0:00:00.850,0:00:04.750 Nell'ultimo video ho affermato che questo risultato che abbiamo ottenuto per l'area 0:00:04.750,0:00:09.770 di un triangolo con i lati a, b e c e' 0:00:09.770,0:00:11.810 equivalente alla formula di Erone. 0:00:11.810,0:00:14.150 E quello che voglio fare in questo video e' mostrarti che questa 0:00:14.150,0:00:16.780 e' equivalente alla formula di Erone essenzialmente facendo 0:00:16.780,0:00:18.990 un po' di manipolazioni algebriche. 0:00:18.990,0:00:21.590 Quindi la prima cosa che voglio fare --- piazziamo questo 0:00:21.590,0:00:23.590 1/2 c sotto a una radice. 0:00:23.590,0:00:28.170 Allora 1/2 c e' come dire la radice quadrata 0:00:28.170,0:00:30.480 di c^2 / 4. 0:00:30.480,0:00:32.910 Ne prendi la radice quadrata e ottieni 1/2 c. 0:00:32.910,0:00:36.270 Quindi tutta questa espressione e' uguale a --- invece di disegnare 0:00:36.270,0:00:41.450 la radice, scrivo la radice quadrata di questo, 0:00:41.450,0:00:48.200 di c^2 / 4 per tutto questo. 0:00:48.200,0:00:49.530 Lo copio e incollo. 0:00:53.040,0:00:55.610 Copia e incolla. 0:00:55.610,0:00:57.160 Quindi per tutto questo. 0:00:57.160,0:01:01.160 E naturalmente deve essere distribuito. 0:01:01.160,0:01:03.960 Quindi c^2 su 4 per tutto questo. 0:01:03.960,0:01:06.390 E poi dobbiamo chiudere la radice quadrata. 0:01:08.990,0:01:11.460 Fammi distribuire la c^2 / 4. 0:01:11.460,0:01:13.960 Questo sara' uguale alla radice quadrata. 0:01:13.960,0:01:15.940 Questo sara' peloso, ma penso che troverai 0:01:15.940,0:01:18.620 soddisfacente come questo possa diventare una cosa 0:01:18.620,0:01:20.470 semplice come la formula di Erone. 0:01:20.470,0:01:24.660 La radice quadrata di c^2 / 4 per a^2 e' 0:01:24.660,0:01:32.560 c^2 a^2 su 4, meno c^2 su 4. 0:01:32.560,0:01:35.270 Sto solo distribuendo questo. 0:01:35.270,0:01:37.600 E lo scrivo come il numeratore al quadrato fratto 0:01:37.600,0:01:39.060 il denominatore al quadrato. 0:01:39.060,0:01:44.090 Quindi per c^2 piu' a^2 meno 0:01:44.090,0:01:45.950 b^2, al quadrato. 0:01:45.950,0:01:49.815 Fratto --- se elevo al quadrato il denominatore e' 4c^2. 0:01:52.790,0:01:54.840 E vediamo immediatamente che quel c^2 e quel c^2 0:01:54.840,0:01:55.600 si annullano. 0:01:55.600,0:02:00.260 Fammi chiudere la parentesi. 0:02:00.260,0:02:02.530 E, ovviamente, questo 4 per quel 4, questo 0:02:02.530,0:02:04.520 diventa --- beh fammelo scrivere in questo modo. 0:02:04.520,0:02:06.490 Questo e' come 4^2. 0:02:06.490,0:02:08.850 E invece di scrivere 16, vedrai perche' 0:02:08.850,0:02:09.890 faccio cosi'. 0:02:09.890,0:02:11.880 Ora questo lo posso riscrivere. 0:02:15.040,0:02:17.340 Questo sara' uguale alla radice quadrata --- cambio 0:02:17.340,0:02:21.460 colore arbitrariamente --- di ca su 2 al quadrato. 0:02:24.390,0:02:25.780 Questo e' come questo. 0:02:25.780,0:02:25.990 Giusto? 0:02:25.990,0:02:28.150 Sto solo scrivendo tutta questa cosa al quadrato. 0:02:28.150,0:02:30.360 Se elevo questo al quadrato, fa c^2 a^2 fratto 0:02:30.360,0:02:34.930 2^2 su 4, meno --- e scrivo tutta questa cosa 0:02:34.930,0:02:36.520 come un'espressione al quadrato. 0:02:36.520,0:02:40.800 Quindi e' c^2 piu' a^2 meno 0:02:40.800,0:02:45.360 b^2, su 4. 