WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.640
I den forrige video

00:00:00.640 --> 00:00:00.850
påstod vi, at det resultat vi fik

00:00:00.850 --> 00:00:04.750
af arealet af en trekant, som har siderne med længderne

00:00:04.750 --> 00:00:09.770
a, b og c svarer til

00:00:09.770 --> 00:00:11.810
Herons formel.

00:00:11.810 --> 00:00:14.150
Det vi skal gøre i den her video er at vise,

00:00:14.150 --> 00:00:16.780
at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bund og grund

00:00:16.780 --> 00:00:18.990
at anvende en masse algebraisk manipulation.

00:00:18.990 --> 00:00:21.590
Først skriver vi en halv c

00:00:21.590 --> 00:00:23.590
under rodtegnet.

00:00:23.590 --> 00:00:28.170
Nu har vi en halv c, som er det samme som kvadratroden

00:00:28.170 --> 00:00:30.480
af c i anden over 4.

00:00:30.480 --> 00:00:32.910
Tager vi kvadratroden af det her, får vi en halv c.

00:00:32.910 --> 00:00:36.270
Vi skriver kvadratroden af c i anden over 4 gange alt det her i stedet for at tegne rodtegnet.

00:00:36.270 --> 00:00:41.450
.

00:00:41.450 --> 00:00:48.200
Lad os sætte kopiere udtrykket ind her.

00:00:48.200 --> 00:00:49.530
På den her tavle kan man heldigvis kopiere det,

00:00:49.530 --> 00:00:53.040
man har skrevet.

00:00:53.040 --> 00:00:55.610
.

00:00:55.610 --> 00:00:57.160
Vi ganger det med alt det her.

00:00:57.160 --> 00:01:01.160
Det skal vi selvfølgelig gange ud.

00:01:01.160 --> 00:01:03.960
Vi har altså c i anden over 4 gange alt det her.

00:01:03.960 --> 00:01:06.390
Nu skal vi lukke kvadratroden.

00:01:06.390 --> 00:01:08.990
.

00:01:08.990 --> 00:01:11.460
Nu ganger vi c i anden over 4 ud.

00:01:11.460 --> 00:01:13.960
Det skal blive lig med kvadratroden.

00:01:13.960 --> 00:01:15.940
Det her bliver en smule svært, men vi skal nok blive glade,

00:01:15.940 --> 00:01:18.620
når det på et tidspunkt kommer til at

00:01:18.620 --> 00:01:20.470
ligne noget så simpelt som Herons formel.

00:01:20.470 --> 00:01:24.660
Kvadratroden af c i anden over 4 gange med a i anden

00:01:24.660 --> 00:01:32.560
er lig med c i anden over 4 minus c i anden over 4.

00:01:32.560 --> 00:01:35.270
Det her flytter vi bare rundt på.

00:01:35.270 --> 00:01:37.600
Vi skriver det som tælleren i anden

00:01:37.600 --> 00:01:39.060
over nævneren i anden.

00:01:39.060 --> 00:01:44.090
Gange c i anden plus a i anden minus b

00:01:44.090 --> 00:01:45.950
i anden i anden.

00:01:45.950 --> 00:01:49.815
Hvis vi kvadrerer nævneren, får vi

00:01:49.815 --> 00:01:52.790
4c i anden,

00:01:52.790 --> 00:01:54.840
og så kan vi med det samme se, at c i anden og den her c i anden

00:01:54.840 --> 00:01:55.600
udligner hinanden.

00:01:55.600 --> 00:02:00.260
Vi lukker lige alle parenteserne her.

00:02:00.260 --> 00:02:02.530
Vi har også de her 4 gange de her 4,

00:02:02.530 --> 00:02:04.520
og det vil blive

00:02:04.520 --> 00:02:06.490
det samme som 4 i anden.

00:02:06.490 --> 00:02:08.850
Vi skriver altså 4 i anden

00:02:08.850 --> 00:02:09.890
i stedet for at skrive 16.

00:02:09.890 --> 00:02:11.880
Vi kan omskrive det her.

00:02:11.880 --> 00:02:15.040
.

00:02:15.040 --> 00:02:17.340
Det her vil være lig med kvadratroden

00:02:17.340 --> 00:02:21.460
af c a over 2 i anden.

00:02:21.460 --> 00:02:24.390
.

00:02:24.390 --> 00:02:25.780
Det her er det samme som det her,

00:02:25.780 --> 00:02:25.990
ikke sandt?

00:02:25.990 --> 00:02:28.150
Vi skriver det som det hele i anden.

