1
00:00:00,850 --> 00:00:04,750
Nell'ultimo video ho affermato che questo risultato che abbiamo ottenuto per l'area

2
00:00:04,750 --> 00:00:09,770
di un triangolo con i lati a, b e c e'

3
00:00:09,770 --> 00:00:11,810
equivalente alla formula di Erone.

4
00:00:11,810 --> 00:00:14,150
E quello che voglio fare in questo video e' mostrarti che questa

5
00:00:14,150 --> 00:00:16,780
e' equivalente alla formula di Erone essenzialmente facendo

6
00:00:16,780 --> 00:00:18,990
un po' di manipolazioni algebriche.

7
00:00:18,990 --> 00:00:21,590
Quindi la prima cosa che voglio fare --- piazziamo questo

8
00:00:21,590 --> 00:00:23,590
1/2 c sotto a una radice.

9
00:00:23,590 --> 00:00:28,170
Allora 1/2 c e' come dire la radice quadrata

10
00:00:28,170 --> 00:00:30,480
di c^2 / 4.

11
00:00:30,480 --> 00:00:32,910
Ne prendi la radice quadrata e ottieni 1/2 c.

12
00:00:32,910 --> 00:00:36,270
Quindi tutta questa espressione e' uguale a --- invece di disegnare

13
00:00:36,270 --> 00:00:41,450
la radice, scrivo la radice quadrata di questo,

14
00:00:41,450 --> 00:00:48,200
di c^2 / 4 per tutto questo.

15
00:00:48,200 --> 00:00:49,530
Lo copio e incollo.

16
00:00:53,040 --> 00:00:55,610
Copia e incolla.

17
00:00:55,610 --> 00:00:57,160
Quindi per tutto questo.

18
00:00:57,160 --> 00:01:01,160
E naturalmente deve essere distribuito.

19
00:01:01,160 --> 00:01:03,960
Quindi c^2 su 4 per tutto questo.

20
00:01:03,960 --> 00:01:06,390
E poi dobbiamo chiudere la radice quadrata.

21
00:01:08,990 --> 00:01:11,460
Fammi distribuire la c^2 / 4.

22
00:01:11,460 --> 00:01:13,960
Questo sara' uguale alla radice quadrata.

23
00:01:13,960 --> 00:01:15,940
Questo sara' peloso, ma penso che troverai

24
00:01:15,940 --> 00:01:18,620
soddisfacente come questo possa diventare una cosa

25
00:01:18,620 --> 00:01:20,470
semplice come la formula di Erone.

26
00:01:20,470 --> 00:01:24,660
La radice quadrata di c^2 / 4 per a^2 e'

27
00:01:24,660 --> 00:01:32,560
c^2 a^2 su 4, meno c^2 su 4.

28
00:01:32,560 --> 00:01:35,270
Sto solo distribuendo questo.

29
00:01:35,270 --> 00:01:37,600
E lo scrivo come il numeratore al quadrato fratto

30
00:01:37,600 --> 00:01:39,060
il denominatore al quadrato.

31
00:01:39,060 --> 00:01:44,090
Quindi per c^2 piu' a^2 meno

32
00:01:44,090 --> 00:01:45,950
b^2, al quadrato.

33
00:01:45,950 --> 00:01:49,815
Fratto --- se elevo al quadrato il denominatore e' 4c^2.

34
00:01:52,790 --> 00:01:54,840
E vediamo immediatamente che quel c^2 e quel c^2

35
00:01:54,840 --> 00:01:55,600
si annullano.

36
00:01:55,600 --> 00:02:00,260
Fammi chiudere la parentesi.

37
00:02:00,260 --> 00:02:02,530
E, ovviamente, questo 4 per quel 4, questo

38
00:02:02,530 --> 00:02:04,520
diventa --- beh fammelo scrivere in questo modo.

39
00:02:04,520 --> 00:02:06,490
Questo e' come 4^2.

40
00:02:06,490 --> 00:02:08,850
E invece di scrivere 16, vedrai perche'

41
00:02:08,850 --> 00:02:09,890
faccio cosi'.

