0:00:00.000,0:00:00.640
I den forrige video

0:00:00.640,0:00:00.850
påstod vi, at det resultat vi fik

0:00:00.850,0:00:04.750
af arealet af en trekant, som har siderne med længderne

0:00:04.750,0:00:09.770
a, b og c svarer til

0:00:09.770,0:00:11.810
Herons formel.

0:00:11.810,0:00:14.150
Det vi skal gøre i den her video er at vise,

0:00:14.150,0:00:16.780
at det her er tilsvarende til Herons formel ved i bund og grund

0:00:16.780,0:00:18.990
at anvende en masse algebraisk manipulation.

0:00:18.990,0:00:21.590
Først skriver vi en halv c

0:00:21.590,0:00:23.590
under rodtegnet.

0:00:23.590,0:00:28.170
Nu har vi en halv c, som er det samme som kvadratroden

0:00:28.170,0:00:30.480
af c i anden over 4.

0:00:30.480,0:00:32.910
Tager vi kvadratroden af det her, får vi en halv c.

0:00:32.910,0:00:36.270
Vi skriver kvadratroden af c i anden over 4 gange alt det her i stedet for at tegne rodtegnet.

0:00:36.270,0:00:41.450
.

0:00:41.450,0:00:48.200
Lad os sætte kopiere udtrykket ind her.

0:00:48.200,0:00:49.530
På den her tavle kan man heldigvis kopiere det,

0:00:49.530,0:00:53.040
man har skrevet.

0:00:53.040,0:00:55.610
.

0:00:55.610,0:00:57.160
Vi ganger det med alt det her.

0:00:57.160,0:01:01.160
Det skal vi selvfølgelig gange ud.

0:01:01.160,0:01:03.960
Vi har altså c i anden over 4 gange alt det her.

0:01:03.960,0:01:06.390
Nu skal vi lukke kvadratroden.

0:01:06.390,0:01:08.990
.

0:01:08.990,0:01:11.460
Nu ganger vi c i anden over 4 ud.

0:01:11.460,0:01:13.960
Det skal blive lig med kvadratroden.

0:01:13.960,0:01:15.940
Det her bliver en smule svært, men vi skal nok blive glade,

0:01:15.940,0:01:18.620
når det på et tidspunkt kommer til at

0:01:18.620,0:01:20.470
ligne noget så simpelt som Herons formel.

0:01:20.470,0:01:24.660
Kvadratroden af c i anden over 4 gange med a i anden

0:01:24.660,0:01:32.560
er lig med c i anden over 4 minus c i anden over 4.

0:01:32.560,0:01:35.270
Det her flytter vi bare rundt på.

0:01:35.270,0:01:37.600
Vi skriver det som tælleren i anden

0:01:37.600,0:01:39.060
over nævneren i anden.

0:01:39.060,0:01:44.090
Gange c i anden plus a i anden minus b

0:01:44.090,0:01:45.950
i anden i anden.

0:01:45.950,0:01:49.815
Hvis vi kvadrerer nævneren, får vi

0:01:49.815,0:01:52.790
4c i anden,

0:01:52.790,0:01:54.840
og så kan vi med det samme se, at c i anden og den her c i anden

0:01:54.840,0:01:55.600
udligner hinanden.

0:01:55.600,0:02:00.260
Vi lukker lige alle parenteserne her.

0:02:00.260,0:02:02.530
Vi har også de her 4 gange de her 4,

0:02:02.530,0:02:04.520
og det vil blive

0:02:04.520,0:02:06.490
det samme som 4 i anden.

0:02:06.490,0:02:08.850
Vi skriver altså 4 i anden

0:02:08.850,0:02:09.890
i stedet for at skrive 16.

0:02:09.890,0:02:11.880
Vi kan omskrive det her.

0:02:11.880,0:02:15.040
.

0:02:15.040,0:02:17.340
Det her vil være lig med kvadratroden

0:02:17.340,0:02:21.460
af c a over 2 i anden.

0:02:21.460,0:02:24.390
.

0:02:24.390,0:02:25.780
Det her er det samme som det her,

0:02:25.780,0:02:25.990
ikke sandt?

0:02:25.990,0:02:28.150
Vi skriver det som det hele i anden.

