0:00:00.830,0:00:03.000
這邊我有一個正方形

0:00:04.790,0:00:08.060
每個邊都等長就構成正方形

0:00:08.060,0:00:10.380
我還沒深入到角度方面，但是

0:00:10.380,0:00:12.520
這些都是直角

0:00:12.520,0:00:13.470
我會像這樣畫直角

0:00:13.470,0:00:16.760
它就表示底邊是左右直線

0:00:16.760,0:00:19.880
這個左側邊是上下的直線

0:00:19.880,0:00:22.210
那就是直角真正的意思

0:00:22.210,0:00:27.290
假設這個底邊是8公尺

0:00:27.290,0:00:28.540
就是這個邊

0:00:28.540,0:00:30.100
這是個正方形

0:00:30.100,0:00:35.980
然後請問正方形的面積是多少?

0:00:35.980,0:00:39.040
面積基本上就是正方形佔了多少空間

0:00:39.040,0:00:41.430
假設，現在在你的螢幕

0:00:41.430,0:00:46.040
所以，它基本上就是一個測量某件東西

0:00:46.040,0:00:49.110
在二度空間平面上佔了多少空間

0:00:49.110,0:00:52.170
一個二度空間平面就好像是這個電腦螢幕

0:00:52.170,0:00:55.530
或者你的一張紙，假如你正在做這個問題

0:00:55.530,0:00:58.680
一個比喻說，假設你有一個8公尺乘8公尺的房間

0:00:58.680,0:01:01.570
你需要多大的地毯，就好像你需要多大的空間尺寸

0:01:01.570,0:01:04.240
來填滿二度空間的

0:01:04.240,0:01:05.500
某個平面

0:01:05.500,0:01:09.750
所以，面積就是指你要填滿的尺寸有多大

0:01:09.750,0:01:11.980
對一個正方形來說

0:01:11.980,0:01:12.605
這很容易明白

0:01:12.605,0:01:15.830
它就是用你的底乘上你的高

0:01:15.830,0:01:18.570
這對任何長方形都是對的，但是既然這是個正方形

0:01:18.570,0:01:20.650
你的底跟你的高都是一樣的

0:01:20.650,0:01:22.340
都是8公尺

0:01:22.340,0:01:27.930
所以，面積就等於8公尺乘以8公尺

0:01:27.930,0:01:32.020
8乘以8等於64，然後你的公尺乘以公尺

0:01:32.020,0:01:34.580
你也必須對你的單位做一樣的事

0:01:34.580,0:01:37.200
你得到64公尺平方

0:01:37.200,0:01:40.860
或者換一種說法，這是64平方公尺

0:01:40.860,0:01:44.390
你可能會問，那64平方公尺在哪?

0:01:44.390,0:01:46.615
好，你可以在這邊把它解開

0:01:46.615,0:01:48.470
讓我來畫比我平常畫的

0:01:48.470,0:01:49.630
大一些

0:01:49.630,0:01:51.890
我可能應該要畫這麼大來開始說明

0:01:51.890,0:01:55.940
所以，假設說這是同一個正方形

0:01:55.940,0:01:58.100
我要畫一點東西，讓我把它

0:01:58.100,0:02:00.240
從中間分開

0:02:00.240,0:02:03.770
讓我想想，我們再次把它們分開

0:02:03.770,0:02:07.142
然後我們再把每一邊像剛剛那樣分開

0:02:07.142,0:02:08.410
我可能會做的工整點

0:02:08.410,0:02:10.930
讓我再做一次

0:02:10.930,0:02:16.840
將這些像剛剛那樣分開，然後將這些

0:02:16.840,0:02:19.010
像剛剛那樣分開

0:02:19.010,0:02:20.940
這是你要的

0:02:20.940,0:02:21.480
好

0:02:21.480,0:02:23.980
現在，我做這個的理由是為了讓你看到

0:02:23.980,0:02:27.030
底跟高的量度

0:02:27.030,0:02:30.650
我們說這是8公尺，注意我有1、2

0:02:30.650,0:02:34.610
3、4、5、6、7、8公尺

0:02:34.610,0:02:36.620
這邊也是一樣

0:02:36.620,0:02:42.050
1、2、3、4、5、6、7、8公尺

0:02:42.050,0:02:45.340
所以，當我們在說64平方公尺

0:02:45.340,0:02:47.520
就字面而言，我們是在數算每一個平方公尺

0:02:47.520,0:02:50.380
一平方公尺是一個二度空間的量度

0:02:50.380,0:02:51.780
它是每邊都1公尺

0:02:51.780,0:02:53.490
這邊是1公尺，這邊也是1公尺

0:02:53.490,0:02:56.480
我這邊畫黃色陰影的地方就是1平方公尺

0:02:56.480,0:02:59.030
你可以想像就是數算有幾個平方公尺

0:02:59.030,0:03:05.070
在每一列，我們有1、2、3、4、5、6

0:03:05.070,0:03:07.080
7、8平方公尺

0:03:07.080,0:03:08.610
然後我們有8列

0:03:08.610,0:03:11.200
所以我們有8乘以8平方公尺

0:03:11.200,0:03:12.760
或者64公尺平方

0:03:12.760,0:03:14.840
這基本上就是你坐在這邊，然後一個個數

0:03:14.840,0:03:19.050
你會數算出有64平方公尺

0:03:19.050,0:03:21.540
現在，如果我問你

0:03:21.540,0:03:24.690
我的正方形周長是多少?