42
00:02:09,890 --> 00:02:11,880
Ora questo lo posso riscrivere.

43
00:02:15,040 --> 00:02:17,340
Questo sara' uguale alla radice quadrata --- cambio

44
00:02:17,340 --> 00:02:21,460
colore arbitrariamente --- di ca su 2 al quadrato.

45
00:02:24,390 --> 00:02:25,780
Questo e' come questo.

46
00:02:25,780 --> 00:02:25,990
Giusto?

47
00:02:25,990 --> 00:02:28,150
Sto solo scrivendo tutta questa cosa al quadrato.

48
00:02:28,150 --> 00:02:30,360
Se elevo questo al quadrato, fa c^2 a^2 fratto

49
00:02:30,360 --> 00:02:34,930
2^2 su 4, meno --- e scrivo tutta questa cosa

50
00:02:34,930 --> 00:02:36,520
come un'espressione al quadrato.

51
00:02:36,520 --> 00:02:40,800
Quindi e' c^2 piu' a^2 meno

52
00:02:40,800 --> 00:02:45,360
b^2, su 4.

53
00:02:45,360 --> 00:02:47,810
E stiamo elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore.

54
00:02:51,410 --> 00:02:53,740
Ora questo potrebbe risultarti interessante.

55
00:02:53,740 --> 00:02:56,120
Fammi fare le parentesi in un colore un po' diverso.

56
00:02:56,120 --> 00:03:00,775
Potresti ricordarti dalla fattorizzazione dei polinomi che se

57
00:03:00,775 --> 00:03:03,460
ho qualcosa nella forma x^2 - y^2, si

58
00:03:03,460 --> 00:03:08,520
fattorizza in (x + y) * (x - y).

59
00:03:08,520 --> 00:03:11,000
E useremo questa cosa piu' e piu' volte.

60
00:03:11,000 --> 00:03:15,590
Ora se chiami ca / 2 "x" e chiami tutta questa grossa cosa qui

61
00:03:15,590 --> 00:03:19,110
"y", hai x^2 - y^2.

62
00:03:19,110 --> 00:03:20,390
Quindi lo possiamo fattorizzare.

63
00:03:20,390 --> 00:03:27,966
Quindi tutta questa cosa sara' uguale alla radice quadrata di

64
00:03:27,966 --> 00:03:34,740
x + y, o in questo caso e' ca / 2 piu' la y, che e'

65
00:03:34,740 --> 00:03:40,960
c^2 + a^2 - b^2 su 4.

66
00:03:40,960 --> 00:03:44,020
Per x - y.

67
00:03:44,020 --> 00:03:45,570
Quindi questa e' la nostra x.

68
00:03:45,570 --> 00:03:51,370
ca / 2, meno tutta questa faccenda qui.

69
00:03:51,370 --> 00:03:53,840
O meglio ancora, fammi dire semplicemente piu' e poi fammi

70
00:03:53,840 --> 00:03:54,680
scrivere il negativo.

71
00:03:54,680 --> 00:04:01,980
Quindi piu' meno c^2 meno a^2 piu' b^2.

72
00:04:01,980 --> 00:04:05,140
Tutto fratto 4.

73
00:04:05,140 --> 00:04:10,180
Quindi tutto quello che ho fatto e' dire che questo e' come

74
00:04:10,180 --> 00:04:15,120
questo piu' questo, questo piu' questo, per questo meno questo, questo

75
00:04:15,120 --> 00:04:18,610
meno --- ho solo detto piu' il negativo di questo.

76
00:04:18,610 --> 00:04:21,770
Quindi meno c^2 meno a^2 piu' b^2.

77
00:04:21,770 --> 00:04:24,470
E tutto quello che ho fatto sta qui.

78
00:04:24,470 --> 00:04:26,610
Ora vediamo se possiamo semplificare, o se

79
00:04:26,610 --> 00:04:28,870
possiamo sommare queste frazioni.

80
00:04:28,870 --> 00:04:30,680
Beh, possiamo ottenere un denominatore comune.

81
00:04:30,680 --> 00:04:35,650
ca / 2, questo e' come dire 2ca / 4.