0:02:45.360,0:02:47.810 E stiamo elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore. 0:02:51.410,0:02:53.740 Ora questo potrebbe risultarti interessante. 0:02:53.740,0:02:56.120 Fammi fare le parentesi in un colore un po' diverso. 0:02:56.120,0:03:00.775 Potresti ricordarti dalla fattorizzazione dei polinomi che se 0:03:00.775,0:03:03.460 ho qualcosa nella forma x^2 - y^2, si 0:03:03.460,0:03:08.520 fattorizza in (x + y) * (x - y). 0:03:08.520,0:03:11.000 E useremo questa cosa piu' e piu' volte. 0:03:11.000,0:03:15.590 Ora se chiami ca / 2 "x" e chiami tutta questa grossa cosa qui 0:03:15.590,0:03:19.110 "y", hai x^2 - y^2. 0:03:19.110,0:03:20.390 Quindi lo possiamo fattorizzare. 0:03:20.390,0:03:27.966 Quindi tutta questa cosa sara' uguale alla radice quadrata di 0:03:27.966,0:03:34.740 x + y, o in questo caso e' ca / 2 piu' la y, che e' 0:03:34.740,0:03:40.960 c^2 + a^2 - b^2 su 4. 0:03:40.960,0:03:44.020 Per x - y. 0:03:44.020,0:03:45.570 Quindi questa e' la nostra x. 0:03:45.570,0:03:51.370 ca / 2, meno tutta questa faccenda qui. 0:03:51.370,0:03:53.840 O meglio ancora, fammi dire semplicemente piu' e poi fammi 0:03:53.840,0:03:54.680 scrivere il negativo. 0:03:54.680,0:04:01.980 Quindi piu' meno c^2 meno a^2 piu' b^2. 0:04:01.980,0:04:05.140 Tutto fratto 4. 0:04:05.140,0:04:10.180 Quindi tutto quello che ho fatto e' dire che questo e' come 0:04:10.180,0:04:15.120 questo piu' questo, questo piu' questo, per questo meno questo, questo 0:04:15.120,0:04:18.610 meno --- ho solo detto piu' il negativo di questo. 0:04:18.610,0:04:21.770 Quindi meno c^2 meno a^2 piu' b^2. 0:04:21.770,0:04:24.470 E tutto quello che ho fatto sta qui. 0:04:24.470,0:04:26.610 Ora vediamo se possiamo semplificare, o se 0:04:26.610,0:04:28.870 possiamo sommare queste frazioni. 0:04:28.870,0:04:30.680 Beh, possiamo ottenere un denominatore comune. 0:04:30.680,0:04:35.650 ca / 2, questo e' come dire 2ca / 4. 0:04:35.650,0:04:38.910 ca / 2, questo e' come 2ca / 4, sto solo 0:04:38.910,0:04:41.160 moltiplicando il numeratore e il denominatore per 2. 0:04:41.160,0:04:44.420 E ora possiamo sommare i numeratori. 0:04:44.420,0:04:49.540 Quindi tutta la nostra esperssione sara' uguale alla radice 0:04:49.540,0:04:55.645 quadrata di questa prima espressione, diventera' --- e 0:04:55.645,0:04:56.460 lo scrivo cosi'. 0:04:56.460,0:05:07.820 Lo scrivo come c^2 + 2ca + a^2 0:05:07.820,0:05:11.820 meno b^2, tutto fratto 4. 0:05:11.820,0:05:13.900 Questa e' la nostra prima espressione. 0:05:13.900,0:05:18.010 E poi la seconda espressione diventa --- beh, 0:05:18.010,0:05:20.190 sara' tutto fratto 4, quindi scrivo solo 0:05:20.190,0:05:21.070 questo per adesso. 0:05:21.070,0:05:21.965 Tutto su 4. 0:05:27.280,0:05:36.030 E poi potremmo scrivere questo come b^2 meno c^2 0:05:36.030,0:05:43.490 meno 2ca piu' a^2. 0:05:43.490,0:05:46.570 Giusto per stare sicuri, qui ho un -a^2. 0:05:46.570,0:05:49.320 Piu' per meno, e' ancora un -a^2. 0:05:49.320,0:05:51.420 Qui ho un piu' 2ca. 0:05:51.420,0:05:54.080 Meno per meno, fa piu' 2ca. 0:05:54.080,0:05:55.580 Qui ho a meno c al quadrato. 0:05:55.580,0:05:57.170 Qui ho a meno c al quadrato. 