1
00:00:00,000 --> 00:00:00,640
I den forrige video

2
00:00:00,640 --> 00:00:00,850
påstod vi, at det resultat vi fik

3
00:00:00,850 --> 00:00:04,750
af arealet af en trekant, som har siderne med længderne

4
00:00:04,750 --> 00:00:09,770
a, b og c svarer til

5
00:00:09,770 --> 00:00:11,810
Herons formel.

6
00:00:11,810 --> 00:00:14,150
Det vi skal gøre i den her video er at vise,

7
00:00:14,150 --> 00:00:16,780
at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bund og grund

8
00:00:16,780 --> 00:00:18,990
at anvende en masse algebraisk manipulation.

9
00:00:18,990 --> 00:00:21,590
Først skriver vi en halv c

10
00:00:21,590 --> 00:00:23,590
under rodtegnet.

11
00:00:23,590 --> 00:00:28,170
Nu har vi en halv c, som er det samme som kvadratroden

12
00:00:28,170 --> 00:00:30,480
af c i anden over 4.

13
00:00:30,480 --> 00:00:32,910
Tager vi kvadratroden af det her, får vi en halv c.

14
00:00:32,910 --> 00:00:36,270
Vi skriver kvadratroden af c i anden over 4 gange alt det her i stedet for at tegne rodtegnet.

15
00:00:36,270 --> 00:00:41,450
.

16
00:00:41,450 --> 00:00:48,200
Lad os sætte kopiere udtrykket ind her.

17
00:00:48,200 --> 00:00:49,530
På den her tavle kan man heldigvis kopiere det,

18
00:00:49,530 --> 00:00:53,040
man har skrevet.

19
00:00:53,040 --> 00:00:55,610
.

20
00:00:55,610 --> 00:00:57,160
Vi ganger det med alt det her.

21
00:00:57,160 --> 00:01:01,160
Det skal vi selvfølgelig gange ud.

22
00:01:01,160 --> 00:01:03,960
Vi har altså c i anden over 4 gange alt det her.

23
00:01:03,960 --> 00:01:06,390
Nu skal vi lukke kvadratroden.

24
00:01:06,390 --> 00:01:08,990
.

25
00:01:08,990 --> 00:01:11,460
Nu ganger vi c i anden over 4 ud.

26
00:01:11,460 --> 00:01:13,960
Det skal blive lig med kvadratroden.

27
00:01:13,960 --> 00:01:15,940
Det her bliver en smule svært, men vi skal nok blive glade,

28
00:01:15,940 --> 00:01:18,620
når det på et tidspunkt kommer til at

29
00:01:18,620 --> 00:01:20,470
ligne noget så simpelt som Herons formel.

30
00:01:20,470 --> 00:01:24,660
Kvadratroden af c i anden over 4 gange med a i anden

31
00:01:24,660 --> 00:01:32,560
er lig med c i anden over 4 minus c i anden over 4.

32
00:01:32,560 --> 00:01:35,270
Det her flytter vi bare rundt på.

33
00:01:35,270 --> 00:01:37,600
Vi skriver det som tælleren i anden

34
00:01:37,600 --> 00:01:39,060
over nævneren i anden.

35
00:01:39,060 --> 00:01:44,090
Gange c i anden plus a i anden minus b

36
00:01:44,090 --> 00:01:45,950
i anden i anden.

37
00:01:45,950 --> 00:01:49,815
Hvis vi kvadrerer nævneren, får vi

38
00:01:49,815 --> 00:01:52,790
4c i anden,

39
00:01:52,790 --> 00:01:54,840
og så kan vi med det samme se, at c i anden og den her c i anden

40
00:01:54,840 --> 00:01:55,600
udligner hinanden.

41
00:01:55,600 --> 00:02:00,260
Vi lukker lige alle parenteserne her.

42
00:02:00,260 --> 00:02:02,530
Vi har også de her 4 gange de her 4,

43
00:02:02,530 --> 00:02:04,520
og det vil blive

44
00:02:04,520 --> 00:02:06,490
det samme som 4 i anden.