00:02:28.150 --> 00:02:30.360
Vi sætter det her i anden, altså c i anden a i anden over 2 i anden

00:02:30.360 --> 00:02:34.930
over 4 minus c i anden

00:02:34.930 --> 00:02:36.520
plus a i anden

00:02:36.520 --> 00:02:40.800
minus b i anden,

00:02:40.800 --> 00:02:45.360
og det hele står over 4.

00:02:45.360 --> 00:02:47.810
Vi sætter altså både nævner og tæller

00:02:47.810 --> 00:02:51.410
i anden.

00:02:51.410 --> 00:02:53.740
Det her ser en smule interessant ud.

00:02:53.740 --> 00:02:56.120
Vi laver lige parenteserne i en anden farve.

00:02:56.120 --> 00:03:00.775
Vi kan huske fra videoerne om faktorisering, at hvis vi

00:03:00.775 --> 00:03:03.460
har noget på formen x i anden minus y i anden,

00:03:03.460 --> 00:03:08.520
kan det faktoriseres til x plus y gange x minus y.

00:03:08.520 --> 00:03:11.000
Den viden kommer vi til at bruge mange gange.

00:03:11.000 --> 00:03:15.590
Hvis vi kan kalde c a over 2 for x, og vi kan kalde alt det herovre for y,

00:03:15.590 --> 00:03:19.110
har vi x i anden minus y i anden,

00:03:19.110 --> 00:03:20.390
og så kan vi faktorisere det.

00:03:20.390 --> 00:03:27.966
Alt det her er altså lig med kvadratroden af

00:03:27.966 --> 00:03:34.740
x plus y, eller i det her tilfælde er det c a over 2 plus y, som er

00:03:34.740 --> 00:03:40.960
c i anden plus a i anden minus b i anden over 4.

00:03:40.960 --> 00:03:44.020
Gange x minus y.

00:03:44.020 --> 00:03:45.570
Det her er vores x.

00:03:45.570 --> 00:03:51.370
c a over 2 minus alt der vi har herovre.

00:03:51.370 --> 00:03:53.840
Eller endnu bedre kan vi bare skrive plus og så

00:03:53.840 --> 00:03:54.680
skrive det negative.

00:03:54.680 --> 00:04:01.980
Vi har plus minus c i anden minus a i anden plus b i anden.

00:04:01.980 --> 00:04:05.140
Alt sammen over 4.

00:04:05.140 --> 00:04:10.180
Det eneste vi gjorde her var at sige, at det her er det samme som det her

00:04:10.180 --> 00:04:15.120
plus det her, det her plus det her, gange det her minus det her.

00:04:15.120 --> 00:04:18.610
.

00:04:18.610 --> 00:04:21.770
c i anden minus a i anden plus b i anden.

00:04:21.770 --> 00:04:24.470
Det eneste vi har gjort er det lige her.

00:04:24.470 --> 00:04:26.610
Nu vil vi gerne reducere det her,

00:04:26.610 --> 00:04:28.870
eller, hvis vi kan, lægge de her brøker sammen.

00:04:28.870 --> 00:04:30.680
Vi kan godt finde en fællesnævner.

00:04:30.680 --> 00:04:35.650
c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

00:04:35.650 --> 00:04:38.910
c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

00:04:38.910 --> 00:04:41.160
ganger både tæller og nævner med 2.

00:04:41.160 --> 00:04:44.420
Nu kan vi lægge tællerne sammen.

00:04:44.420 --> 00:04:49.540
Hele vores udtryk vil nu være lig med

00:04:49.540 --> 00:04:55.645
kvadratroden af det første udtryk.

00:04:55.645 --> 00:04:56.460
Vi kan skrive det sådan her.

00:04:56.460 --> 00:05:07.820
Vi skriver c i anden plus 2ca plus a i anden minus b i anden,

00:05:07.820 --> 00:05:11.820
alt sammen over 4.

00:05:11.820 --> 00:05:13.900
Det her er vores første udtryk.

00:05:13.900 --> 00:05:18.010
Nu til vores andet udtryk.

00:05:18.010 --> 00:05:20.190
Først er alt det her over 4,

00:05:20.190 --> 00:05:21.070
så det skriver vi lige med det samme.

00:05:21.070 --> 00:05:21.965
Alt sammen over 4.

00:05:21.965 --> 00:05:27.280
.

00:05:27.280 --> 00:05:36.030
Det her kan vi skrive som b i anden minus c i anden

00:05:36.030 --> 00:05:43.490
minus 2ca plus a i anden.

00:05:43.490 --> 00:05:46.570
Bare for at være sikre, så har vi stadig minus a i anden her.

00:05:46.570 --> 00:05:49.320
Plus gange minus. Det er stadig noget med minus a i anden.

00:05:49.320 --> 00:05:51.420
Vi har plus 2ca herovre.

