저번 영상에서 변 a,b,c를 가지고 있는 삼각형의 넓이는 헤론의 공식의 결과와 일치한다고 했었어 이 영상에서 보여주고 싶은 것은 헤론의 공식은 사실 대수들의 조합으로 만들어진 것일 뿐이라는 거야 일단 1/2c를 근호 밑에 넣어보자. 그러니까 1/2 c, 그건 근호 아래 4분의 c의 제곱 과 같은 것이야 반대로 근호를 없애고 싶으면 1/2 c가 되는 거지 그러니까 이 모든 식은--근호를 그리지 말고 그냥 그냥 sqrt라고 적을게 c² /4 에 나머지를 곱한 것들의 sqrt인데 이건 그냥 복사해서 붙여넣을게 Ctrl+C, Ctrl+V 곱하기 나머지 식들 당연히 여기서 분배를 해야겠지 고로 c의 제곱 /4 곱하기 나머지 식을 해야 되지 그런 다음에 제곱근식을 닫을게 c제곱 /4를 분배하면 이것은 sqt ( 좀 복잡해 보일 지도 몰라 간단한 걸로 변할 수 있다는 마음에 들지도 몰라요 c 제곱의 sqrt 나누기 4곱하기 a제곱은 c 제곱 a 제곱 나누기 4, 빼기 c제곱 나누기 4 이것을 그냥 분배하는거에요 그리고 이것을 그냥 분자 재곱 나누기 분모 제곱 그러면 곱하기 c 제곱 더하기 a 제곱 빼기 b 제곱, 제곱 분의 -- 분모를 제곱하면 4c 제곱 이고 그럼 바로 볼 수 있는것은 c 제곱과 c 제곱은 나누어져서 없어진다. 이 부분을 과로로 치고 그리고 당연히 이 4곱하기 저 4는 결국에는... 이렇게 한번 씁시다. 이것은 4제곱이랑 똑같아요. 그리고 16 대신에 쓰는데 왜 그러는지 곧 보실거에요 그럼 이것을 다시 쓸 수 있어요. 이것은 c2제곱 분의 ca -- 제가 원하는 색깔으로 바꿀게요 -- sqrt이랑같아요 이것이 그것이랑 똑같아요. 그렇쵸? 그냥 이 것을 다 제곱해서 쓰는거에요. 그것을 제곱하면, 그것은 2 제곱분의 c 제곱 a 제곱 그럼 이것은 c 제곱 더하기 a 제곱 빼기 b 제곱 나누기 4. 그리고 우리는 분자 분모 둘다 제곱하면 됩니다. 자, 그럼 이것이 조금 신기해 보일 수도 있어요. 제가 과로를 조금 다른 색깔으로 바꿀게요. 아마도 인수분해 할때 기억날텐데요 x 제곱 빼기 y제곱의 형식이 있으면, 그것은 x 더하기 y 곱하기 x 빼기 y으로 인수분해가 됩니다. 그리고 우리는 이 방법을 계속 쓸거에요. 자, 2분의 ca를 x 이라고 생각하고 이 많은걸 y 이라고 생각하고 풀면, 우리는 x 제곱 빼기 y 제곱을 갖게 됩니다. 그럼 인수분해 할 수 있네요. 그럼 이 것이 다 x 더하기 y sqrt 이랑 같을고에요 이 상황에서는 2 분의 ca 더하기 y는 4 분의 c 제곱 더하기 a 제곱 뺴기 b 제곱 곱하기 x 빼기 y 그럼 이것은 우리의 x 이고 2 분의 ca 빼기 저희가 여기서 한 것들 아니면 더 편하게 말하자면 더하기 그리고 여기다가 음의를 쓰겠습니다. 그럼 더하기 음의 c 제곱 뺴기 a 제곱 더하기 b 제곱. 그 것을 다 4로 나누세요. 그냥 여기서 한것은 이것이 이것이랑 더한것이 똑간고, 이것 더하기 이것, 곱하기 이것 빼기 이것, 이것 빼기 -- 제가 방금 이 음수의 더한다고 했습니다. 그래서 음의 c 제곱 빼기 a 제곱 더하기 b 제곱 입니다. 그것을 다 한것은 여기있습니다. 그럼 이것을 약분할 수 있는지 봅시다, 아니면 이 분수들을 더할 수 있던지. 그럼, 우리는 공통분모를 가지게 되죠. 2분의 ca, 이것은 4분의 2ca 이랑 똑같죠. 그냥 분자하고 분모를 둘다 2로 곱하면 되죠. 그러면 분자끼리 더 할수 있죠. 그럼 이 모든 식을 이 첫 번째 식을 sqrt 한 것이랑 똑같을것이고 이것은 -- 이렇게 쓸게요 제가 c 제곱 더하기 2ca 더하기 a 제곱 빼기 b 제곱, 그 것을 다 4로 나눠요. 이것이 첫 번째 식이 될거구요. 우리의 2번째 식은-- 자, 이 것이 다 4로 나눌거니깐 이것을 지금 쓸게요. 다 4로 나눕니다. 그리고 이것을 b 제곱 빼기 c 제곱 빼기 2ca 더하기 a 제곱으로 쓸 수 있습니다. 그럼 한번 확인 할게요, 여기에 a 빼기 a 제곱은 여기있구요. 양수 곱하기 음의 a, 그래도 음수의 제곱이죠. 양수 곱하기 a 빼기, 그래도 a 빼기 a 제곱이죠. 여기에 더하기 2ca가 있죠. 빼기 곱하기 빼기. 그것은 2ca. 여기에 음의 c제곱이 있죠. 그럼 이 두가지는 같죠. 