저번 영상에서
변 a,b,c를 가지고 있는 삼각형의
넓이는 헤론의 공식의
결과와 일치한다고 했었어
이 영상에서 보여주고 싶은 것은
헤론의 공식은 사실
대수들의 조합으로 만들어진 것일 뿐이라는 거야
일단 1/2c를
근호 밑에 넣어보자.
그러니까 1/2 c, 그건 근호 아래 4분의 c의 제곱
과 같은 것이야
반대로 근호를 없애고 싶으면 1/2 c가 되는 거지
그러니까 이 모든 식은--근호를 그리지 말고 그냥
그냥 sqrt라고 적을게
c² /4 에 나머지를 곱한 것들의 sqrt인데
이건 그냥 복사해서 붙여넣을게
Ctrl+C, Ctrl+V
곱하기 나머지 식들
당연히 여기서 분배를 해야겠지
고로 c의 제곱 /4 곱하기 나머지 식을 해야 되지
그런 다음에 제곱근식을 닫을게
c제곱 /4를 분배하면
이것은 sqt (
좀 복잡해 보일 지도 몰라
간단한 걸로 변할 수 있다는
마음에 들지도 몰라요
c 제곱의 sqrt 나누기 4곱하기 a제곱은 c
제곱 a 제곱 나누기 4, 빼기 c제곱 나누기 4
이것을 그냥 분배하는거에요
그리고 이것을 그냥 분자 재곱 나누기 분모 제곱
그러면 곱하기 c 제곱 더하기 a 제곱 빼기 b
제곱, 제곱
분의 -- 분모를 제곱하면 4c 제곱 이고
그럼 바로 볼 수 있는것은 c 제곱과 c 제곱은 나누어져서 없어진다.
이 부분을 과로로 치고
그리고 당연히 이 4곱하기 저 4는
결국에는... 이렇게 한번 씁시다.
이것은 4제곱이랑 똑같아요.
그리고 16 대신에 쓰는데 왜 그러는지
곧 보실거에요
그럼 이것을 다시 쓸 수 있어요.
이것은 c2제곱 분의 ca -- 제가
원하는 색깔으로 바꿀게요 -- sqrt이랑같아요
이것이 그것이랑 똑같아요.
그렇쵸?
그냥 이 것을 다 제곱해서 쓰는거에요.
그것을 제곱하면, 그것은 2 제곱분의 c 제곱 a 제곱
그럼 이것은 c 제곱 더하기 a 제곱 빼기
b 제곱 나누기 4.
그리고 우리는 분자 분모 둘다 제곱하면 됩니다.
자, 그럼 이것이 조금 신기해 보일 수도 있어요.
제가 과로를 조금 다른 색깔으로 바꿀게요.
아마도 인수분해 할때 기억날텐데요
x 제곱 빼기 y제곱의 형식이 있으면, 그것은
x 더하기 y 곱하기 x 빼기 y으로 인수분해가 됩니다.
그리고 우리는 이 방법을 계속 쓸거에요.
자, 2분의 ca를 x 이라고 생각하고 이 많은걸
y 이라고 생각하고 풀면, 우리는 x 제곱 빼기 y 제곱을 갖게 됩니다.
그럼 인수분해 할 수 있네요.
그럼 이 것이 다 x 더하기 y sqrt 이랑 같을고에요
이 상황에서는 2 분의 ca 더하기 y는
4 분의 c 제곱 더하기 a 제곱 뺴기 b 제곱
곱하기 x 빼기 y
그럼 이것은 우리의 x 이고
2 분의 ca 빼기 저희가 여기서 한 것들
아니면 더 편하게 말하자면 더하기 그리고
여기다가 음의를 쓰겠습니다.
그럼 더하기 음의 c 제곱 뺴기 a 제곱 더하기 b 제곱.
그 것을 다 4로 나누세요.
그냥 여기서 한것은 이것이 이것이랑
더한것이 똑간고, 이것 더하기 이것, 곱하기 이것 빼기 이것, 이것
빼기 -- 제가 방금 이 음수의 더한다고 했습니다.
그래서 음의 c 제곱 빼기 a 제곱 더하기 b 제곱 입니다.
그것을 다 한것은 여기있습니다.
그럼 이것을 약분할 수 있는지 봅시다, 아니면
이 분수들을 더할 수 있던지.
그럼, 우리는 공통분모를 가지게 되죠.
2분의 ca, 이것은 4분의 2ca 이랑 똑같죠.
그냥 분자하고 분모를 둘다 2로 곱하면 되죠.
그러면 분자끼리 더 할수 있죠.
그럼 이 모든 식을 이 첫 번째 식을 sqrt 한 것이랑 똑같을것이고
이것은 -- 이렇게 쓸게요
제가 c 제곱 더하기 2ca 더하기 a 제곱 빼기 b
제곱, 그 것을 다 4로 나눠요.
이것이 첫 번째 식이 될거구요.
우리의 2번째 식은-- 자,
이 것이 다 4로 나눌거니깐 이것을
지금 쓸게요.
다 4로 나눕니다.
그리고 이것을 b 제곱 빼기 c 제곱
빼기 2ca 더하기 a 제곱으로 쓸 수 있습니다.
그럼 한번 확인 할게요, 여기에 a 빼기 a 제곱은 여기있구요.
양수 곱하기 음의 a, 그래도 음수의 제곱이죠.
양수 곱하기 a 빼기, 그래도 a 빼기 a 제곱이죠.
여기에 더하기 2ca가 있죠.
빼기 곱하기 빼기. 그것은 2ca.
여기에 음의 c제곱이 있죠.
그럼 이 두가지는 같죠.
