0:00:00.000,0:00:00.640
I den forrige videoen

0:00:00.640,0:00:00.850
påstod vi, at det resultatet vi fikk

0:00:00.850,0:00:04.750
av arealet av en trekant, som har sidene med lengdene

0:00:04.750,0:00:09.770
a, b og c svarer til

0:00:09.770,0:00:11.810
Herons formel.

0:00:11.810,0:00:14.150
Det vi skal gjøre i den her videoen er å vise,

0:00:14.150,0:00:16.780
at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bunn og grunn

0:00:16.780,0:00:18.990
å anvende en masse algebraisk manipulasjon.

0:00:18.990,0:00:21.590
Først skriver vi at en halv c

0:00:21.590,0:00:23.590
onder rottegnet.

0:00:23.590,0:00:28.170
Nå har vi en halv c, som er det samme som kvadratroten

0:00:28.170,0:00:30.480
av c i andre over 4.

0:00:30.480,0:00:32.910
Tar vi kvadratroten av det her, får vi en halv c.

0:00:32.910,0:00:36.270
Vi skriver kvadratroten av c i andre over 4 ganger alt det her i stedet for å tegne rottegnet.

0:00:36.270,0:00:41.450
.

0:00:41.450,0:00:48.200
La oss sette kopiere uttrykket inn her.

0:00:48.200,0:00:49.530
På den har tavlen kan man heldigvis kopiere det,

0:00:49.530,0:00:53.040
man har skrevet.

0:00:53.040,0:00:55.610
.

0:00:55.610,0:00:57.160
Vi ganger det med alt det her.

0:00:57.160,0:01:01.160
Det skal vi selvfølgelig gange ut.

0:01:01.160,0:01:03.960
Vi har altså x i andre over 4 ganger alt det her.

0:01:03.960,0:01:06.390
Nå skal vi lukke kvadratroten.

0:01:06.390,0:01:08.990
.

0:01:08.990,0:01:11.460
Nå ganger vi c i andre over 4 ut.

0:01:11.460,0:01:13.960
Det skal bli lik kvadratroten.

0:01:13.960,0:01:15.940
Det her blir en smule stort, men vis kal nok klare det,

0:01:15.940,0:01:18.620
når det på et tidspunkt kommer til å

0:01:18.620,0:01:20.470
ligne noe så simpelt som Herons formel.

0:01:20.470,0:01:24.660
Kvadratroten av c i andre over 4 ganger med a i andre

0:01:24.660,0:01:32.560
er lik med c i andre over 4 minus c i andre over 4.

0:01:32.560,0:01:35.270
Det her flytter vi bare rundt på.

0:01:35.270,0:01:37.600
Vi skriver det som telleren i andre

0:01:37.600,0:01:39.060
over nevneren i andre.

0:01:39.060,0:01:44.090
Gange c i andre pluss a i andre minus b

0:01:44.090,0:01:45.950
i andre i andre.

0:01:45.950,0:01:49.815
Hvis vi kjenner nevneren, får vi

0:01:49.815,0:01:52.790
4c i andre,

0:01:52.790,0:01:54.840
og så kan vi med det samme se, at c i andre og den her c i andre

0:01:54.840,0:01:55.600
utligner hverandre.

0:01:55.600,0:02:00.260
Vi lukker parentesen her.

0:02:00.260,0:02:02.530
Vi har også de her 4 ganger de her 4,

0:02:02.530,0:02:04.520
og det vil bli

0:02:04.520,0:02:06.490
det samme som 4 i andre.

0:02:06.490,0:02:08.850
Vi skriver altså 4 i andre

0:02:08.850,0:02:09.890
i stedet for å skrive 16.

0:02:09.890,0:02:11.880
Vi kan omskrive det her.

0:02:11.880,0:02:15.040
.

0:02:15.040,0:02:17.340
Det her vil være lik kvadratroten

0:02:17.340,0:02:21.460
av c over 2 i andre.

0:02:21.460,0:02:24.390
.

0:02:24.390,0:02:25.780
Det her er det samme som det her,

0:02:25.780,0:02:25.990
ikke sant?

0:02:25.990,0:02:28.150
Vi skriver det som det hele i andre.