0:02:28.150,0:02:30.360
Vi sætter det her i anden, altså c i anden a i anden over 2 i anden

0:02:30.360,0:02:34.930
over 4 minus c i anden

0:02:34.930,0:02:36.520
plus a i anden

0:02:36.520,0:02:40.800
minus b i anden,

0:02:40.800,0:02:45.360
og det hele står over 4.

0:02:45.360,0:02:47.810
Vi sætter altså både nævner og tæller

0:02:47.810,0:02:51.410
i anden.

0:02:51.410,0:02:53.740
Det her ser en smule interessant ud.

0:02:53.740,0:02:56.120
Vi laver lige parenteserne i en anden farve.

0:02:56.120,0:03:00.775
Vi kan huske fra videoerne om faktorisering, at hvis vi

0:03:00.775,0:03:03.460
har noget på formen x i anden minus y i anden,

0:03:03.460,0:03:08.520
kan det faktoriseres til x plus y gange x minus y.

0:03:08.520,0:03:11.000
Den viden kommer vi til at bruge mange gange.

0:03:11.000,0:03:15.590
Hvis vi kan kalde c a over 2 for x, og vi kan kalde alt det herovre for y,

0:03:15.590,0:03:19.110
har vi x i anden minus y i anden,

0:03:19.110,0:03:20.390
og så kan vi faktorisere det.

0:03:20.390,0:03:27.966
Alt det her er altså lig med kvadratroden af

0:03:27.966,0:03:34.740
x plus y, eller i det her tilfælde er det c a over 2 plus y, som er

0:03:34.740,0:03:40.960
c i anden plus a i anden minus b i anden over 4.

0:03:40.960,0:03:44.020
Gange x minus y.

0:03:44.020,0:03:45.570
Det her er vores x.

0:03:45.570,0:03:51.370
c a over 2 minus alt der vi har herovre.

0:03:51.370,0:03:53.840
Eller endnu bedre kan vi bare skrive plus og så

0:03:53.840,0:03:54.680
skrive det negative.

0:03:54.680,0:04:01.980
Vi har plus minus c i anden minus a i anden plus b i anden.

0:04:01.980,0:04:05.140
Alt sammen over 4.

0:04:05.140,0:04:10.180
Det eneste vi gjorde her var at sige, at det her er det samme som det her

0:04:10.180,0:04:15.120
plus det her, det her plus det her, gange det her minus det her.

0:04:15.120,0:04:18.610
.

0:04:18.610,0:04:21.770
c i anden minus a i anden plus b i anden.

0:04:21.770,0:04:24.470
Det eneste vi har gjort er det lige her.

0:04:24.470,0:04:26.610
Nu vil vi gerne reducere det her,

0:04:26.610,0:04:28.870
eller, hvis vi kan, lægge de her brøker sammen.

0:04:28.870,0:04:30.680
Vi kan godt finde en fællesnævner.

0:04:30.680,0:04:35.650
c a over 2 er det samme som 2ca over 4.

0:04:35.650,0:04:38.910
c a over 2 er det samme som 2ca over 4, når vi

0:04:38.910,0:04:41.160
ganger både tæller og nævner med 2.

0:04:41.160,0:04:44.420
Nu kan vi lægge tællerne sammen.

0:04:44.420,0:04:49.540
Hele vores udtryk vil nu være lig med

0:04:49.540,0:04:55.645
kvadratroden af det første udtryk.

0:04:55.645,0:04:56.460
Vi kan skrive det sådan her.

0:04:56.460,0:05:07.820
Vi skriver c i anden plus 2ca plus a i anden minus b i anden,

0:05:07.820,0:05:11.820
alt sammen over 4.

0:05:11.820,0:05:13.900
Det her er vores første udtryk.

0:05:13.900,0:05:18.010
Nu til vores andet udtryk.

0:05:18.010,0:05:20.190
Først er alt det her over 4,

0:05:20.190,0:05:21.070
så det skriver vi lige med det samme.

0:05:21.070,0:05:21.965
Alt sammen over 4.

0:05:21.965,0:05:27.280
.

0:05:27.280,0:05:36.030
Det her kan vi skrive som b i anden minus c i anden

0:05:36.030,0:05:43.490
minus 2ca plus a i anden.

0:05:43.490,0:05:46.570
Bare for at være sikre, så har vi stadig minus a i anden her.

0:05:46.570,0:05:49.320
Plus gange minus. Det er stadig noget med minus a i anden.

0:05:49.320,0:05:51.420
Vi har plus 2ca herovre.

