WEBVTT 00:00:05.020 --> 00:00:07.051 И снова привет! 00:00:07.051 --> 00:00:11.024 В предыдущем видео я говорил, что результат, который мы получили для вычисления 00:00:11.024 --> 00:00:17.039 площади треугольника со сторонами a, b и c, равнозначен формуле Герона. 00:00:17.039 --> 00:00:24.007 В этом видео я хочу доказать Вам с помощью некоторых алгебраических преобразований, 00:00:24.007 --> 00:00:26.044 что это - то же, что формула Герона. 00:00:26.044 --> 00:00:30.019 Прежде всего, давайте внесем 1/2 под знак корня. 00:00:30.019 --> 00:00:36.011 То есть, 1/2с – это то же самое, что √с²/4. 00:00:36.011 --> 00:00:39.045 Вы извлекаете из этого квадратный корень и получаете ½ с. 00:00:39.045 --> 00:00:42.070 Значит, все это выражение равно… 00:00:42.070 --> 00:00:47.011 Вместо того, чтобы рисовать знак квадратного корня, я просто напишу словами - 00:00:47.011 --> 00:00:52.003 квадратный корень из вот этого - с²/4, умноженного на все это. 00:00:52.003 --> 00:01:00.062 Я просто скопирую это выражение. То есть, умножить на это. 00:01:00.062 --> 00:01:11.043 Конечно, это нужно разложить на множители - и все это под корнем. 00:01:11.043 --> 00:01:16.060 Давайте раскроем скобки. Это будет равняться квадратному корню… 00:01:16.060 --> 00:01:18.087 Это будет довольно запутанно, но я думаю, Вы будете довольны, когда увидите, 00:01:18.087 --> 00:01:23.007 как все это, в конце концов, придет к простой формуле Герона. 00:01:23.007 --> 00:01:38.023 Квадратный корень из с²/4*а²=с²а²/4 минус с²/4, умножить на… 00:01:38.023 --> 00:01:43.031 Сейчас я запишу это, как числитель в квадрате, разделенный на знаменатель в квадрате. 00:01:43.031 --> 00:01:57.079 Значит, умножить на (с²+а²-b²)², разделенное на – если я возведу знаменатель в квадрат – 4с². 00:01:57.079 --> 00:02:03.087 Мы сразу же видим, что это с² и это с² сократятся. Теперь я вот так закрою скобки. 00:02:03.087 --> 00:02:07.073 Разумеется, это 4 умножить на это 4, будет - 00:02:07.073 --> 00:02:12.036 давайте я запишу это таким образом - это то же самое, что 4 в квадрате. 00:02:12.036 --> 00:02:17.087 Вместо того, чтобы написать 16, я запишу это вот так. Скоро Вы увидите, зачем я это делаю. 00:02:17.087 --> 00:02:20.024 Теперь я могу переписать это как… 00:02:20.024 --> 00:02:30.024 Это будет равняться – я произвольно меняю цвет – квадратному корню из (са/2)². 00:02:30.024 --> 00:02:35.080 Это - то же самое, что это, правильно? Я просто возвожу всю дробь в квадрат. 00:02:35.080 --> 00:02:47.087 Если я возведу в квадрат все по отдельности, получится с²а², деленные на - 2²=4 - минус - 00:02:47.087 --> 00:02:55.047 сейчас я запишу все это выражение в квадрате - получится: (с²+а²-b²)/4. 00:02:55.047 --> 00:02:59.015 Мы возводим в квадрат и числитель, и знаменатель. 00:02:59.015 --> 00:03:05.003 Интересненько выглядит, да? Давайте я обозначу скобки другим цветом. 00:03:05.003 --> 00:03:15.036 Вы должны помнить из разложения многочленов на множители, что х²-у² можно разложить на (х+у)(х-у). 00:03:15.036 --> 00:03:18.074 Мы будем пользоваться этим правилом и дальше. 