00:05:51.420 --> 00:05:54.080
Minus gange minus. Det giver plus 2ca.

00:05:54.080 --> 00:05:55.580
Her har vi minus c i anden.

00:05:55.580 --> 00:05:57.170
Her har vi minus c i anden.

00:05:57.170 --> 00:06:00.530
De her 2 svarer altså til hinanden.

00:06:00.530 --> 00:06:04.630
Forhåbentlig kan vi genkende,

00:06:04.630 --> 00:06:09.940
at det herovre

00:06:09.940 --> 00:06:13.690
er det samme som c plus a i anden.

00:06:13.690 --> 00:06:14.350
Vi skriver det lige.

00:06:14.350 --> 00:06:20.860
Det her er lig med kvadratroden af det herovre,

00:06:20.860 --> 00:06:29.940
c plus a i anden minus b i anden over 4.

00:06:29.940 --> 00:06:31.480
Det er det første udtryk.

00:06:31.480 --> 00:06:33.020
Nu det andet udtryk.

00:06:33.020 --> 00:06:35.920
Det vi har her er det samme som c minus a i anden.

00:06:35.920 --> 00:06:39.120
Det hele kan forkortes til b i anden

00:06:39.120 --> 00:06:47.470
minus c minus a i anden, alt sammen over 4.

00:06:47.470 --> 00:06:48.910
Nu kan vi se fremskridt.

00:06:48.910 --> 00:06:51.830
Som vi tidligere fandt ud af, kan det her godt være en smule svært.

00:06:51.830 --> 00:06:53.950
Men her har vi gjort godt brug af

00:06:53.950 --> 00:06:57.320
faktorisering af polynomier, og nu ser vi, at den mærkelige ligning

00:06:57.320 --> 00:07:00.160
er lavet om til en simplere ligning.

00:07:00.160 --> 00:07:02.090
Nu kan vi bruge den samme fremgangsmåde,

00:07:02.090 --> 00:07:04.770
når vi har noget i anden minus noget andet i anden.

00:07:04.770 --> 00:07:07.310
.

00:07:07.310 --> 00:07:08.500
Vi kan altså faktorisere det.

00:07:08.500 --> 00:07:09.580
.

00:07:09.580 --> 00:07:12.120
Det her er nu

00:07:12.120 --> 00:07:14.040
lig med

00:07:14.040 --> 00:07:15.310
kvadratroden.

00:07:15.310 --> 00:07:20.000
Den her vil faktoriseres til det her plus det her.

00:07:20.000 --> 00:07:29.510
Vi har nu c plus a plus b gange c plus a minus b,

00:07:29.510 --> 00:07:29.850
ikke sandt?

00:07:29.850 --> 00:07:32.030
Det er den samme fremgangsmåde, som vi brugte herovre.

00:07:32.030 --> 00:07:34.470
Det her er x i anden, og det her er y i anden.

00:07:34.470 --> 00:07:41.760
Det skal ganges med c plus a minus b, alt sammen over 4.

00:07:41.760 --> 00:07:43.260
Nu har vi den her.

00:07:43.260 --> 00:07:46.250
Den er b plus c minus a.

00:07:46.250 --> 00:07:50.620
.

00:07:50.620 --> 00:07:53.180
Vi ruller lige en smule ned.

00:07:53.180 --> 00:07:59.030
Gange b plus c minus a,

00:07:59.030 --> 00:08:02.640
gange b minus c minus a.

00:08:02.640 --> 00:08:09.020
Det er det samme som b minus c plus a.

00:08:09.020 --> 00:08:13.110
Det her er det samme som b minus c minus a,

00:08:13.110 --> 00:08:14.140
ikke sandt?

00:08:14.140 --> 00:08:14.570
Okay.

00:08:14.570 --> 00:08:20.370
Alt sammen er over 4.

00:08:20.370 --> 00:08:23.910
Nu kan vi omskrive hele udtrykket.

00:08:23.910 --> 00:08:25.580
.

00:08:25.580 --> 00:08:30.305
Vi kan omskrive hele udtrykket. 4 er

00:08:30.305 --> 00:08:32.955
produktet af 2 gange 2.

00:08:32.955 --> 00:08:36.380
.

00:08:36.380 --> 00:08:40.620
Hele udtrykket for vores areal er nu, formentlig, blevet reduceret,

00:08:40.620 --> 00:08:44.780
så det er lig med kvadratroden

00:08:44.780 --> 00:08:50.560
af det lige her, som vi kan skrive som

00:08:50.560 --> 00:08:55.780
a plus b plus c over 2.

00:08:55.780 --> 00:08:57.690
Det er det led, vi har lige her.

00:08:57.690 --> 00:09:00.640
Gange det her led.