0:05:51.420,0:05:54.080
Minus gange minus. Det giver plus 2ca.

0:05:54.080,0:05:55.580
Her har vi minus c i anden.

0:05:55.580,0:05:57.170
Her har vi minus c i anden.

0:05:57.170,0:06:00.530
De her 2 svarer altså til hinanden.

0:06:00.530,0:06:04.630
Forhåbentlig kan vi genkende,

0:06:04.630,0:06:09.940
at det herovre

0:06:09.940,0:06:13.690
er det samme som c plus a i anden.

0:06:13.690,0:06:14.350
Vi skriver det lige.

0:06:14.350,0:06:20.860
Det her er lig med kvadratroden af det herovre,

0:06:20.860,0:06:29.940
c plus a i anden minus b i anden over 4.

0:06:29.940,0:06:31.480
Det er det første udtryk.

0:06:31.480,0:06:33.020
Nu det andet udtryk.

0:06:33.020,0:06:35.920
Det vi har her er det samme som c minus a i anden.

0:06:35.920,0:06:39.120
Det hele kan forkortes til b i anden

0:06:39.120,0:06:47.470
minus c minus a i anden, alt sammen over 4.

0:06:47.470,0:06:48.910
Nu kan vi se fremskridt.

0:06:48.910,0:06:51.830
Som vi tidligere fandt ud af, kan det her godt være en smule svært.

0:06:51.830,0:06:53.950
Men her har vi gjort godt brug af

0:06:53.950,0:06:57.320
faktorisering af polynomier, og nu ser vi, at den mærkelige ligning

0:06:57.320,0:07:00.160
er lavet om til en simplere ligning.

0:07:00.160,0:07:02.090
Nu kan vi bruge den samme fremgangsmåde,

0:07:02.090,0:07:04.770
når vi har noget i anden minus noget andet i anden.

0:07:04.770,0:07:07.310
.

0:07:07.310,0:07:08.500
Vi kan altså faktorisere det.

0:07:08.500,0:07:09.580
.

0:07:09.580,0:07:12.120
Det her er nu

0:07:12.120,0:07:14.040
lig med

0:07:14.040,0:07:15.310
kvadratroden.

0:07:15.310,0:07:20.000
Den her vil faktoriseres til det her plus det her.

0:07:20.000,0:07:29.510
Vi har nu c plus a plus b gange c plus a minus b,

0:07:29.510,0:07:29.850
ikke sandt?

0:07:29.850,0:07:32.030
Det er den samme fremgangsmåde, som vi brugte herovre.

0:07:32.030,0:07:34.470
Det her er x i anden, og det her er y i anden.

0:07:34.470,0:07:41.760
Det skal ganges med c plus a minus b, alt sammen over 4.

0:07:41.760,0:07:43.260
Nu har vi den her.

0:07:43.260,0:07:46.250
Den er b plus c minus a.

0:07:46.250,0:07:50.620
.

0:07:50.620,0:07:53.180
Vi ruller lige en smule ned.

0:07:53.180,0:07:59.030
Gange b plus c minus a,

0:07:59.030,0:08:02.640
gange b minus c minus a.

0:08:02.640,0:08:09.020
Det er det samme som b minus c plus a.

0:08:09.020,0:08:13.110
Det her er det samme som b minus c minus a,

0:08:13.110,0:08:14.140
ikke sandt?

0:08:14.140,0:08:14.570
Okay.

0:08:14.570,0:08:20.370
Alt sammen er over 4.

0:08:20.370,0:08:23.910
Nu kan vi omskrive hele udtrykket.

0:08:23.910,0:08:25.580
.

0:08:25.580,0:08:30.305
Vi kan omskrive hele udtrykket. 4 er

0:08:30.305,0:08:32.955
produktet af 2 gange 2.

0:08:32.955,0:08:36.380
.

0:08:36.380,0:08:40.620
Hele udtrykket for vores areal er nu, formentlig, blevet reduceret,

0:08:40.620,0:08:44.780
så det er lig med kvadratroden

0:08:44.780,0:08:50.560
af det lige her, som vi kan skrive som

0:08:50.560,0:08:55.780
a plus b plus c over 2.

0:08:55.780,0:08:57.690
Det er det led, vi har lige her.

0:08:57.690,0:09:00.640
Gange det her led.

0:09:00.640,0:09:02.480
Gange det det led.