자 그럼 다음에는 우리가 알아봐야 할 것은, 혹시나 우리가 알아 볼 수 있으면, 저기에 있는 것이 -- 조금 지저분해 질 수도 있는데요 -- 그것이 c 다히가 a 제곱이랑 똑같아요. 잠시만 쓰겠습니다. c 더하기 a 제곱 빼기 b 제곱 나누기 4는 이것의 sqrt, 열린 과로, 랑 같습니다. 그것이 첫 번째 텀 입니다. 그리고 2번째 것. 저기에 있는 것은 c 빼기 a 제곱이랑 똑같습니다. 그럼 그 전체적인 것은 b 제곱으로 약분 되고 빼기 c 뺴기 a 제곱, 나누기 4. 인제 조금 보이기 시작하네요. 제가 말한 것 처럼 이 문제는 조금 지저분해지는 문제입니다. 하지만 갈끔하게 인수분해 할수 있는 부분들이 보입니다. 그리고 이렇게 이상하게 생긴 방정식이 간단한 식으로 어떻게 변화는지 볼 수 있습니다. 그럼 여기에서도 똑같은 요소를 쓸 수 있습니다 --똑같은 양식이 있네요 -- 임의의를 제곱하고 빼기 다른 임의의 제곱이죠. 그러면 인수분해 할수 있죠. 같은 줄에 풀게요. 그럼 이것은 sqrt 이랑 --제가 조금 작게 쓸게요 자리 남겨야 하니까-- 같죠. 그럼 이것은 이거 더하기 디것으로 인수분해 된네요. 그럼 c 더하기 a 더하기 b 곱하기 c 더하기 a 빼기 b이죠. 그쵸? 아까 썼던 양식이랑 똑같아요. 이것은 x 제곱, 저것은 y 제곱. 그럼 곱하기 c 더하기 a 뺴기 b 를 4로 나누죠. 그러면 이것을 갖게 되죠. 이것은 b 더하기 c 뺴기 a. 오른쪽으로 조금만 내려가겠습니다. 곱하기 b 더하기 c 빼기 a-- 그것은 x 더하기 t-- 곱하기 b 빼기 c 빼기 a이다. 아니면 b 빼기 c 빼기 a 랑 똑같은거죠. 그쵸? 그래요. 그리고 나누기 4를 하죠. 자, 그럼 이 식을 아예 다시 쓸 수 있습니다. 자리가 남아야 되는데요.. 이 식을 다시 쓸 수 있습니다, 자 4는 2 곱하기 2의 결과이죠. 그러면 여기에 있는 식은 약분되서 sqrt이랑 같게-- 여기가 마지막 스트레츠입니다-- 를 하고 이것을 그냥 a 더하기 b 더하기 c 를 2로 나누죠. 그럼 저기에 있는 것이에요. 곱하기 이거죠. 곱하기 이거죠. 그리고 여기에다가 간소화를 쓰겠습니다. c 더하기 a 빼기 b, 그것은 a 더하기 b 더하기 c 빼기 2b랑 똑같은거이에요. 이 두가지는 똑같습니다. 그쵸? 그리고 a 있고 b 있고 c 있고 b 빼기 2b은 빼기 b 은 같습니다. 그쵸? b 빼기 2b, 그것은 빼기 b입니다. 그럼 이 다음 것은 a 더하기 b 더하기 c 빼기 2b 나누기 2 아니면 이렇게 쓰는것 보다 이렇게 씁시다 2분의 빼기 나누기 2이죠. 그리고 다음에 있는 것은 똑같은 논리로 풉니다. 그것은 a 더하기 b 더하기 c 빼기 2a 랑 같은것 입니다 나누기 2이죠. 그쵸? 음의 2a를 a에다가 더하면 음의 a입니다. 그래서 b 더하기 c 빼기 a를 갖게 됩니다. 이것들은 똑같은것 입니다. 이것을 다 나누기 2, 아니면 분모를 나누고 이렇게 써서 2로 나눕니다. 그리고 마지막으로는 여기서 헤론의 공식을 조금씩 알아채릴 수 있습니다. 헤론의 법칙을 생각하는것이 아니고 -- 헤론의 공식. 그것은 a 랑 똑같은 것입니다. 더하기 b 더하기 c 빼기 2c이죠. 그쵸? 2c를 c에서 빼면 음의 c를 갖고 그리고 아지고 a와 b를 갖게 됩니다. 그리고 그것을 2로 나눕니다. 그것을 2로 나누고 빼기 2를 해도 됩니다. 그리고 당연히 sqrt을 다 합니다. 자, s이 a더하기 b 더하기 c 나누기 2라고 정의 하면 이 식의 큰 부분이 약분됩니다. 바로 여기에 있는 것은 S 입니다. 바로 여기에 있는 것은 S 입니다. 바로 여기에 있는 것은 S 입니다. 그리고 바로 여기에 있는 것은 S 입니다. 그리고 여기에 있는 것들도 대부분 약분할 수 있죠. 빼기 2b 나누기 2 는 음의 b 랑 같은거죠. 빼기 2a 나누기 2, 이것은 음의 a랑 같습니다. 빼기 2c 나누기 2, 이것은 음의 c랑 같습니다. 그래서 이 모든 식은 결국 -- sqrt 을 다시 쓰겠습니다. s의 sqrt-- 여기에 있는 거랑 같죠. 똑같은 색깔으로 하겠습니다. 곱하기 5빼기 b 곱하기는 s 빼기 a 곱하기 -- 그리고 마지막에 왔습니다-- S 뺴기 c 그리고 우리는 헤론의 공식이 지난번에 마지막으로 한 영상에서 한것이랑 똑같은 것이라고 증명했습니다. 조금 신기하네요. 그냥 조금 지저분한 대수학을 하면 됬었습니다.