0:05:57.170,0:06:00.530 Quindi queste due cose sono equivalenti. 0:06:00.530,0:06:04.630 Ora la prossima cosa che dobbiamo riconoscere, o si spera 0:06:04.630,0:06:09.940 che possiamo riconoscere, e' che questo qui --- questo potrebbe diventare un po' 0:06:09.940,0:06:13.690 incasinato -- questo e' come dire c + a ^2. 0:06:13.690,0:06:14.350 Fammelo scrivere. 0:06:14.350,0:06:20.860 Questo e' uguale alla radice quadrata, aperta parentesi, di questo 0:06:20.860,0:06:29.940 qui e' c piu' a^2 meno b^2, su 4. 0:06:29.940,0:06:31.480 Questo e' il primo termine. 0:06:31.480,0:06:33.020 E poi il secondo termine. 0:06:33.020,0:06:35.920 Questo qui e' come c - a ^2. 0:06:35.920,0:06:39.120 Quindi tutta questa cosa si semplifica in 0:06:39.120,0:06:47.470 b^2 - c - a^2, tutto fratto 4. 0:06:47.470,0:06:48.910 Quindi stiamo facendo progressi. 0:06:48.910,0:06:51.830 Come ti ho detto e' un problema peloso. 0:06:51.830,0:06:53.950 Ma vediamo delle applicazioni carine della fattorizzazione 0:06:53.950,0:06:57.320 di polinomi e vediamo come equazioni piuttosto bizzarre 0:06:57.320,0:07:00.160 possono essere trasformate in qualcosa di piu' semplice. 0:07:00.160,0:07:02.090 Ora possiamo usare questa identica proprieta' --- abbiamo questo 0:07:02.090,0:07:04.770 schema --- qualcosa al quadrato meno qualcosaltro al quadrato. 0:07:07.310,0:07:08.500 Quindi possiamo fattorizzarlo. 0:07:08.500,0:07:09.580 E lo faccio sulla stessa riga. 0:07:09.580,0:07:12.120 Quindi questo sara' uguale a --- lo scrivo un po' 0:07:12.120,0:07:14.040 piu' piccolo, cosi' non finisco lo spazio --- 0:07:14.040,0:07:15.310 la radice quadrata. 0:07:15.310,0:07:20.000 Questo si fattorizza in questo piu' questo. 0:07:20.000,0:07:29.510 Quindi c + a + b per c + a - b. 0:07:29.510,0:07:29.850 Giusto? 0:07:29.850,0:07:32.030 E' lo stesso identico problema che abbiamo usato qui. 0:07:32.030,0:07:34.470 Questo e' x^2 questo e' y^2. 0:07:34.470,0:07:41.760 Quindi per c + a - b, tutto fratto 4. 0:07:41.760,0:07:43.260 E poi abbiamo questo qui. 0:07:43.260,0:07:46.250 Questo sara' b + c - a. 0:07:50.620,0:07:53.180 Fammi scorrere un po' verso destra. 0:07:53.180,0:07:59.030 Per b piu' c meno a --- questo e' x + y --- per 0:07:59.030,0:08:02.640 b - c - a. 0:08:02.640,0:08:09.020 O e' come dire b - c + a. 0:08:09.020,0:08:13.110 Questo e' come b - c - a. 0:08:13.110,0:08:14.140 Giusto? 0:08:14.140,0:08:14.570 Bene. 0:08:14.570,0:08:20.370 E tutto questo fratto 4. 0:08:20.370,0:08:23.910 Ora posso riscrivere tutta questa espressione. 0:08:23.910,0:08:25.580 Non voglio finire lo spazio. 0:08:25.580,0:08:30.305 Posso riscrivere tutta questa espressione come, beh 4 e' 0:08:30.305,0:08:32.955 il prodotto di 2 per 2. 0:08:36.380,0:08:40.620 Quindi la nostra espressione dell'area e' stata indiscutibilmente semplificata 0:08:40.620,0:08:44.780 a questo uguale la radice quadrata --- e questo e' davvero 0:08:44.780,0:08:50.560 lo scatto finale --- di questo qui, che posso scrivere come 0:08:50.560,0:08:55.780 a + b + c su 2. 0:08:55.780,0:08:57.690 Questo e' questo termine qui. 0:08:57.690,0:09:00.640 Per questo termine. 0:09:00.640,0:09:02.480 Per questo termine. 