00:09:00.640 --> 00:09:02.480
Gange det det led.

00:09:02.480 --> 00:09:05.340
Vi reducerer det lige.

00:09:05.340 --> 00:09:13.200
c plus s minus b er det samme som a plus b plus c minus 2b.

00:09:13.200 --> 00:09:14.490
De her 2 svarer til hinanden.

00:09:14.490 --> 00:09:14.700
.

00:09:14.700 --> 00:09:19.450
Vi har et a, vi har et c, og så b minus 2b,

00:09:19.450 --> 00:09:22.510
som er lig med minus b.

00:09:22.510 --> 00:09:24.750
b minus 2b er minus b.

00:09:24.750 --> 00:09:29.690
Det næste led er lig med a plus b plus c

00:09:29.690 --> 00:09:34.330
minus 2b, over 2.

00:09:34.330 --> 00:09:36.240
Vi skriver det sådan her.

00:09:36.240 --> 00:09:40.570
Over 2 minus det her over 2.

00:09:40.570 --> 00:09:43.920
Nu til vores næste led.

00:09:43.920 --> 00:09:46.180
Samme fremgangsmåde.

00:09:46.180 --> 00:09:55.360
Det er det samme som a plus b plus c minus 2a,

00:09:55.360 --> 00:09:56.500
alt sammen over 2.

00:09:56.500 --> 00:09:56.770
.

00:09:56.770 --> 00:09:59.960
Hvis vi tilføjer minus 2a til vores a, får vi minus a.

00:09:59.960 --> 00:10:02.040
Vi får b plus c minus a.

00:10:02.040 --> 00:10:03.820
De her er identiske.

00:10:03.820 --> 00:10:06.950
Alt det her er over 2, eller vi kan dele nævnerne

00:10:06.950 --> 00:10:09.130
sådan her over 2.

00:10:09.130 --> 00:10:10.680
Nu til vores sidste led.

00:10:10.680 --> 00:10:13.690
Vi kan allerede se reglen

00:10:13.690 --> 00:10:16.500
fra Herons formel komme frem her.

00:10:16.500 --> 00:10:19.570
.

00:10:19.570 --> 00:10:23.050
Udtrykket lige her er præcis det samme som

00:10:23.050 --> 00:10:27.570
a plus b plus c minus 2c.

00:10:27.570 --> 00:10:27.860
.

00:10:27.860 --> 00:10:31.200
Vi fjerner 2c fra c, og nu har vi minus c.

00:10:31.200 --> 00:10:32.650
Vi har stadig a og b,

00:10:32.650 --> 00:10:34.540
og det hele er over 2.

00:10:34.540 --> 00:10:37.640
Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

00:10:37.640 --> 00:10:39.600
Bagefter tager vi selvfølgelig kvadratroden

00:10:39.600 --> 00:10:41.540
af det hele.

00:10:41.540 --> 00:10:52.230
Hvis vi definerer et S til at være lig med a plus b plus c

00:10:52.230 --> 00:10:55.560
over 2, skal den her ligning reduceres lidt.

00:10:55.560 --> 00:10:57.800
Det vi har her er S.

00:10:57.800 --> 00:11:00.130
Det her er S.

00:11:00.130 --> 00:11:01.705
Det vi har her er S.

00:11:01.705 --> 00:11:03.940
Det vi har her er også S.

00:11:03.940 --> 00:11:07.720
De kan også reduceres.

00:11:07.720 --> 00:11:12.030
Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

00:11:12.030 --> 00:11:14.880
Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

00:11:14.880 --> 00:11:17.100
Minus 2c over c er det samme som minus c.

00:11:17.100 --> 00:11:23.590
Nu kan vi finde ligningen for hele vores areal.

00:11:23.590 --> 00:11:24.620
Vi omskriver lige kvadratroden.

00:11:24.620 --> 00:11:30.670
Rodtegnet, kvadratroden af S, er det, vi har lige her.

00:11:30.670 --> 00:11:33.550
.

00:11:33.550 --> 00:11:34.500
Vi laver det lige i nogle flotte farver.

00:11:34.500 --> 00:11:46.890
Gange S minus b, gange det her er S minus a,

00:11:46.890 --> 00:11:49.555
gange S minus c.

00:11:49.555 --> 00:11:52.390
.

00:11:52.390 --> 00:11:56.510
Vi har nu bevist, at Herons formel er den præcist samme ting,

00:11:56.510 --> 00:11:59.410
som hvad vi beviste til sidst i den sidste video.

00:11:59.410 --> 00:12:02.250
Det er ret sejt.

00:12:02.250 --> 00:12:05.910
Det eneste vi skulle bruge var en smule indviklet algebra

00:12:05.910 --> 00:12:08.150
for at bevise det.