00:03:18.074 --> 00:03:28.056 Допустим, са/2, - это «х», а вот это длинное выражение – это «у», тогда у нас получается х²-у². 00:03:28.056 --> 00:03:31.087 Значит, мы можем разложить это выражение на множители. 00:03:31.087 --> 00:03:39.080 Следовательно, все это будет равняться: √(х+у) или в этом случае из (са/2) плюс у, 00:03:39.080 --> 00:03:53.040 которое у нас равняется (с²+а²-b²)/4 умножить на х-у. Это наш х – са/2, минус все это 00:03:53.040 --> 00:04:10.059 выражение, или давайте лучше поменяем знаки – плюс -с²-а²+b². Все это делить на 4. 00:04:10.059 --> 00:04:17.031 То есть, я здесь сделал следующее: я сказал, что это выражение - то же самое, что это плюс это, 00:04:17.031 --> 00:04:30.056 умножить на это минус это – но я поменял знак, и получилось: плюс это выражение с отрицательным знаком, т.е. -с²-а²+b². 00:04:30.056 --> 00:04:34.072 Вот, что я сделал. Давайте теперь попробуем это упростить. 00:04:34.072 --> 00:04:40.060 Давайте посмотрим, сможем ли мы сложить эти дроби. Мы можем прийти здесь к общему знаменателю. 00:04:40.060 --> 00:04:48.056 са/2, - это то же самое, что 2са/4. Мы просто умножаем числитель и знаменатель на 2. 00:04:48.056 --> 00:04:56.083 Теперь мы можем сложить числители. Теперь все это выражение будет у нас равняться квадратному корню из… 00:04:56.083 --> 00:05:16.016 Это первоначальное выражение превратится в – я запишу это таким образом – (с²+2са+а²-b²)/4. 00:05:16.016 --> 00:05:21.060 Это наше первое выражение, а вот наше второе выражение. 00:05:21.060 --> 00:05:27.060 Оно тоже будет со знаменателем 4. Так я и запишу. 00:05:27.060 --> 00:05:47.067 Значит, мы можем записать это как b²-с²-2са+а². 00:05:47.067 --> 00:05:56.043 Давайте проверим: у нас здесь минус а² - плюс умножить на минус, получается минус а². 00:05:56.043 --> 00:06:07.022 Здесь у нас плюс 2са – минус умножить на минус дает плюс 2са. Здесь у нас минус с² и здесь минус с². 00:06:07.022 --> 00:06:10.000 Значит, эти два выражения равнозначны. 00:06:10.000 --> 00:06:24.008 Следующее, что нам нужно понять, - это то, что это выражение здесь – что-то я тут начёркал – это то же самое, что (с+а)². 00:06:24.008 --> 00:06:36.027 Давайте я это запишу. Это равняется квадратному корню из - открываем скобки – ((с+а)²-b²)/4. 00:06:36.027 --> 00:06:52.056 Это первая часть. Теперь вторая часть. Вот это то же самое, что (с-а)². Все это упростится до (b²-(с-а)²)/4. 00:06:52.056 --> 00:06:58.080 Мы двигаемся вперед. Я Вам говорил, что это непростая задача. 00:06:58.080 --> 00:07:04.012 Здесь мы видим наглядные примеры разложения многочленов на множители. 00:07:04.012 --> 00:07:09.080 А также то, как это сложное и странное на вид уравнение может быть упрощено. 00:07:09.080 --> 00:07:12.068 Здесь мы можем использовать тот же принцип. 00:07:12.068 --> 00:07:16.071 У нас такой же точно случай – какое-то выражение в квадрате минус еще одно выражение в квадрате, и то же самое - здесь. 00:07:16.071 --> 00:07:20.090 То есть, мы можем разложить это на множители. 00:07:20.090 --> 00:07:37.087 Это будет равняться квадратному корню из – это разложится на это плюс это, то есть, (с+а+b)(с+а-b). 