0:09:02.480,0:09:05.340 E qui fammi scrivere una semplificazione. c + a 0:09:05.340,0:09:13.200 meno b, questo e' come dire a + b + c - 2b. 0:09:13.200,0:09:14.490 Queste due cose sono equivalenti. 0:09:14.490,0:09:14.700 Giusto? 0:09:14.700,0:09:19.450 Quindi hai una a, hai una c e poi b - 2b diventa 0:09:19.450,0:09:22.510 uguale a meno b. 0:09:22.510,0:09:24.750 Giusto? b - 2b, fa meno b. 0:09:24.750,0:09:29.690 Quindi qesto prossimo termine sara' uguale ad a + b + 0:09:29.690,0:09:34.330 c - 2b, fratto 2. 0:09:34.330,0:09:36.240 O invece di scriverlo cosi', fammelo scrivere 0:09:36.240,0:09:40.570 su 2 meno questo su 2. 0:09:40.570,0:09:43.920 E poi il nostro termine successivo qui/ 0:09:43.920,0:09:46.180 Stessa identica logica. 0:09:46.180,0:09:55.360 Questo e' come a + b + c - 2a, 0:09:55.360,0:09:56.500 tutto fratto 2. 0:09:56.500,0:09:56.770 Giusto? 0:09:56.770,0:09:59.960 Se sommiamo 2a alla a otteniamo meno a. 0:09:59.960,0:10:02.040 Quindi otteniamo b + c - a. 0:10:02.040,0:10:03.820 Queste sono cose identiche. 0:10:03.820,0:10:06.950 Quindi tutto questo fratto 2, o possiamo separare i denominatori 0:10:06.950,0:10:09.130 cosi' su 2. 0:10:09.130,0:10:10.680 E poi l'ultimo termine. 0:10:10.680,0:10:13.690 E potresti gia' riconoscere la regola 0:10:13.690,0:10:16.500 della formula di Erone che sta uscendo fuori. 0:10:16.500,0:10:19.570 Pensavo non la regola di Erone --- la formula di Erone. 0:10:19.570,0:10:23.050 Questo termine qui e' la stessa identica cosa di 0:10:23.050,0:10:27.570 a + b + c - 2c. 0:10:27.570,0:10:27.860 Giusto? 0:10:27.860,0:10:31.200 Quando porti via 2c dalla c ottieni meno c, poi 0:10:31.200,0:10:32.650 hai ancora a e b. 0:10:32.650,0:10:34.540 E poi tutto fratto 2. 0:10:34.540,0:10:37.640 Puoi scrivere quello fratto 2 meno quello fratto 2. 0:10:37.640,0:10:39.600 E, ovviamente, prendiamo la radice quadrata 0:10:39.600,0:10:41.540 di tutta questa roba. 0:10:41.540,0:10:52.230 Ora, se definiamo S come a + b + c fratto 0:10:52.230,0:10:55.560 2, la nostra equazione si semplifica di un bel po'. 0:10:55.560,0:10:57.800 Questo qui e' S. 0:10:57.800,0:11:00.130 Questo qui e' S. 0:11:00.130,0:11:01.705 Questo qui e' S. 0:11:01.705,0:11:03.940 E questo qui e' S. 0:11:03.940,0:11:07.720 E anche questi si semplificano di un bel po'. 0:11:07.720,0:11:12.030 Meno 2b su 2, questo e' come dire meno b. 0:11:12.030,0:11:14.880 Meno 2a su 2, e' come dire meno a. 0:11:14.880,0:11:17.100 Meno 2c su 2, e' come dire meno c. 0:11:17.100,0:11:23.590 Quindi tutta questa equazione per l'area adesso e' uguale a --- 0:11:23.590,0:11:24.620 riscrivo la radice quadrata. 0:11:24.620,0:11:30.670 La radice, la radice quadrata, di S --- che e' questo qui. 0:11:33.550,0:11:34.500 Lo faccio nello stesso colore. 0:11:34.500,0:11:46.890 Per S - b, per questo e' S - a, per ---- e 0:11:46.890,0:11:49.555 siamo all'ultimo --- S - c. 0:11:52.390,0:11:56.510 E abbiamo dimostrato che la formula di Erone e' la stessa cosa 0:11:56.510,0:11:59.410 di quello che avevamo dimostrato nell'ultimo video. 0:11:59.410,0:12:02.250 Quindi e' stato piuttosto carino. 0:12:02.250,0:12:05.910 E in realta' abbiamo fatto solo un po' di calcoli algebrici 0:12:05.910,0:12:08.150 pelosi per dimostrarlo.