลังสอง.
ส่วน -- ถ้าผมกำลังสองตัวส่วน, มันคือ 4c กำลังสอง.
-
และเราเห็นได้ทันทีว่า c กำลังสอง กับ c กำลังสองนั่น
จะตัดกัน.
ขอผมปิดวงเล็บทั้งหมดแบบนั้น.
และ, แน่นอน, 4 นี่คูณ 4 นั่น, มันจะเท่ากับ
-- ทีนี้ ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ.
นั่นจะเหมือนกับ 4 กำลังสอง.
และผม แทนที่จะเขียน 16, คุณจะเห็นเองว่าทำไม
ผมถึงเขียนอย่างนั้น.
ตอนนี้ผมเขียนนี่ใหม่ได้.
-
นี่จะเท่ากับสแควร์รูท -- ผม
จะเปลี่ยนสีตามใจนะ -- ของ ca ส่วน 2 กำลังสอง.
-
นี่ก็เหมือนกับอันนั้น.
จริงไหม?
ผมแค่เขียนมันเป็น ทั้งหมดนั้นกำลังสอง.
ถ้าผมกำลังสองมัน, นั่นคือ c กำลังสอง a กำลังสอง ส่วน 2
กำลังสอง ส่วน 4, ลบ -- ผมจะ เขียนทั้งหมดนี่
เป็นพจน์กำลังสอง.
นั่นก็คือ c กำลังสอง บวก a กำลังสอง ลบ
b กำลังสอง, ส่วน 4.
และเราก็กำลังสองทั้งเศษและส่วน.
-
ตอนนี้คุณอาจรู้สึกว่ามันน่าสนใจขึ้นหน่อยแล้ว.
ขอผมเขียนวงเล็บด้วยสีที่ต่างไปหน่อย
คุณอาจทำได้จากเรื่องการแยกตัวประกอบ พหุนามว่าถ้าผม
มีอะไรสักอย่างในรูป x กำลังสอง ลบ y กำลังสอง, นั่น
จะแยกได้เป็น x บวก y คูณ x ลบ y.
และเราจะใช้มันซ้ำแล้วซ้ำอีก.
ตอนนี้ถ้าคุณเรียก ca ส่วน 2 ว่า x, และคูณเรียกก้อนใหญ่ทั้งหมดนี่
ว่า y, แล้วเราจะได้ x กำลังสอง ลบ y กำลังสอง.
เราก็แยกตัวประกอบมันได้.
ทั้งหมดนี้จะเท่ากับสแควร์รูทของ
x บวก y, หรือในกรณีนี้ มันคือ ca ส่วน 2 บวก y, ซึ่งก็คือ
c กำลังสอง บวก a กำลังสอง ลบ b กำลังสอง ส่วน 4.
คูณ x ลบ y.
นี่ก็คือ x ของเรา.
ca ส่วน 2, ลบเจ้าพวกนี้ทั้งหมตรงนี้.
หรือถ้าจะดีกว่า, ขอผมบอกว่าบวก แล้วขอผม
เขียนเป็นลบ.
ได้ บวก ลบ c กำลังสอง ลบ a กำลังสอง บวก b กำลังสอง.
ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
ที่ผมทำไปคือ ผมบอกว่า นี่ก็เหมือนกับ นี่
บวกนี่, นี่บวกนี่, คูณ นี่ลบนี่, นี่
ลบ -- ผมแค่บอกว่า บวก ลบของเจ้านี่.
ได้ ลบ c กำลังสอง ลบ a กำลังสอง บวก b กำลังสอง.
ที่ผมทำก็คือเจ้านั่นตรงนั้น.
ทีนี้ลองดูว่าเราจะจัดรูปเจ้านี่ได้ไหม, หรือเราจะ
บวกเศษส่วนนี้ได้หรือไม่.
ทีนี้, เรามีตัวส่วนร่วมแล้ว.
ca ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ 2ca ส่วน 4.
ca ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ 2ca ส่วน 4,
แค่คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2.
แล้วตอนนี้เราก็บวกตัวเศษได้.