0:02:28.150,0:02:30.360
Vi setter det her i andre, altså c i andre a i andre over 2 i andre

0:02:30.360,0:02:34.930
over 4 minus c i andre

0:02:34.930,0:02:36.520
pluss a i andre

0:02:36.520,0:02:40.800
minus b i andre,

0:02:40.800,0:02:45.360
og det hele står over 4.

0:02:45.360,0:02:47.810
Vi setter både nevner og teller

0:02:47.810,0:02:51.410
i andre.

0:02:51.410,0:02:53.740
Det her ser en smule interessant ut.

0:02:53.740,0:02:56.120
Vi lager parentesene i en annen farge.

0:02:56.120,0:03:00.775
Vi kan huske fra videoene om faktorisering, at hvis vi

0:03:00.775,0:03:03.460
har noe på formen x i andre minus y i andre,

0:03:03.460,0:03:08.520
kan det faktoriseres til x pluss y ganger x minus y.

0:03:08.520,0:03:11.000
Den viten kommer vi til å bruke mange ganger.

0:03:11.000,0:03:15.590
Hvis vi kan kalle c a over 2 for x, og vi kan kalle alt det her over for y,

0:03:15.590,0:03:19.110
har vi x i andre minus y i andre,

0:03:19.110,0:03:20.390
og så kan vi faktorisere det.

0:03:20.390,0:03:27.966
Alt det her er altså lik med kvadratroten av

0:03:27.966,0:03:34.740
x pluss y, eller i det her tilfelle er det c a over 2 pluss y, som er

0:03:34.740,0:03:40.960
c i andre pluss a i andre minus b i andre over 4.

0:03:40.960,0:03:44.020
Ganger x minus y.

0:03:44.020,0:03:45.570
Det her er våres x.

0:03:45.570,0:03:51.370
c a over 2 minus alt det vi har her.

0:03:51.370,0:03:53.840
Eller enda bedre kan vi bare skrive pluss og så

0:03:53.840,0:03:54.680
skrive det negative.

0:03:54.680,0:04:01.980
Vi har pluss minus c i andre minus a i andre pluss b i andre.

0:04:01.980,0:04:05.140
Alt sammen over 4.

0:04:05.140,0:04:10.180
Det eneste vi gjorde her var å si, at det her er det samme som det her

0:04:10.180,0:04:15.120
pluss det her, det her pluss det her, ganger det her minus det her.

0:04:15.120,0:04:18.610
.

0:04:18.610,0:04:21.770
c i andre minus a i andre pluss b i andre.

0:04:21.770,0:04:24.470
Det eneste vi har gjort er det rett her.

0:04:24.470,0:04:26.610
Nå vil vi gjerne redusere det her,

0:04:26.610,0:04:28.870
eller, hvis vi kan, legge de her brøkene sammen.

0:04:28.870,0:04:30.680
Vi kan godt finne en fellesnevner.

0:04:30.680,0:04:35.650
c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

0:04:35.650,0:04:38.910
c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

0:04:38.910,0:04:41.160
ganger både teller og nevner med 2.

0:04:41.160,0:04:44.420
Nå kan vi legge tellerne sammen.

0:04:44.420,0:04:49.540
Hele våres uttrykk vil nå være lik med

0:04:49.540,0:04:55.645
kvadratroten av det første uttrykket.

0:04:55.645,0:04:56.460
Vi kan skrive det sånn her.

0:04:56.460,0:05:07.820
Vi skriver c i andre pluss 2ca pluss a i andre minus b i andre,

0:05:07.820,0:05:11.820
alt sammen over 4.

0:05:11.820,0:05:13.900
Det her er våres første uttrykk.

0:05:13.900,0:05:18.010
Nå til vårt andre uttrykk.

0:05:18.010,0:05:20.190
Først er alt det her over 4,

0:05:20.190,0:05:21.070
så det skriver vi med en gang.

0:05:21.070,0:05:21.965
Alt sammen over 4.

0:05:21.965,0:05:27.280
.

0:05:27.280,0:05:36.030
Det her kan vis skrive som b i andre minus c i andre

0:05:36.030,0:05:43.490
minus 2ca pluss a i andre.

0:05:43.490,0:05:46.570
Bare for å være sikre, så har vi fremdeles a i andre her.

0:05:46.570,0:05:49.320
Pluss ganger minus. Det er fremdeles noe med minus a i andre.

0:05:49.320,0:05:51.420
Vi har pluss 2ca her.