자 그럼 다음에는 우리가 알아봐야 할 것은, 혹시나 우리가
알아 볼 수 있으면, 저기에 있는 것이 -- 조금
지저분해 질 수도 있는데요 -- 그것이 c 다히가 a 제곱이랑 똑같아요.
잠시만 쓰겠습니다.
c 더하기 a 제곱 빼기 b 제곱 나누기 4는
이것의 sqrt, 열린 과로, 랑 같습니다.
그것이 첫 번째 텀 입니다.
그리고 2번째 것.
저기에 있는 것은 c 빼기 a 제곱이랑 똑같습니다.
그럼 그 전체적인 것은 b 제곱으로 약분 되고
빼기 c 뺴기 a 제곱, 나누기 4.
인제 조금 보이기 시작하네요.
제가 말한 것 처럼 이 문제는 조금 지저분해지는 문제입니다.
하지만 갈끔하게 인수분해 할수 있는 부분들이 보입니다.
그리고 이렇게 이상하게 생긴 방정식이
간단한 식으로 어떻게 변화는지 볼 수 있습니다.
그럼 여기에서도 똑같은 요소를 쓸 수 있습니다 --똑같은
양식이 있네요 -- 임의의를 제곱하고 빼기 다른 임의의 제곱이죠.
그러면 인수분해 할수 있죠.
같은 줄에 풀게요.
그럼 이것은 sqrt 이랑 --제가 조금
작게 쓸게요 자리 남겨야 하니까-- 같죠.
그럼 이것은 이거 더하기 디것으로 인수분해 된네요.
그럼 c 더하기 a 더하기 b 곱하기 c 더하기 a 빼기 b이죠.
그쵸?
아까 썼던 양식이랑 똑같아요.
이것은 x 제곱, 저것은 y 제곱.
그럼 곱하기 c 더하기 a 뺴기 b 를 4로 나누죠.
그러면 이것을 갖게 되죠.
이것은 b 더하기 c 뺴기 a.
오른쪽으로 조금만 내려가겠습니다.
곱하기 b 더하기 c 빼기 a-- 그것은
x 더하기 t-- 곱하기
b 빼기 c 빼기 a이다.
아니면 b 빼기 c 빼기 a 랑
똑같은거죠.
그쵸?
그래요.
그리고 나누기 4를 하죠.
자, 그럼 이 식을 아예 다시 쓸 수 있습니다.
자리가 남아야 되는데요..
이 식을 다시 쓸 수 있습니다, 자 4는
2 곱하기 2의 결과이죠.
그러면 여기에 있는 식은 약분되서
sqrt이랑 같게-- 여기가 마지막 스트레츠입니다-- 를 하고
이것을 그냥 a 더하기 b 더하기 c 를 2로 나누죠.
그럼 저기에 있는 것이에요.
곱하기 이거죠.
그리고 여기에다가 간소화를 쓰겠습니다. c 더하기 a
빼기 b, 그것은 a 더하기 b 더하기 c 빼기 2b랑 똑같은거이에요.
이 두가지는 똑같습니다.
그쵸?
그리고 a 있고 b 있고 c 있고 b 빼기 2b은
빼기 b 은 같습니다.
그쵸? b 빼기 2b, 그것은 빼기 b입니다.
그럼 이 다음 것은 a 더하기 b 더하기
c 빼기 2b 나누기 2
아니면 이렇게 쓰는것 보다 이렇게 씁시다
2분의 빼기 나누기 2이죠.
그리고 다음에 있는 것은
똑같은 논리로 풉니다.
그것은 a 더하기 b 더하기 c 빼기 2a 랑 같은것 입니다
나누기 2이죠.
그쵸?
음의 2a를 a에다가 더하면 음의 a입니다.
그래서 b 더하기 c 빼기 a를 갖게 됩니다.
이것들은 똑같은것 입니다.
이것을 다 나누기 2, 아니면 분모를 나누고
이렇게 써서 2로 나눕니다.
그리고 마지막으로는
여기서 헤론의 공식을 조금씩 알아채릴 수 있습니다.
헤론의 법칙을 생각하는것이 아니고 -- 헤론의 공식.
그것은 a 랑 똑같은 것입니다.
더하기 b 더하기 c 빼기 2c이죠.
그쵸?
2c를 c에서 빼면 음의 c를 갖고 그리고
아지고 a와 b를 갖게 됩니다.
그리고 그것을 2로 나눕니다.
그것을 2로 나누고 빼기 2를 해도 됩니다.
그리고 당연히 sqrt을
다 합니다.
자, s이 a더하기 b 더하기 c 나누기 2라고 정의 하면
이 식의 큰 부분이 약분됩니다.
바로 여기에 있는 것은 S 입니다.
그리고 바로 여기에 있는 것은 S 입니다.
그리고 여기에 있는 것들도 대부분 약분할 수 있죠.
빼기 2b 나누기 2 는 음의 b 랑 같은거죠.
빼기 2a 나누기 2, 이것은 음의 a랑 같습니다.
빼기 2c 나누기 2, 이것은 음의 c랑 같습니다.
그래서 이 모든 식은 결국 --
sqrt 을 다시 쓰겠습니다.
s의 sqrt-- 여기에 있는 거랑 같죠.
똑같은 색깔으로 하겠습니다.
곱하기 5빼기 b 곱하기는 s 빼기 a 곱하기 -- 그리고
마지막에 왔습니다-- S 뺴기 c
그리고 우리는 헤론의 공식이 지난번에 마지막으로 한 영상에서
한것이랑 똑같은 것이라고 증명했습니다.
조금 신기하네요.
그냥 조금 지저분한 대수학을 하면 됬었습니다.