พจน์ของเราตอนนี้ จะเท่ากับสแควร์รูท
ของพจน์แรกนี้, จะกลายเป็น -- และผมจะ
เขียนมันแบบนี้นะ.
ผมจะเขียน c กำลังสอง บวก 2ca บวก a กำลังสอง ลบ b
กำลังสอง, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
นั่นคือพจน์แรกของเรา.
แล้วพจน์ที่สองของเราจะเป็น -- ทีนี้,
ทุกอย่างจะมีส่วน 4, ผมจึงจะเขียน
มันตรงนี้.
ทุกอย่างส่วน 4.
-
แล้วเราก็เขียนนี่ว่า b กำลังสอง, ลบ c กำลังสอง
ลบ 2ca บวก a กำลังสอง.
ให้แค่แน่ใจ, ผมมี ลบ a กำลังสองตรงนี้.
บวก คูณ ลบ, มันยังเป็น ลบ a กำลังสองอยู่.
ผมมี บวก 2ca ตรงนี้.
ลบ คูณ ลบ, นั่นคือ บวก 2ca.
ผมมีลบ c กำลังสองตรงนี้.
สองตัวนี้เท่ากัน.
ตอนนี้สิ่งต่อไปที่เราต้องสังเกต, หรือเรา
หวังจะสังเกตพบ, คือว่าเจ้านี่ตรงนี้ -- มันอาจดู
รกหน่อย -- นั่นเหมือนกับ c บวก a กลังสอง.
ขอผมเขียนนี่ลงไปนะ.
นี่เท่ากับสแควร์รูท, เปิดวงเล็บ, ของ
เจ้านี่ตรงนี้ คือ c บวก a กำลังสอง ลบ b กำลังสอง, ส่วน 4.
นั่นคือเทอมแรกนั่น.
แล้วเทอมที่สอง.
นี่ตรงนี้ก็เหมือนกับ c ลบ a กำลังสอง.
แล้วทั้หงมดนั่นจะจัดรูปเหลือเป็น b กำลังสอง
ลบ c ลบ a กำลังสอง, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
เราก้าวหน้าไปอีกแล้ว.
อย่างที่ผมบอกคุณไว้, นี่เป็นปัญหาที่ยุ่งยาก.
แต่เราจะเห็นการประยุกต์ใช้การแยก
พหุนามได้อย่างสวยงาม, และเราจะ เห็นว่าสมการประหลาดๆ
จะแปลงกายเป็นสมการง่ายๆ ได้อย่างไร
ตอนนี้เราสามารถใช้สมบัติเดียวกันนี้ -- เราได้ว่า
รูปแบบ -- อะไรสักอย่างกำลังสอง ลบอะไรอีกตัวกำลังสอง.
-
เราก็แยกตัวประกอบมันออกมาได้.
และผมจะทำมันในบรรทัดเดียวกัน.
นี่จะเท่ากับ -- ผมจะเขียน
เล็กหน่ย, ผมจะได้มีที่เหลือ --
สแควร์รูท.
นี่จะแยกได้เป็น นี่บวกนี่.
ได้ c บวก a บวก b คูณ c บวก a ลบ b.
จริงไหม?
นี่ก็เหมือนกับรูปแบบที่เราทำไว้ตรงนี้.
นี่คือ x กำลังสอง, นี่คือ y กำลังสอง.
ได้คูณ c บวก a ลบ b, ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
แล้วเราก็ได้อันนี้มา.
นี่จะเท่ากับ b บวก c ลบ a.
-
ขอผมเลื่อนไปทางขวาหน่อย.
คูณ b บวก c ลบ a -- นั่นคือ x บวก y -- คูณ
b ลบ c ลบ a.
หรือมันก็เหมือนกับ b บวก c บวก a.
นี่ก็เหมือนกับ b ลบ c ลบ a.
จริงไหม?
เอาล่ะ.
ทั้งหมดนั่นส่วน 4.
ตอนนี้, ผมเขียนพจน์ทั้งหมดนี้ได้ใหม่.
ผมไม่อยากให้ที่หมด.
ผมเขียนพจน์นี้ทั้งหมดใหม่ว่า, ทีนี้ 4
คือผลคูณของ 2 กับ 2.