82
00:04:35,650 --> 00:04:38,910
ca / 2, questo e' come 2ca / 4, sto solo

83
00:04:38,910 --> 00:04:41,160
moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2.

84
00:04:41,160 --> 00:04:44,420
E ora possiamo sommare i numeratori.

85
00:04:44,420 --> 00:04:49,540
Quindi tutta la nostra esperssione sara' uguale alla radice

86
00:04:49,540 --> 00:04:55,645
quadrata di questa prima espressione, diventera' --- e

87
00:04:55,645 --> 00:04:56,460
lo scrivo cosi'.

88
00:04:56,460 --> 00:05:07,820
Lo scrivo come c^2 + 2ca + a^2

89
00:05:07,820 --> 00:05:11,820
meno b^2, tutto fratto 4.

90
00:05:11,820 --> 00:05:13,900
Questa e' la nostra prima espressione.

91
00:05:13,900 --> 00:05:18,010
E poi la seconda espressione diventa --- beh,

92
00:05:18,010 --> 00:05:20,190
sara' tutto fratto 4, quindi scrivo solo

93
00:05:20,190 --> 00:05:21,070
questo per adesso.

94
00:05:21,070 --> 00:05:21,965
Tutto su 4.

95
00:05:27,280 --> 00:05:36,030
E poi potremmo scrivere questo come b^2 meno c^2

96
00:05:36,030 --> 00:05:43,490
meno 2ca piu' a^2.

97
00:05:43,490 --> 00:05:46,570
Giusto per stare sicuri, qui ho un -a^2.

98
00:05:46,570 --> 00:05:49,320
Piu' per meno, e' ancora un -a^2.

99
00:05:49,320 --> 00:05:51,420
Qui ho un piu' 2ca.

100
00:05:51,420 --> 00:05:54,080
Meno per meno, fa piu' 2ca.

101
00:05:54,080 --> 00:05:55,580
Qui ho a meno c al quadrato.

102
00:05:55,580 --> 00:05:57,170
Qui ho a meno c al quadrato.

103
00:05:57,170 --> 00:06:00,530
Quindi queste due cose sono equivalenti.

104
00:06:00,530 --> 00:06:04,630
Ora la prossima cosa che dobbiamo riconoscere, o si spera

105
00:06:04,630 --> 00:06:09,940
che possiamo riconoscere, e' che questo qui --- questo potrebbe diventare un po'

106
00:06:09,940 --> 00:06:13,690
incasinato -- questo e' come dire c + a ^2.

107
00:06:13,690 --> 00:06:14,350
Fammelo scrivere.

108
00:06:14,350 --> 00:06:20,860
Questo e' uguale alla radice quadrata, aperta parentesi, di questo

109
00:06:20,860 --> 00:06:29,940
qui e' c piu' a^2 meno b^2, su 4.

110
00:06:29,940 --> 00:06:31,480
Questo e' il primo termine.

111
00:06:31,480 --> 00:06:33,020
E poi il secondo termine.

112
00:06:33,020 --> 00:06:35,920
Questo qui e' come c - a ^2.

113
00:06:35,920 --> 00:06:39,120
Quindi tutta questa cosa si semplifica in

114
00:06:39,120 --> 00:06:47,470
b^2 - c - a^2, tutto fratto 4.

115
00:06:47,470 --> 00:06:48,910
Quindi stiamo facendo progressi.

116
00:06:48,910 --> 00:06:51,830
Come ti ho detto e' un problema peloso.

117
00:06:51,830 --> 00:06:53,950
Ma vediamo delle applicazioni carine della fattorizzazione

118
00:06:53,950 --> 00:06:57,320
di polinomi e vediamo come equazioni piuttosto bizzarre

119
00:06:57,320 --> 00:07:00,160
possono essere trasformate in qualcosa di piu' semplice.

120
00:07:00,160 --> 00:07:02,090
Ora possiamo usare questa identica proprieta' --- abbiamo questo

121
00:07:02,090 --> 00:07:04,770
schema --- qualcosa al quadrato meno qualcosaltro al quadrato.

122
00:07:07,310 --> 00:07:08,500
Quindi possiamo fattorizzarlo.