0:05:51.420,0:05:54.080
Minus ganger minus. Det gir pluss 2ca.

0:05:54.080,0:05:55.580
Her har vi minus c i andre.

0:05:55.580,0:05:57.170
Her har vi minus c i andre.

0:05:57.170,0:06:00.530
De her 2 svarer altså til hverandre.

0:06:00.530,0:06:04.630
Forhåpentligvis kan vi gjenkjenne,

0:06:04.630,0:06:09.940
at det her over

0:06:09.940,0:06:13.690
er det samme som c pluss a i andre.

0:06:13.690,0:06:14.350
Vi skrivet det.

0:06:14.350,0:06:20.860
Det her er lik med kvadratroten av det her,

0:06:20.860,0:06:29.940
c pluss a i andre minus b i andre over 4.

0:06:29.940,0:06:31.480
Det er det første uttrykket.

0:06:31.480,0:06:33.020
Nå det andre uttrykket.

0:06:33.020,0:06:35.920
Det vi har her er det samme som c minus a i andre.

0:06:35.920,0:06:39.120
Det hele kan forkortes til b i andre

0:06:39.120,0:06:47.470
minus c minus a i andre, alt sammen over 4.

0:06:47.470,0:06:48.910
Nå kan vi se fremskritt.

0:06:48.910,0:06:51.830
Som vi tidligere fant ut av, kan det her godt være litt vanskelig.

0:06:51.830,0:06:53.950
Men her har vi fått bruk for

0:06:53.950,0:06:57.320
faktorisering av polynomer, og nå ser vi, at den merkelige likningen

0:06:57.320,0:07:00.160
er laget om til en enklere likning.

0:07:00.160,0:07:02.090
Nå kan vi bruke den samme fremgangsmåten,

0:07:02.090,0:07:04.770
når vi har noe i andre minus noe annet i andre.

0:07:04.770,0:07:07.310
.

0:07:07.310,0:07:08.500
Vi kan altså faktorisere det.

0:07:08.500,0:07:09.580
.

0:07:09.580,0:07:12.120
Det her er nå

0:07:12.120,0:07:14.040
lik med

0:07:14.040,0:07:15.310
kvadratroten.

0:07:15.310,0:07:20.000
Den her vil faktoriseres til det her pluss det her.

0:07:20.000,0:07:29.510
Vi har nå c pluss a pluss b ganger c pluss a minus b,

0:07:29.510,0:07:29.850
ikke sant?

0:07:29.850,0:07:32.030
Det er den samme fremgangsmåten, som vi brukte her.

0:07:32.030,0:07:34.470
Det her er x i andre, og det her er y i andre.

0:07:34.470,0:07:41.760
Det skal ganges med c pluss a minus b, alt sammen over 4.

0:07:41.760,0:07:43.260
Nå har vi den her.

0:07:43.260,0:07:46.250
Den er b pluss c minus a.

0:07:46.250,0:07:50.620
.

0:07:50.620,0:07:53.180
Vi ruller litt ned.

0:07:53.180,0:07:59.030
Gange b pluss c minus a,

0:07:59.030,0:08:02.640
ganger b minus c minus a.

0:08:02.640,0:08:09.020
Det er det samme som b minus c pluss a.

0:08:09.020,0:08:13.110
Det her er det samme som b minus c minus a,

0:08:13.110,0:08:14.140
ikke sant?

0:08:14.140,0:08:14.570
Okay.

0:08:14.570,0:08:20.370
Alt sammen over 4.

0:08:20.370,0:08:23.910
Nå kan vi omskrive hele uttrykket.

0:08:23.910,0:08:25.580
.

0:08:25.580,0:08:30.305
Vi kan omskrive hele uttrykket. 4 er

0:08:30.305,0:08:32.955
produktet av 2 ganger 2.

0:08:32.955,0:08:36.380
.

0:08:36.380,0:08:40.620
Hele uttrykket for våres areal er nå, formentlig, blitt redusert,

0:08:40.620,0:08:44.780
så det er lik med kvadratroten

0:08:44.780,0:08:50.560
av det rett her, som vi kan skrive som

0:08:50.560,0:08:55.780
a pluss b pluss c over 2.

0:08:55.780,0:08:57.690
Det er det leddet, vi har rett her.

0:08:57.690,0:09:00.640
Ganger det her leddet.

