1
00:00:05,020 --> 00:00:07,051
И снова привет!

2
00:00:07,051 --> 00:00:11,024
В предыдущем видео я говорил, что результат, который мы получили для вычисления

3
00:00:11,024 --> 00:00:17,039
площади треугольника со сторонами a, b и c, равнозначен формуле Герона.

4
00:00:17,039 --> 00:00:24,007
В этом видео я хочу доказать Вам с помощью некоторых алгебраических преобразований,

5
00:00:24,007 --> 00:00:26,044
что это - то же, что формула Герона.

6
00:00:26,044 --> 00:00:30,019
Прежде всего, давайте внесем 1/2 под знак корня.

7
00:00:30,019 --> 00:00:36,011
То есть, 1/2с – это то же самое, что √с²/4.

8
00:00:36,011 --> 00:00:39,045
Вы извлекаете из этого квадратный корень и получаете ½ с.

9
00:00:39,045 --> 00:00:42,070
Значит, все это выражение равно…

10
00:00:42,070 --> 00:00:47,011
Вместо того, чтобы рисовать знак квадратного корня, я просто напишу словами -

11
00:00:47,011 --> 00:00:52,003
квадратный корень из вот этого - с²/4, умноженного на все это.

12
00:00:52,003 --> 00:01:00,062
Я просто скопирую это выражение. То есть, умножить на это.

13
00:01:00,062 --> 00:01:11,043
Конечно, это нужно разложить на множители - и все это под корнем.

14
00:01:11,043 --> 00:01:16,060
Давайте раскроем скобки. Это будет равняться квадратному корню…

15
00:01:16,060 --> 00:01:18,087
Это будет довольно запутанно, но я думаю, Вы будете довольны, когда увидите,

16
00:01:18,087 --> 00:01:23,007
как все это, в конце концов, придет к простой формуле Герона.

17
00:01:23,007 --> 00:01:38,023
Квадратный корень из с²/4*а²=с²а²/4 минус с²/4, умножить на…

18
00:01:38,023 --> 00:01:43,031
Сейчас я запишу это, как числитель в квадрате, разделенный на знаменатель в квадрате.

19
00:01:43,031 --> 00:01:57,079
Значит, умножить на (с²+а²-b²)², разделенное на – если я возведу знаменатель в квадрат – 4с².

20
00:01:57,079 --> 00:02:03,087
Мы сразу же видим, что это с² и это с² сократятся. Теперь я вот так закрою скобки.

21
00:02:03,087 --> 00:02:07,073
Разумеется, это 4 умножить на это 4, будет -

22
00:02:07,073 --> 00:02:12,036
давайте я запишу это таким образом - это то же самое, что 4 в квадрате.

23
00:02:12,036 --> 00:02:17,087
Вместо того, чтобы написать 16, я запишу это вот так. Скоро Вы увидите, зачем я это делаю.

24
00:02:17,087 --> 00:02:20,024
Теперь я могу переписать это как…

25
00:02:20,024 --> 00:02:30,024
Это будет равняться – я произвольно меняю цвет – квадратному корню из (са/2)².

26
00:02:30,024 --> 00:02:35,080
Это - то же самое, что это, правильно? Я просто возвожу всю дробь в квадрат.

27
00:02:35,080 --> 00:02:47,087
Если я возведу в квадрат все по отдельности, получится с²а², деленные на - 2²=4 - минус -

28
00:02:47,087 --> 00:02:55,047
сейчас я запишу все это выражение в квадрате - получится: (с²+а²-b²)/4.

29
00:02:55,047 --> 00:02:59,015
Мы возводим в квадрат и числитель, и знаменатель.

30
00:02:59,015 --> 00:03:05,003
Интересненько выглядит, да? Давайте я обозначу скобки другим цветом.

31
00:03:05,003 --> 00:03:15,036
Вы должны помнить из разложения многочленов на множители, что х²-у² можно разложить на (х+у)(х-у).

32
00:03:15,036 --> 00:03:18,074
Мы будем пользоваться этим правилом и дальше.

33
00:03:18,074 --> 00:03:28,056
Допустим, са/2, - это «х», а вот это длинное выражение – это «у», тогда у нас получается х²-у².