45
00:02:06,490 --> 00:02:08,850
Vi skriver altså 4 i anden

46
00:02:08,850 --> 00:02:09,890
i stedet for at skrive 16.

47
00:02:09,890 --> 00:02:11,880
Vi kan omskrive det her.

48
00:02:11,880 --> 00:02:15,040
.

49
00:02:15,040 --> 00:02:17,340
Det her vil være lig med kvadratroden

50
00:02:17,340 --> 00:02:21,460
af c a over 2 i anden.

51
00:02:21,460 --> 00:02:24,390
.

52
00:02:24,390 --> 00:02:25,780
Det her er det samme som det her,

53
00:02:25,780 --> 00:02:25,990
ikke sandt?

54
00:02:25,990 --> 00:02:28,150
Vi skriver det som det hele i anden.

55
00:02:28,150 --> 00:02:30,360
Vi sætter det her i anden, altså c i anden a i anden over 2 i anden

56
00:02:30,360 --> 00:02:34,930
over 4 minus c i anden

57
00:02:34,930 --> 00:02:36,520
plus a i anden

58
00:02:36,520 --> 00:02:40,800
minus b i anden,

59
00:02:40,800 --> 00:02:45,360
og det hele står over 4.

60
00:02:45,360 --> 00:02:47,810
Vi sætter altså både nævner og tæller

61
00:02:47,810 --> 00:02:51,410
i anden.

62
00:02:51,410 --> 00:02:53,740
Det her ser en smule interessant ud.

63
00:02:53,740 --> 00:02:56,120
Vi laver lige parenteserne i en anden farve.

64
00:02:56,120 --> 00:03:00,775
Vi kan huske fra videoerne om faktorisering, at hvis vi

65
00:03:00,775 --> 00:03:03,460
har noget på formen x i anden minus y i anden,

66
00:03:03,460 --> 00:03:08,520
kan det faktoriseres til x plus y gange x minus y.

67
00:03:08,520 --> 00:03:11,000
Den viden kommer vi til at bruge mange gange.

68
00:03:11,000 --> 00:03:15,590
Hvis vi kan kalde c a over 2 for x, og vi kan kalde alt det herovre for y,

69
00:03:15,590 --> 00:03:19,110
har vi x i anden minus y i anden,

70
00:03:19,110 --> 00:03:20,390
og så kan vi faktorisere det.

71
00:03:20,390 --> 00:03:27,966
Alt det her er altså lig med kvadratroden af

72
00:03:27,966 --> 00:03:34,740
x plus y, eller i det her tilfælde er det c a over 2 plus y, som er

73
00:03:34,740 --> 00:03:40,960
c i anden plus a i anden minus b i anden over 4.

74
00:03:40,960 --> 00:03:44,020
Gange x minus y.

75
00:03:44,020 --> 00:03:45,570
Det her er vores x.

76
00:03:45,570 --> 00:03:51,370
c a over 2 minus alt der vi har herovre.

77
00:03:51,370 --> 00:03:53,840
Eller endnu bedre kan vi bare skrive plus og så

78
00:03:53,840 --> 00:03:54,680
skrive det negative.

79
00:03:54,680 --> 00:04:01,980
Vi har plus minus c i anden minus a i anden plus b i anden.

80
00:04:01,980 --> 00:04:05,140
Alt sammen over 4.

81
00:04:05,140 --> 00:04:10,180
Det eneste vi gjorde her var at sige, at det her er det samme som det her

82
00:04:10,180 --> 00:04:15,120
plus det her, det her plus det her, gange det her minus det her.

83
00:04:15,120 --> 00:04:18,610
.

84
00:04:18,610 --> 00:04:21,770
c i anden minus a i anden plus b i anden.

85
00:04:21,770 --> 00:04:24,470
Det eneste vi har gjort er det lige her.

86
00:04:24,470 --> 00:04:26,610
Nu vil vi gerne reducere det her,

87
00:04:26,610 --> 00:04:28,870
eller, hvis vi kan, lægge de her brøker sammen.