123
00:07:08,500 --> 00:07:09,580
E lo faccio sulla stessa riga.

124
00:07:09,580 --> 00:07:12,120
Quindi questo sara' uguale a --- lo scrivo un po'

125
00:07:12,120 --> 00:07:14,040
piu' piccolo, cosi' non finisco lo spazio ---

126
00:07:14,040 --> 00:07:15,310
la radice quadrata.

127
00:07:15,310 --> 00:07:20,000
Questo si fattorizza in questo piu' questo.

128
00:07:20,000 --> 00:07:29,510
Quindi c + a + b per c + a - b.

129
00:07:29,510 --> 00:07:29,850
Giusto?

130
00:07:29,850 --> 00:07:32,030
E' lo stesso identico problema che abbiamo usato qui.

131
00:07:32,030 --> 00:07:34,470
Questo e' x^2 questo e' y^2.

132
00:07:34,470 --> 00:07:41,760
Quindi per c + a - b, tutto fratto 4.

133
00:07:41,760 --> 00:07:43,260
E poi abbiamo questo qui.

134
00:07:43,260 --> 00:07:46,250
Questo sara' b + c - a.

135
00:07:50,620 --> 00:07:53,180
Fammi scorrere un po' verso destra.

136
00:07:53,180 --> 00:07:59,030
Per b piu' c meno a --- questo e' x + y --- per

137
00:07:59,030 --> 00:08:02,640
b - c - a.

138
00:08:02,640 --> 00:08:09,020
O e' come dire b - c + a.

139
00:08:09,020 --> 00:08:13,110
Questo e' come b - c - a.

140
00:08:13,110 --> 00:08:14,140
Giusto?

141
00:08:14,140 --> 00:08:14,570
Bene.

142
00:08:14,570 --> 00:08:20,370
E tutto questo fratto 4.

143
00:08:20,370 --> 00:08:23,910
Ora posso riscrivere tutta questa espressione.

144
00:08:23,910 --> 00:08:25,580
Non voglio finire lo spazio.

145
00:08:25,580 --> 00:08:30,305
Posso riscrivere tutta questa espressione come, beh 4 e'

146
00:08:30,305 --> 00:08:32,955
il prodotto di 2 per 2.

147
00:08:36,380 --> 00:08:40,620
Quindi la nostra espressione dell'area e' stata indiscutibilmente semplificata

148
00:08:40,620 --> 00:08:44,780
a questo uguale la radice quadrata --- e questo e' davvero

149
00:08:44,780 --> 00:08:50,560
lo scatto finale --- di questo qui, che posso scrivere come

150
00:08:50,560 --> 00:08:55,780
a + b + c su 2.

151
00:08:55,780 --> 00:08:57,690
Questo e' questo termine qui.

152
00:08:57,690 --> 00:09:00,640
Per questo termine.

153
00:09:00,640 --> 00:09:02,480
Per questo termine.

154
00:09:02,480 --> 00:09:05,340
E qui fammi scrivere una semplificazione. c + a

155
00:09:05,340 --> 00:09:13,200
meno b, questo e' come dire a + b + c - 2b.

156
00:09:13,200 --> 00:09:14,490
Queste due cose sono equivalenti.

157
00:09:14,490 --> 00:09:14,700
Giusto?

158
00:09:14,700 --> 00:09:19,450
Quindi hai una a, hai una c e poi b - 2b diventa

159
00:09:19,450 --> 00:09:22,510
uguale a meno b.

160
00:09:22,510 --> 00:09:24,750
Giusto? b - 2b, fa meno b.

161
00:09:24,750 --> 00:09:29,690
Quindi qesto prossimo termine sara' uguale ad a + b +

162
00:09:29,690 --> 00:09:34,330
c - 2b, fratto 2.

163
00:09:34,330 --> 00:09:36,240
O invece di scriverlo cosi', fammelo scrivere

164
00:09:36,240 --> 00:09:40,570
su 2 meno questo su 2.

165
00:09:40,570 --> 00:09:43,920
E poi il nostro termine successivo qui/

166
00:09:43,920 --> 00:09:46,180
Stessa identica logica.