34
00:03:28,056 --> 00:03:31,087
Значит, мы можем разложить это выражение на множители.

35
00:03:31,087 --> 00:03:39,080
Следовательно, все это будет равняться: √(х+у) или в этом случае из (са/2) плюс у,

36
00:03:39,080 --> 00:03:53,040
которое у нас равняется (с²+а²-b²)/4 умножить на х-у. Это наш х – са/2, минус все это

37
00:03:53,040 --> 00:04:10,059
выражение, или давайте лучше поменяем знаки – плюс -с²-а²+b². Все это делить на 4.

38
00:04:10,059 --> 00:04:17,031
То есть, я здесь сделал следующее: я сказал, что это выражение - то же самое, что это плюс это,

39
00:04:17,031 --> 00:04:30,056
умножить на это минус это – но я поменял знак, и получилось: плюс это выражение с отрицательным знаком, т.е. -с²-а²+b².

40
00:04:30,056 --> 00:04:34,072
Вот, что я сделал. Давайте теперь попробуем это упростить.

41
00:04:34,072 --> 00:04:40,060
Давайте посмотрим, сможем ли мы сложить эти дроби. Мы можем прийти здесь к общему знаменателю.

42
00:04:40,060 --> 00:04:48,056
са/2, - это то же самое, что 2са/4. Мы просто умножаем числитель и знаменатель на 2.

43
00:04:48,056 --> 00:04:56,083
Теперь мы можем сложить числители. Теперь все это выражение будет у нас равняться квадратному корню из…

44
00:04:56,083 --> 00:05:16,016
Это первоначальное выражение превратится в – я запишу это таким образом – (с²+2са+а²-b²)/4.

45
00:05:16,016 --> 00:05:21,060
Это наше первое выражение, а вот наше второе выражение.

46
00:05:21,060 --> 00:05:27,060
Оно тоже будет со знаменателем 4. Так я и запишу.

47
00:05:27,060 --> 00:05:47,067
Значит, мы можем записать это как b²-с²-2са+а².

48
00:05:47,067 --> 00:05:56,043
Давайте проверим: у нас здесь минус а² - плюс умножить на минус, получается минус а².

49
00:05:56,043 --> 00:06:07,022
Здесь у нас плюс 2са – минус умножить на минус дает плюс 2са. Здесь у нас минус с² и здесь минус с².

50
00:06:07,022 --> 00:06:10,000
Значит, эти два выражения равнозначны.

51
00:06:10,000 --> 00:06:24,008
Следующее, что нам нужно понять, - это то, что это выражение здесь – что-то я тут начёркал – это то же самое, что (с+а)².

52
00:06:24,008 --> 00:06:36,027
Давайте я это запишу. Это равняется квадратному корню из - открываем скобки – ((с+а)²-b²)/4.

53
00:06:36,027 --> 00:06:52,056
Это первая часть. Теперь вторая часть. Вот это то же самое, что (с-а)². Все это упростится до (b²-(с-а)²)/4.

54
00:06:52,056 --> 00:06:58,080
Мы двигаемся вперед. Я Вам говорил, что это непростая задача.

55
00:06:58,080 --> 00:07:04,012
Здесь мы видим наглядные примеры разложения многочленов на множители.

56
00:07:04,012 --> 00:07:09,080
А также то, как это сложное и странное на вид уравнение может быть упрощено.

57
00:07:09,080 --> 00:07:12,068
Здесь мы можем использовать тот же принцип.

58
00:07:12,068 --> 00:07:16,071
У нас такой же точно случай – какое-то выражение в квадрате минус еще одно выражение в квадрате, и то же самое - здесь.

59
00:07:16,071 --> 00:07:20,090
То есть, мы можем разложить это на множители.

60
00:07:20,090 --> 00:07:37,087
Это будет равняться квадратному корню из – это разложится на это плюс это, то есть, (с+а+b)(с+а-b).

61
00:07:37,087 --> 00:07:43,056
Это точно такой же пример, как тот, что я делал ранее. Это – х², а это – у².

