Nell'ultimo video ho affermato che questo risultato che abbiamo ottenuto per l'area
di un triangolo con i lati a, b e c e'
equivalente alla formula di Erone.
E quello che voglio fare in questo video e' mostrarti che questa
e' equivalente alla formula di Erone essenzialmente facendo
un po' di manipolazioni algebriche.
Quindi la prima cosa che voglio fare --- piazziamo questo
1/2 c sotto a una radice.
Allora 1/2 c e' come dire la radice quadrata
di c^2 / 4.
Ne prendi la radice quadrata e ottieni 1/2 c.
Quindi tutta questa espressione e' uguale a --- invece di disegnare
la radice, scrivo la radice quadrata di questo,
di c^2 / 4 per tutto questo.
Lo copio e incollo.
Copia e incolla.
Quindi per tutto questo.
E naturalmente deve essere distribuito.
Quindi c^2 su 4 per tutto questo.
E poi dobbiamo chiudere la radice quadrata.
Fammi distribuire la c^2 / 4.
Questo sara' uguale alla radice quadrata.
Questo sara' peloso, ma penso che troverai
soddisfacente come questo possa diventare una cosa
semplice come la formula di Erone.
La radice quadrata di c^2 / 4 per a^2 e'
c^2 a^2 su 4, meno c^2 su 4.
Sto solo distribuendo questo.
E lo scrivo come il numeratore al quadrato fratto
il denominatore al quadrato.
Quindi per c^2 piu' a^2 meno
b^2, al quadrato.
Fratto --- se elevo al quadrato il denominatore e' 4c^2.
E vediamo immediatamente che quel c^2 e quel c^2
si annullano.
Fammi chiudere la parentesi.
E, ovviamente, questo 4 per quel 4, questo
diventa --- beh fammelo scrivere in questo modo.
Questo e' come 4^2.
E invece di scrivere 16, vedrai perche'
faccio cosi'.
Ora questo lo posso riscrivere.
Questo sara' uguale alla radice quadrata --- cambio
colore arbitrariamente --- di ca su 2 al quadrato.
Questo e' come questo.
Giusto?
Sto solo scrivendo tutta questa cosa al quadrato.
Se elevo questo al quadrato, fa c^2 a^2 fratto
2^2 su 4, meno --- e scrivo tutta questa cosa
come un'espressione al quadrato.
Quindi e' c^2 piu' a^2 meno
b^2, su 4.
E stiamo elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore.
Ora questo potrebbe risultarti interessante.
Fammi fare le parentesi in un colore un po' diverso.
Potresti ricordarti dalla fattorizzazione dei polinomi che se
ho qualcosa nella forma x^2 - y^2, si
fattorizza in (x + y) * (x - y).
E useremo questa cosa piu' e piu' volte.
Ora se chiami ca / 2 "x" e chiami tutta questa grossa cosa qui
"y", hai x^2 - y^2.
Quindi lo possiamo fattorizzare.
Quindi tutta questa cosa sara' uguale alla radice quadrata di
x + y, o in questo caso e' ca / 2 piu' la y, che e'
c^2 + a^2 - b^2 su 4.
Per x - y.
Quindi questa e' la nostra x.
ca / 2, meno tutta questa faccenda qui.
O meglio ancora, fammi dire semplicemente piu' e poi fammi
scrivere il negativo.
Quindi piu' meno c^2 meno a^2 piu' b^2.
Tutto fratto 4.
Quindi tutto quello che ho fatto e' dire che questo e' come
questo piu' questo, questo piu' questo, per questo meno questo, questo
meno --- ho solo detto piu' il negativo di questo.
Quindi meno c^2 meno a^2 piu' b^2.
E tutto quello che ho fatto sta qui.
Ora vediamo se possiamo semplificare, o se
possiamo sommare queste frazioni.
Beh, possiamo ottenere un denominatore comune.
ca / 2, questo e' come dire 2ca / 4.
ca / 2, questo e' come 2ca / 4, sto solo
moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2.
E ora possiamo sommare i numeratori.
Quindi tutta la nostra esperssione sara' uguale alla radice
quadrata di questa prima espressione, diventera' --- e
lo scrivo cosi'.
Lo scrivo come c^2 + 2ca + a^2
meno b^2, tutto fratto 4.
Questa e' la nostra prima espressione.
E poi la seconda espressione diventa --- beh,
sara' tutto fratto 4, quindi scrivo solo
questo per adesso.
Tutto su 4.
E poi potremmo scrivere questo come b^2 meno c^2
meno 2ca piu' a^2.
Giusto per stare sicuri, qui ho un -a^2.
Piu' per meno, e' ancora un -a^2.
Qui ho un piu' 2ca.