88
00:04:28,870 --> 00:04:30,680
Vi kan godt finde en fællesnævner.

89
00:04:30,680 --> 00:04:35,650
c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

90
00:04:35,650 --> 00:04:38,910
c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

91
00:04:38,910 --> 00:04:41,160
ganger både tæller og nævner med 2.

92
00:04:41,160 --> 00:04:44,420
Nu kan vi lægge tællerne sammen.

93
00:04:44,420 --> 00:04:49,540
Hele vores udtryk vil nu være lig med

94
00:04:49,540 --> 00:04:55,645
kvadratroden af det første udtryk.

95
00:04:55,645 --> 00:04:56,460
Vi kan skrive det sådan her.

96
00:04:56,460 --> 00:05:07,820
Vi skriver c i anden plus 2ca plus a i anden minus b i anden,

97
00:05:07,820 --> 00:05:11,820
alt sammen over 4.

98
00:05:11,820 --> 00:05:13,900
Det her er vores første udtryk.

99
00:05:13,900 --> 00:05:18,010
Nu til vores andet udtryk.

100
00:05:18,010 --> 00:05:20,190
Først er alt det her over 4,

101
00:05:20,190 --> 00:05:21,070
så det skriver vi lige med det samme.

102
00:05:21,070 --> 00:05:21,965
Alt sammen over 4.

103
00:05:21,965 --> 00:05:27,280
.

104
00:05:27,280 --> 00:05:36,030
Det her kan vi skrive som b i anden minus c i anden

105
00:05:36,030 --> 00:05:43,490
minus 2ca plus a i anden.

106
00:05:43,490 --> 00:05:46,570
Bare for at være sikre, så har vi stadig minus a i anden her.

107
00:05:46,570 --> 00:05:49,320
Plus gange minus. Det er stadig noget med minus a i anden.

108
00:05:49,320 --> 00:05:51,420
Vi har plus 2ca herovre.

109
00:05:51,420 --> 00:05:54,080
Minus gange minus. Det giver plus 2ca.

110
00:05:54,080 --> 00:05:55,580
Her har vi minus c i anden.

111
00:05:55,580 --> 00:05:57,170
Her har vi minus c i anden.

112
00:05:57,170 --> 00:06:00,530
De her 2 svarer altså til hinanden.

113
00:06:00,530 --> 00:06:04,630
Forhåbentlig kan vi genkende,

114
00:06:04,630 --> 00:06:09,940
at det herovre

115
00:06:09,940 --> 00:06:13,690
er det samme som c plus a i anden.

116
00:06:13,690 --> 00:06:14,350
Vi skriver det lige.

117
00:06:14,350 --> 00:06:20,860
Det her er lig med kvadratroden af det herovre,

118
00:06:20,860 --> 00:06:29,940
c plus a i anden minus b i anden over 4.

119
00:06:29,940 --> 00:06:31,480
Det er det første udtryk.

120
00:06:31,480 --> 00:06:33,020
Nu det andet udtryk.

121
00:06:33,020 --> 00:06:35,920
Det vi har her er det samme som c minus a i anden.

122
00:06:35,920 --> 00:06:39,120
Det hele kan forkortes til b i anden

123
00:06:39,120 --> 00:06:47,470
minus c minus a i anden, alt sammen over 4.

124
00:06:47,470 --> 00:06:48,910
Nu kan vi se fremskridt.

125
00:06:48,910 --> 00:06:51,830
Som vi tidligere fandt ud af, kan det her godt være en smule svært.

126
00:06:51,830 --> 00:06:53,950
Men her har vi gjort godt brug af

127
00:06:53,950 --> 00:06:57,320
faktorisering af polynomier, og nu ser vi, at den mærkelige ligning

128
00:06:57,320 --> 00:07:00,160
er lavet om til en simplere ligning.

129
00:07:00,160 --> 00:07:02,090
Nu kan vi bruge den samme fremgangsmåde,

130
00:07:02,090 --> 00:07:04,770
når vi har noget i anden minus noget andet i anden.