-
พจน์ทั้งหมดของเรา, จึงจัดรูป
ได้ว่า มันเท่ากับสแควร์รูท -- นี่ใกล้ถึง
เส้นชัยแล้ว -- ของเจ้านี่ตรงนี้, ซึ่งผมเขียนมันได้เป็น
a บวก b บวก c ส่วน 2.
นั่นคือเทอมนั่นตรงนั้น.
คูณเทอมนี้.
คูณเทอมนั้น.
แล้วผมลดรูปตรงนี้หน่อย. c บวก a
ลบ b, มันก็เหมือนกับ a บวก b บวก c ลบ 2b.
สองอย่างนี้เหมือนกัน.
จริงไหม?
คุณมี a, คุณมี c, แล้ว b ลบ 2b จะ
เท่ากับ ลบ b.
จริงไหม? b ลบ 2b, นั่นคือ ลบ b.
แล้วเทอมต่อไปนี้ จะเป็น a บวก b บวก
c ลบ 2b, ส่วน 2.
หรือแทนที่จะเขียนแบบนั้น, ขอผมเขียนนี่
เป็นส่วน 2 ลบ นี่ส่วน 2.
แล้วเทอมต่อไปของเราตรงนี้.
เหตุผลเดียวกัน.
มันก็เหมือนกับ a บวก b บวก c ลบ 2a,
ทั้งหมดนั่นส่วน 2.
จริงไหม?
ถ้าเราบวกลบ 2a เข้ากับ a เราจะได้ลบ a.
เราจึงได้ b บวก c ลบ a.
พวกนี้เท่ากัน.
แล้วทั้งหมดนี่ส่วน 2, หรือเราแยกตัวส่วน
แบบนั้น ส่วน 2.
แล้วเทอมสุดท้าย.
คุณคงเห็นกฎ หรือสูตร
ของเฮรอนโผล่ขึ้นมาแล้ว.
ผมคิดว่ามันไม่ใช่กฎของเฮรอนนะ -- สูตรของเฮรอนมากกว่า
เทอมนั่นตรงนั้น ก็เหมือนกับ a
บวก b บวก c ลบ 2c.
จริงไหม?
คุณหัก 2c ออกไปจาก c, แล้วคุณ
จะได้ a กับ b.
แล้วทั้งหมดนั่นส่วน 2.
คุณก็เขียนนั่น ส่วน 2 ลบ นั่นส่วน 2.
และ, แน่นอน, เราต้องใส่สแควร์รูท
ของก้อนทั้งหมดนี้.
ทีนี้, ถ้าเรากำหนด S ให้เท่ากับ a บวก b บวก c ส่วน
2, แล้วสมการนี้ก็จะลดรูปไปได้หน่อย.
เจ้านี่ตรงนี้คือ S.
เจ้านั่นตรงนั้นคือ S.
นั่นตรงนั้นคือ S.
แล้วนั่นตรงนั้นคือ S.
และนี่ก็จะลดรูปไปได้ด้วย.
ลบ 2b ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ b.
ลบ 2a ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ a.
ลบ 2c ส่วน 2, นั่นก็เหมือนกับ ลบ c.
ดังนั้สมการทั้งหมดนี้ สำหรับพื้นที่ ของเราตอนนี้เท่ากับ -- ผมจะ
เขียนสแควร์รูทใหม่นะ.
ราก, สแควร์รูท, ของ S -- นั่นก็คือเจ้านั่นตรงนั้น.
-
ผมจะใช้สีเดิมนะ.
คูณ S ลบ b, คูณ นี่คือ S ลบ a, คูณ -- แล้วเรา
ก็มาที่ตัวสุดท้าย -- S ลบ c.
-
แล้วเราก็พิสูจน์สูตรของเฮรอนได้แล้วว่า มันเท่ากับ
สิ่งที่เราพิสูจน์ไว้ในวิดีโอก่อนจริงๆ
มันเนี๊ยบมาก.
และเราแค่ต้องคิดเลขยุ่งๆ หน่อย
เพื่อพิสูจน์ออกมา.