167
00:09:46,180 --> 00:09:55,360
Questo e' come a + b + c - 2a,

168
00:09:55,360 --> 00:09:56,500
tutto fratto 2.

169
00:09:56,500 --> 00:09:56,770
Giusto?

170
00:09:56,770 --> 00:09:59,960
Se sommiamo 2a alla a otteniamo meno a.

171
00:09:59,960 --> 00:10:02,040
Quindi otteniamo b + c - a.

172
00:10:02,040 --> 00:10:03,820
Queste sono cose identiche.

173
00:10:03,820 --> 00:10:06,950
Quindi tutto questo fratto 2, o possiamo separare i denominatori

174
00:10:06,950 --> 00:10:09,130
cosi' su 2.

175
00:10:09,130 --> 00:10:10,680
E poi l'ultimo termine.

176
00:10:10,680 --> 00:10:13,690
E potresti gia' riconoscere la regola

177
00:10:13,690 --> 00:10:16,500
della formula di Erone che sta uscendo fuori.

178
00:10:16,500 --> 00:10:19,570
Pensavo non la regola di Erone --- la formula di Erone.

179
00:10:19,570 --> 00:10:23,050
Questo termine qui e' la stessa identica cosa di

180
00:10:23,050 --> 00:10:27,570
a + b + c - 2c.

181
00:10:27,570 --> 00:10:27,860
Giusto?

182
00:10:27,860 --> 00:10:31,200
Quando porti via 2c dalla c ottieni meno c, poi

183
00:10:31,200 --> 00:10:32,650
hai ancora a e b.

184
00:10:32,650 --> 00:10:34,540
E poi tutto fratto 2.

185
00:10:34,540 --> 00:10:37,640
Puoi scrivere quello fratto 2 meno quello fratto 2.

186
00:10:37,640 --> 00:10:39,600
E, ovviamente, prendiamo la radice quadrata

187
00:10:39,600 --> 00:10:41,540
di tutta questa roba.

188
00:10:41,540 --> 00:10:52,230
Ora, se definiamo S come a + b + c fratto

189
00:10:52,230 --> 00:10:55,560
2, la nostra equazione si semplifica di un bel po'.

190
00:10:55,560 --> 00:10:57,800
Questo qui e' S.

191
00:10:57,800 --> 00:11:00,130
Questo qui e' S.

192
00:11:00,130 --> 00:11:01,705
Questo qui e' S.

193
00:11:01,705 --> 00:11:03,940
E questo qui e' S.

194
00:11:03,940 --> 00:11:07,720
E anche questi si semplificano di un bel po'.

195
00:11:07,720 --> 00:11:12,030
Meno 2b su 2, questo e' come dire meno b.

196
00:11:12,030 --> 00:11:14,880
Meno 2a su 2, e' come dire meno a.

197
00:11:14,880 --> 00:11:17,100
Meno 2c su 2, e' come dire meno c.

198
00:11:17,100 --> 00:11:23,590
Quindi tutta questa equazione per l'area adesso e' uguale a ---

199
00:11:23,590 --> 00:11:24,620
riscrivo la radice quadrata.

200
00:11:24,620 --> 00:11:30,670
La radice, la radice quadrata, di S --- che e' questo qui.

201
00:11:33,550 --> 00:11:34,500
Lo faccio nello stesso colore.

202
00:11:34,500 --> 00:11:46,890
Per S - b, per questo e' S - a, per ---- e

203
00:11:46,890 --> 00:11:49,555
siamo all'ultimo --- S - c.

204
00:11:52,390 --> 00:11:56,510
E abbiamo dimostrato che la formula di Erone e' la stessa cosa

205
00:11:56,510 --> 00:11:59,410
di quello che avevamo dimostrato nell'ultimo video.

206
00:11:59,410 --> 00:12:02,250
Quindi e' stato piuttosto carino.

207
00:12:02,250 --> 00:12:05,910
E in realta' abbiamo fatto solo un po' di calcoli algebrici

208
00:12:05,910 --> 00:12:08,150
pelosi per dimostrarlo.