62
00:07:43,056 --> 00:07:53,012
Итак, умножить на (с+а-b) и все это делить на 4. Теперь это. Тут у нас будет b+с-а.

63
00:07:53,012 --> 00:08:10,016
Давайте я немного передвинусь вправо. Умножить на b+с-а – это х+у – умножить на b-(с-а).

64
00:08:10,016 --> 00:08:25,007
Или - это то же самое, что b-с+а, это ведь то же самое, что и b-(с-а), верно? Все это разделить на 4.

65
00:08:25,007 --> 00:08:29,016
Теперь я могу переписать все это выражение.

66
00:08:29,016 --> 00:08:31,095
Не хочу, чтобы у меня закончилось место, где писать.

67
00:08:31,095 --> 00:08:41,000
Я могу переписать все это выражение как - я могу написать, что 4 – это 2 умножить 2.

68
00:08:41,000 --> 00:08:48,015
Значит, все наше уравнение было упрощено до – выходим на финишную прямую –

69
00:08:48,015 --> 00:09:00,087
до квадратного корня из вот этого выражения, которое я могу просто записать как (а+b+с)/2.

70
00:09:00,087 --> 00:09:19,008
Умножить на эту часть. Давайте упростим это. с+а-b – это то же, что а+b+с-2b.

71
00:09:19,008 --> 00:09:28,027
Эти два выражения равнозначны. У Вас есть а, с, а затем b-2b=-b.

72
00:09:28,027 --> 00:09:39,060
Значит, следующее выражение будет таким: (а+b+с-2b)/2

73
00:09:39,060 --> 00:09:42,077
либо вместо того, чтобы писать это так,

74
00:09:42,077 --> 00:09:46,087
я могу записать это, как это, деленное на 2 минус это, деленное на 2.

75
00:09:46,087 --> 00:09:51,036
Теперь наше следующее выражение. Точно такая же логика.

76
00:09:51,036 --> 00:09:59,032
Это то же самое, что (а+b+с-2а), деленное на 2.

77
00:09:59,032 --> 00:10:09,048
Если мы сложим минус 2а и а, мы получим минус а - значит, у нас b+с-а. Это одно и то же.

78
00:10:09,048 --> 00:10:14,060
Все это разделить на 2, или мы можем разделить знаменатели таким образом.

79
00:10:14,060 --> 00:10:22,087
Теперь последнее выражение. Вы, наверно, уже узнаете вырисовывающуюся здесь формулу Герона

80
00:10:22,087 --> 00:10:39,032
Эта часть – то же самое, что а+b-2с. Вы вычитаете 2с из с и получаете минус с, и у Вас также есть а и b.

81
00:10:39,032 --> 00:10:42,096
Все это делить на 2. Это разделить на 2, и это разделить на 2.

82
00:10:42,096 --> 00:10:51,034
И, конечно, мы извлекаем квадратный корень из всего этого – закрываем скобочку.

83
00:10:51,034 --> 00:11:02,048
Пусть площадь S будет равна (а+b+с)/2, тогда это уравнение сильно упрощается.

84
00:11:02,048 --> 00:11:12,024
Это у нас S. Это тоже S. Вот это S и это S. Эти выражения тоже сильно упрощаются.

85
00:11:12,024 --> 00:11:23,096
Минус 2b/2, - это то же самое, что минус b. Минус 2а/2, - это то же самое, что минус а. Минус 2с/2 - это то же самое, что минус с.

86
00:11:23,096 --> 00:11:30,036
Теперь все наше уравнение для нахождения площади треугольника будет равняться следующему -

87
00:11:30,036 --> 00:11:38,063
я перепишу квадратный корень из S – я напишу это теми же цветами -

88
00:11:38,063 --> 00:11:57,096
умножить на S-b, умножить на S-а, умножить на – мы уже на последнем S-с.

89
00:11:57,096 --> 00:12:04,075
Мы доказали, что формула Герона – это то же, что и то, к чему мы пришли в конце последнего видео.

90
00:12:04,075 --> 00:12:06,096
У нас неплохо получилось.

91
00:12:06,096 --> 99:59:59,000
Просто нужно было сделать немного мудреных алгебраических преобразований для того, чтобы это доказать.