00:07:37.087 --> 00:07:43.056 Это точно такой же пример, как тот, что я делал ранее. Это – х², а это – у². 00:07:43.056 --> 00:07:53.012 Итак, умножить на (с+а-b) и все это делить на 4. Теперь это. Тут у нас будет b+с-а. 00:07:53.012 --> 00:08:10.016 Давайте я немного передвинусь вправо. Умножить на b+с-а – это х+у – умножить на b-(с-а). 00:08:10.016 --> 00:08:25.007 Или - это то же самое, что b-с+а, это ведь то же самое, что и b-(с-а), верно? Все это разделить на 4. 00:08:25.007 --> 00:08:29.016 Теперь я могу переписать все это выражение. 00:08:29.016 --> 00:08:31.095 Не хочу, чтобы у меня закончилось место, где писать. 00:08:31.095 --> 00:08:41.000 Я могу переписать все это выражение как - я могу написать, что 4 – это 2 умножить 2. 00:08:41.000 --> 00:08:48.015 Значит, все наше уравнение было упрощено до – выходим на финишную прямую – 00:08:48.015 --> 00:09:00.087 до квадратного корня из вот этого выражения, которое я могу просто записать как (а+b+с)/2. 00:09:00.087 --> 00:09:19.008 Умножить на эту часть. Давайте упростим это. с+а-b – это то же, что а+b+с-2b. 00:09:19.008 --> 00:09:28.027 Эти два выражения равнозначны. У Вас есть а, с, а затем b-2b=-b. 00:09:28.027 --> 00:09:39.060 Значит, следующее выражение будет таким: (а+b+с-2b)/2 00:09:39.060 --> 00:09:42.077 либо вместо того, чтобы писать это так, 00:09:42.077 --> 00:09:46.087 я могу записать это, как это, деленное на 2 минус это, деленное на 2. 00:09:46.087 --> 00:09:51.036 Теперь наше следующее выражение. Точно такая же логика. 00:09:51.036 --> 00:09:59.032 Это то же самое, что (а+b+с-2а), деленное на 2. 00:09:59.032 --> 00:10:09.048 Если мы сложим минус 2а и а, мы получим минус а - значит, у нас b+с-а. Это одно и то же. 00:10:09.048 --> 00:10:14.060 Все это разделить на 2, или мы можем разделить знаменатели таким образом. 00:10:14.060 --> 00:10:22.087 Теперь последнее выражение. Вы, наверно, уже узнаете вырисовывающуюся здесь формулу Герона 00:10:22.087 --> 00:10:39.032 Эта часть – то же самое, что а+b-2с. Вы вычитаете 2с из с и получаете минус с, и у Вас также есть а и b. 00:10:39.032 --> 00:10:42.096 Все это делить на 2. Это разделить на 2, и это разделить на 2. 00:10:42.096 --> 00:10:51.034 И, конечно, мы извлекаем квадратный корень из всего этого – закрываем скобочку. 00:10:51.034 --> 00:11:02.048 Пусть площадь S будет равна (а+b+с)/2, тогда это уравнение сильно упрощается. 00:11:02.048 --> 00:11:12.024 Это у нас S. Это тоже S. Вот это S и это S. Эти выражения тоже сильно упрощаются. 00:11:12.024 --> 00:11:23.096 Минус 2b/2, - это то же самое, что минус b. Минус 2а/2, - это то же самое, что минус а. Минус 2с/2 - это то же самое, что минус с. 00:11:23.096 --> 00:11:30.036 Теперь все наше уравнение для нахождения площади треугольника будет равняться следующему - 00:11:30.036 --> 00:11:38.063 я перепишу квадратный корень из S – я напишу это теми же цветами - 00:11:38.063 --> 00:11:57.096 умножить на S-b, умножить на S-а, умножить на – мы уже на последнем S-с. 00:11:57.096 --> 00:12:04.075 Мы доказали, что формула Герона – это то же, что и то, к чему мы пришли в конце последнего видео. 00:12:04.075 --> 00:12:06.096 У нас неплохо получилось. 00:12:06.096 --> 99:59:59.000 Просто нужно было сделать немного мудреных алгебраических преобразований для того, чтобы это доказать.