0:09:00.640,0:09:02.480
Ganget det leddet.

0:09:02.480,0:09:05.340
Vi reduserer det litt.

0:09:05.340,0:09:13.200
c pluss s minus b er det samme som a pluss b pluss c minus 2b.

0:09:13.200,0:09:14.490
De her 2 svarer til hverandre.

0:09:14.490,0:09:14.700
.

0:09:14.700,0:09:19.450
Vi har en a, vi har en c, og så b minus 2b,

0:09:19.450,0:09:22.510
som er lik med minus b.

0:09:22.510,0:09:24.750
b minus 2b er minus b.

0:09:24.750,0:09:29.690
Det neste leddet er lik med a pluss b pluss c

0:09:29.690,0:09:34.330
minus 2b, over 2.

0:09:34.330,0:09:36.240
Vi skriver det sånn her.

0:09:36.240,0:09:40.570
Over 2 minus det her over 2.

0:09:40.570,0:09:43.920
Nå til vårt neste ledd.

0:09:43.920,0:09:46.180
Samme fremgangsmåte.

0:09:46.180,0:09:55.360
Det er det samme som a pluss b pluss c minus 2a,

0:09:55.360,0:09:56.500
alt sammen over 2.

0:09:56.500,0:09:56.770
.

0:09:56.770,0:09:59.960
Hvis vi tilføyer minus 2a til vår a, får vi minus a.

0:09:59.960,0:10:02.040
Vi får b pluss c minus a.

0:10:02.040,0:10:03.820
De her er identiske.

0:10:03.820,0:10:06.950
Alt det her er over 2, eller vi kan dele nevnerne

0:10:06.950,0:10:09.130
sånn her over 2.

0:10:09.130,0:10:10.680
Nå til vårt siste ledd.

0:10:10.680,0:10:13.690
Vi kan allerede se regelen

0:10:13.690,0:10:16.500
fra Herons formel komme frem her.

0:10:16.500,0:10:19.570
.

0:10:19.570,0:10:23.050
Uttrykket rett her er nøyaktig det samme som

0:10:23.050,0:10:27.570
a pluss b pluss c minus 2c.

0:10:27.570,0:10:27.860
.

0:10:27.860,0:10:31.200
Vi fjerner 2c fra c, og nå har vi minus c.

0:10:31.200,0:10:32.650
Vi har fremdeles a og b,

0:10:32.650,0:10:34.540
og det hele er over 2.

0:10:34.540,0:10:37.640
Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

0:10:37.640,0:10:39.600
Etterpå tar vi selvfølgelig kvadratroten

0:10:39.600,0:10:41.540
av det hele.

0:10:41.540,0:10:52.230
Hvis vi definerer en S til å være lik med a pluss b pluss c

0:10:52.230,0:10:55.560
over 2, skal den her likningen reduseres litt.

0:10:55.560,0:10:57.800
Det vi har her er S.

0:10:57.800,0:11:00.130
Det her er S.

0:11:00.130,0:11:01.705
Det vi har her er S.

0:11:01.705,0:11:03.940
Det vi har her er også S.

0:11:03.940,0:11:07.720
De kan også reduseres.

0:11:07.720,0:11:12.030
Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

0:11:12.030,0:11:14.880
Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

0:11:14.880,0:11:17.100
Minus 2c over c er det samme som minus c.

0:11:17.100,0:11:23.590
Nå kan vi finne likningen for hele våres areal.

0:11:23.590,0:11:24.620
Vi omskriver kvadratroten.

0:11:24.620,0:11:30.670
Rottegnet, kvadratroten av S, er det, vi har rett her.

0:11:30.670,0:11:33.550
.

0:11:33.550,0:11:34.500
Vi lager det i noen fine farger.

0:11:34.500,0:11:46.890
Ganger S minus b, ganger den her S minus a,

0:11:46.890,0:11:49.555
ganger S minus c.

0:11:49.555,0:11:52.390
.

0:11:52.390,0:11:56.510
Vi har nå bevist, at Herons formel er den nøyaktig samme tingen,

0:11:56.510,0:11:59.410
som hva vi beviste til slutt i den siste videoen.

0:11:59.410,0:12:02.250
Det er gøy.

0:12:02.250,0:12:05.910
Det eneste vi skulle bruke var en smule innviklet algebra

0:12:05.910,0:12:08.150
for å bevise det.