131
00:07:04,770 --> 00:07:07,310
.

132
00:07:07,310 --> 00:07:08,500
Vi kan altså faktorisere det.

133
00:07:08,500 --> 00:07:09,580
.

134
00:07:09,580 --> 00:07:12,120
Det her er nu

135
00:07:12,120 --> 00:07:14,040
lig med

136
00:07:14,040 --> 00:07:15,310
kvadratroden.

137
00:07:15,310 --> 00:07:20,000
Den her vil faktoriseres til det her plus det her.

138
00:07:20,000 --> 00:07:29,510
Vi har nu c plus a plus b gange c plus a minus b,

139
00:07:29,510 --> 00:07:29,850
ikke sandt?

140
00:07:29,850 --> 00:07:32,030
Det er den samme fremgangsmåde, som vi brugte herovre.

141
00:07:32,030 --> 00:07:34,470
Det her er x i anden, og det her er y i anden.

142
00:07:34,470 --> 00:07:41,760
Det skal ganges med c plus a minus b, alt sammen over 4.

143
00:07:41,760 --> 00:07:43,260
Nu har vi den her.

144
00:07:43,260 --> 00:07:46,250
Den er b plus c minus a.

145
00:07:46,250 --> 00:07:50,620
.

146
00:07:50,620 --> 00:07:53,180
Vi ruller lige en smule ned.

147
00:07:53,180 --> 00:07:59,030
Gange b plus c minus a,

148
00:07:59,030 --> 00:08:02,640
gange b minus c minus a.

149
00:08:02,640 --> 00:08:09,020
Det er det samme som b minus c plus a.

150
00:08:09,020 --> 00:08:13,110
Det her er det samme som b minus c minus a,

151
00:08:13,110 --> 00:08:14,140
ikke sandt?

152
00:08:14,140 --> 00:08:14,570
Okay.

153
00:08:14,570 --> 00:08:20,370
Alt sammen er over 4.

154
00:08:20,370 --> 00:08:23,910
Nu kan vi omskrive hele udtrykket.

155
00:08:23,910 --> 00:08:25,580
.

156
00:08:25,580 --> 00:08:30,305
Vi kan omskrive hele udtrykket. 4 er

157
00:08:30,305 --> 00:08:32,955
produktet af 2 gange 2.

158
00:08:32,955 --> 00:08:36,380
.

159
00:08:36,380 --> 00:08:40,620
Hele udtrykket for vores areal er nu, formentlig, blevet reduceret,

160
00:08:40,620 --> 00:08:44,780
så det er lig med kvadratroden

161
00:08:44,780 --> 00:08:50,560
af det lige her, som vi kan skrive som

162
00:08:50,560 --> 00:08:55,780
a plus b plus c over 2.

163
00:08:55,780 --> 00:08:57,690
Det er det led, vi har lige her.

164
00:08:57,690 --> 00:09:00,640
Gange det her led.

165
00:09:00,640 --> 00:09:02,480
Gange det det led.

166
00:09:02,480 --> 00:09:05,340
Vi reducerer det lige.

167
00:09:05,340 --> 00:09:13,200
c plus s minus b er det samme som a plus b plus c minus 2b.

168
00:09:13,200 --> 00:09:14,490
De her 2 svarer til hinanden.

169
00:09:14,490 --> 00:09:14,700
.

170
00:09:14,700 --> 00:09:19,450
Vi har et a, vi har et c, og så b minus 2b,

171
00:09:19,450 --> 00:09:22,510
som er lig med minus b.

172
00:09:22,510 --> 00:09:24,750
b minus 2b er minus b.

173
00:09:24,750 --> 00:09:29,690
Det næste led er lig med a plus b plus c

174
00:09:29,690 --> 00:09:34,330
minus 2b, over 2.

175
00:09:34,330 --> 00:09:36,240
Vi skriver det sådan her.

176
00:09:36,240 --> 00:09:40,570
Over 2 minus det her over 2.