0:09:02.480,0:09:05.340
Vi reducerer det lige.

0:09:05.340,0:09:13.200
c plus s minus b er det samme som a plus b plus c minus 2b.

0:09:13.200,0:09:14.490
De her 2 svarer til hinanden.

0:09:14.490,0:09:14.700
.

0:09:14.700,0:09:19.450
Vi har et a, vi har et c, og så b minus 2b,

0:09:19.450,0:09:22.510
som er lig med minus b.

0:09:22.510,0:09:24.750
b minus 2b er minus b.

0:09:24.750,0:09:29.690
Det næste led er lig med a plus b plus c

0:09:29.690,0:09:34.330
minus 2b, over 2.

0:09:34.330,0:09:36.240
Vi skriver det sådan her.

0:09:36.240,0:09:40.570
Over 2 minus det her over 2.

0:09:40.570,0:09:43.920
Nu til vores næste led.

0:09:43.920,0:09:46.180
Samme fremgangsmåde.

0:09:46.180,0:09:55.360
Det er det samme som a plus b plus c minus 2a,

0:09:55.360,0:09:56.500
alt sammen over 2.

0:09:56.500,0:09:56.770
.

0:09:56.770,0:09:59.960
Hvis vi tilføjer minus 2a til vores a, får vi minus a.

0:09:59.960,0:10:02.040
Vi får b plus c minus a.

0:10:02.040,0:10:03.820
De her er identiske.

0:10:03.820,0:10:06.950
Alt det her er over 2, eller vi kan dele nævnerne

0:10:06.950,0:10:09.130
sådan her over 2.

0:10:09.130,0:10:10.680
Nu til vores sidste led.

0:10:10.680,0:10:13.690
Vi kan allerede se reglen

0:10:13.690,0:10:16.500
fra Herons formel komme frem her.

0:10:16.500,0:10:19.570
.

0:10:19.570,0:10:23.050
Udtrykket lige her er præcis det samme som

0:10:23.050,0:10:27.570
a plus b plus c minus 2c.

0:10:27.570,0:10:27.860
.

0:10:27.860,0:10:31.200
Vi fjerner 2c fra c, og nu har vi minus c.

0:10:31.200,0:10:32.650
Vi har stadig a og b,

0:10:32.650,0:10:34.540
og det hele er over 2.

0:10:34.540,0:10:37.640
Vi kan skrive det her over 2 minus det her over 2.

0:10:37.640,0:10:39.600
Bagefter tager vi selvfølgelig kvadratroden

0:10:39.600,0:10:41.540
af det hele.

0:10:41.540,0:10:52.230
Hvis vi definerer et S til at være lig med a plus b plus c

0:10:52.230,0:10:55.560
over 2, skal den her ligning reduceres lidt.

0:10:55.560,0:10:57.800
Det vi har her er S.

0:10:57.800,0:11:00.130
Det her er S.

0:11:00.130,0:11:01.705
Det vi har her er S.

0:11:01.705,0:11:03.940
Det vi har her er også S.

0:11:03.940,0:11:07.720
De kan også reduceres.

0:11:07.720,0:11:12.030
Minus 2b over 2 er det samme som minus b.

0:11:12.030,0:11:14.880
Minus 2a over 2 er det samme som minus a.

0:11:14.880,0:11:17.100
Minus 2c over c er det samme som minus c.

0:11:17.100,0:11:23.590
Nu kan vi finde ligningen for hele vores areal.

0:11:23.590,0:11:24.620
Vi omskriver lige kvadratroden.

0:11:24.620,0:11:30.670
Rodtegnet, kvadratroden af S, er det, vi har lige her.

0:11:30.670,0:11:33.550
.

0:11:33.550,0:11:34.500
Vi laver det lige i nogle flotte farver.

0:11:34.500,0:11:46.890
Gange S minus b, gange det her er S minus a,

0:11:46.890,0:11:49.555
gange S minus c.

0:11:49.555,0:11:52.390
.

0:11:52.390,0:11:56.510
Vi har nu bevist, at Herons formel er den præcist samme ting,

0:11:56.510,0:11:59.410
som hvad vi beviste til sidst i den sidste video.

0:11:59.410,0:12:02.250
Det er ret sejt.

0:12:02.250,0:12:05.910
Det eneste vi skulle bruge var en smule indviklet algebra

0:12:05.910,0:12:08.150
for at bevise det.