Meno per meno, fa piu' 2ca.
Qui ho a meno c al quadrato.
Quindi queste due cose sono equivalenti.
Ora la prossima cosa che dobbiamo riconoscere, o si spera
che possiamo riconoscere, e' che questo qui --- questo potrebbe diventare un po'
incasinato -- questo e' come dire c + a ^2.
Fammelo scrivere.
Questo e' uguale alla radice quadrata, aperta parentesi, di questo
qui e' c piu' a^2 meno b^2, su 4.
Questo e' il primo termine.
E poi il secondo termine.
Questo qui e' come c - a ^2.
Quindi tutta questa cosa si semplifica in
b^2 - c - a^2, tutto fratto 4.
Quindi stiamo facendo progressi.
Come ti ho detto e' un problema peloso.
Ma vediamo delle applicazioni carine della fattorizzazione
di polinomi e vediamo come equazioni piuttosto bizzarre
possono essere trasformate in qualcosa di piu' semplice.
Ora possiamo usare questa identica proprieta' --- abbiamo questo
schema --- qualcosa al quadrato meno qualcosaltro al quadrato.
Quindi possiamo fattorizzarlo.
E lo faccio sulla stessa riga.
Quindi questo sara' uguale a --- lo scrivo un po'
piu' piccolo, cosi' non finisco lo spazio ---
la radice quadrata.
Questo si fattorizza in questo piu' questo.
Quindi c + a + b per c + a - b.
Giusto?
E' lo stesso identico problema che abbiamo usato qui.
Questo e' x^2 questo e' y^2.
Quindi per c + a - b, tutto fratto 4.
E poi abbiamo questo qui.
Questo sara' b + c - a.
Fammi scorrere un po' verso destra.
Per b piu' c meno a --- questo e' x + y --- per
b - c - a.
O e' come dire b - c + a.
Questo e' come b - c - a.
Giusto?
Bene.
E tutto questo fratto 4.
Ora posso riscrivere tutta questa espressione.
Non voglio finire lo spazio.
Posso riscrivere tutta questa espressione come, beh 4 e'
il prodotto di 2 per 2.
Quindi la nostra espressione dell'area e' stata indiscutibilmente semplificata
a questo uguale la radice quadrata --- e questo e' davvero
lo scatto finale --- di questo qui, che posso scrivere come
a + b + c su 2.
Questo e' questo termine qui.
Per questo termine.
E qui fammi scrivere una semplificazione. c + a
meno b, questo e' come dire a + b + c - 2b.
Queste due cose sono equivalenti.
Giusto?
Quindi hai una a, hai una c e poi b - 2b diventa
uguale a meno b.
Giusto? b - 2b, fa meno b.
Quindi qesto prossimo termine sara' uguale ad a + b +
c - 2b, fratto 2.
O invece di scriverlo cosi', fammelo scrivere
su 2 meno questo su 2.
E poi il nostro termine successivo qui/
Stessa identica logica.
Questo e' come a + b + c - 2a,
tutto fratto 2.
Giusto?
Se sommiamo 2a alla a otteniamo meno a.
Quindi otteniamo b + c - a.
Queste sono cose identiche.
Quindi tutto questo fratto 2, o possiamo separare i denominatori
cosi' su 2.
E poi l'ultimo termine.
E potresti gia' riconoscere la regola
della formula di Erone che sta uscendo fuori.
Pensavo non la regola di Erone --- la formula di Erone.
Questo termine qui e' la stessa identica cosa di
a + b + c - 2c.
Giusto?
Quando porti via 2c dalla c ottieni meno c, poi
hai ancora a e b.
E poi tutto fratto 2.
Puoi scrivere quello fratto 2 meno quello fratto 2.
E, ovviamente, prendiamo la radice quadrata
di tutta questa roba.
Ora, se definiamo S come a + b + c fratto
2, la nostra equazione si semplifica di un bel po'.
Questo qui e' S.
E questo qui e' S.
E anche questi si semplificano di un bel po'.
Meno 2b su 2, questo e' come dire meno b.
Meno 2a su 2, e' come dire meno a.
Meno 2c su 2, e' come dire meno c.
Quindi tutta questa equazione per l'area adesso e' uguale a ---
riscrivo la radice quadrata.
La radice, la radice quadrata, di S --- che e' questo qui.
Lo faccio nello stesso colore.
Per S - b, per questo e' S - a, per ---- e
siamo all'ultimo --- S - c.
E abbiamo dimostrato che la formula di Erone e' la stessa cosa
di quello che avevamo dimostrato nell'ultimo video.
Quindi e' stato piuttosto carino.
E in realta' abbiamo fatto solo un po' di calcoli algebrici
pelosi per dimostrarlo.