177
00:09:40,570 --> 00:09:43,920
Nu til vores næste led.

178
00:09:43,920 --> 00:09:46,180
Samme fremgangsmåde.

179
00:09:46,180 --> 00:09:55,360
Det er det samme som a plus b plus c minus 2a,

180
00:09:55,360 --> 00:09:56,500
alt sammen over 2.

181
00:09:56,500 --> 00:09:56,770
.

182
00:09:56,770 --> 00:09:59,960
Hvis vi tilføjer minus 2a til vores a, får vi minus a.

183
00:09:59,960 --> 00:10:02,040
Vi får b plus c minus a.

184
00:10:02,040 --> 00:10:03,820
De her er identiske.

185
00:10:03,820 --> 00:10:06,950
Alt det her er over 2, eller vi kan dele nævnerne

186
00:10:06,950 --> 00:10:09,130
sådan her over 2.

187
00:10:09,130 --> 00:10:10,680
Nu til vores sidste led.

188
00:10:10,680 --> 00:10:13,690
Vi kan allerede se reglen

189
00:10:13,690 --> 00:10:16,500
fra Herons formel komme frem her.

190
00:10:16,500 --> 00:10:19,570
.

191
00:10:19,570 --> 00:10:23,050
Udtrykket lige her er præcis det samme som

192
00:10:23,050 --> 00:10:27,570
a plus b plus c minus 2c.

193
00:10:27,570 --> 00:10:27,860
.

194
00:10:27,860 --> 00:10:31,200
Vi fjerner 2c fra c, og nu har vi minus c.

195
00:10:31,200 --> 00:10:32,650
Vi har stadig a og b,

196
00:10:32,650 --> 00:10:34,540
og det hele er over 2.

197
00:10:34,540 --> 00:10:37,640
Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

198
00:10:37,640 --> 00:10:39,600
Bagefter tager vi selvfølgelig kvadratroden

199
00:10:39,600 --> 00:10:41,540
af det hele.

200
00:10:41,540 --> 00:10:52,230
Hvis vi definerer et S til at være lig med a plus b plus c

201
00:10:52,230 --> 00:10:55,560
over 2, skal den her ligning reduceres lidt.

202
00:10:55,560 --> 00:10:57,800
Det vi har her er S.

203
00:10:57,800 --> 00:11:00,130
Det her er S.

204
00:11:00,130 --> 00:11:01,705
Det vi har her er S.

205
00:11:01,705 --> 00:11:03,940
Det vi har her er også S.

206
00:11:03,940 --> 00:11:07,720
De kan også reduceres.

207
00:11:07,720 --> 00:11:12,030
Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

208
00:11:12,030 --> 00:11:14,880
Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

209
00:11:14,880 --> 00:11:17,100
Minus 2c over c er det samme som minus c.

210
00:11:17,100 --> 00:11:23,590
Nu kan vi finde ligningen for hele vores areal.

211
00:11:23,590 --> 00:11:24,620
Vi omskriver lige kvadratroden.

212
00:11:24,620 --> 00:11:30,670
Rodtegnet, kvadratroden af S, er det, vi har lige her.

213
00:11:30,670 --> 00:11:33,550
.

214
00:11:33,550 --> 00:11:34,500
Vi laver det lige i nogle flotte farver.

215
00:11:34,500 --> 00:11:46,890
Gange S minus b, gange det her er S minus a,

216
00:11:46,890 --> 00:11:49,555
gange S minus c.

217
00:11:49,555 --> 00:11:52,390
.

218
00:11:52,390 --> 00:11:56,510
Vi har nu bevist, at Herons formel er den præcist samme ting,

219
00:11:56,510 --> 00:11:59,410
som hvad vi beviste til sidst i den sidste video.

220
00:11:59,410 --> 00:12:02,250
Det er ret sejt.

221
00:12:02,250 --> 00:12:05,910
Det eneste vi skulle bruge var en smule indviklet algebra

222
00:12:05,910 --> 00:12:08,150
for at bevise det.