0:03:28.000,0:03:30.620
周長就是你延著正方形周圍

0:03:30.620,0:03:31.950
繞一圈的距離

0:03:31.950,0:03:33.990
它不是測量，例如，你需要

0:03:33.990,0:03:35.070
多大的地毯

0:03:35.070,0:03:37.520
它是在測量，例如，如果你想要在你的地毯周圍

0:03:37.520,0:03:40.050
放一個柵欄，我有點把室內及室外的比喻搞混

0:03:40.050,0:03:42.400
它就是你需要多少距離的

0:03:42.400,0:03:43.110
柵欄

0:03:43.110,0:03:46.210
所以，它就是圍一圈的距離

0:03:46.210,0:03:48.950
所以，它就是那個距離加那個距離加那個距離

0:03:48.950,0:03:50.980
再加那個距離

0:03:50.980,0:03:53.830
但是，我們已經知道這個底邊的距離

0:03:53.830,0:03:58.020
我們已知這個距離是8公尺

0:03:58.020,0:04:01.480
我們也知道這個高是8公尺

0:04:01.480,0:04:02.180
它是個正方形

0:04:02.180,0:04:04.570
這邊的距離就等於下面這邊的距離

0:04:04.570,0:04:07.710
它也是8公尺

0:04:07.710,0:04:09.450
當你看左側邊

0:04:09.450,0:04:11.380
它也是8公尺

0:04:11.380,0:04:15.670
我們有四個邊 - 1、2、3、4 - 每一個都是8公尺

0:04:15.670,0:04:18.660
所以你把8加四次，就等於8乘以4

0:04:18.660,0:04:21.070
你得到36公尺 [其實是32]

0:04:21.070,0:04:25.050
現在注意，當我們只測量柵欄的長度

0:04:25.050,0:04:28.530
我們的答案只有公尺

0:04:28.530,0:04:30.680
只是一度空間的測量

0:04:30.680,0:04:33.080
那是因為我們並非在測量平方公尺

0:04:33.080,0:04:35.310
我們並非在測量有多大的面積

0:04:35.310,0:04:38.560
我們在測量距離 - 一個繞一圈的距離

0:04:38.560,0:04:40.920
我們轉了幾個彎，但你可以想像把這個柵欄拉直

0:04:40.920,0:04:44.570
它會變成像一個大柵欄

0:04:44.570,0:04:48.160
總共是36公尺長 [其實是32]

0:04:48.160,0:04:51.010
所以，那就是為什麼我們是用公尺來表示周長

0:04:51.010,0:04:53.640
但是，我們用平方公尺來表示面積，因為我們是在計算

0:04:53.640,0:04:56.220
二度空間的測量

0:04:56.220,0:04:58.840
現在，讓我們來做一點更有趣的

0:04:58.840,0:05:02.070
假設現在不是正方形，而是

0:05:02.070,0:05:05.780
像這樣的長方形呢?

0:05:09.700,0:05:15.280
假設這個邊是7公分

0:05:15.280,0:05:23.170
假設這個高是4公分

0:05:23.170,0:05:25.845
所以，這個長方形的面積是多少?

0:05:25.845,0:05:28.280
就是7乘以4公分

0:05:28.280,0:05:31.490
7公分乘以4公分

0:05:31.490,0:05:36.390
記住，我們可以畫7行，然後每一行都是

0:05:36.390,0:05:39.540
4平方公分，這些每一個都是

0:05:39.540,0:05:40.380
1平方公分

0:05:40.380,0:05:42.360
所以，假設你把它們數一遍，你會得到

0:05:42.360,0:05:44.170
7乘以4平方公分

0:05:44.170,0:05:45.140
它是4公分

0:05:45.140,0:05:50.390
所以，答案是28公分平方或平方公分

0:05:50.390,0:05:51.070
周長是多少呢?

0:05:55.260,0:05:58.660
它會等於下面這個邊長，也就是7公分

0:05:58.660,0:06:03.670
加上這個邊長4公分

0:06:03.670,0:06:07.480
加上上面這個邊長，這是個長方形

0:06:07.480,0:06:09.170
所以，它會等於

0:06:09.170,0:06:10.440
下面這個邊的邊長

0:06:10.440,0:06:13.170
所以加上另一個7公分

0:06:13.170,0:06:16.300
然後，你要加上左側這個邊

0:06:16.300,0:06:18.870
但是，左側這個邊長就等於

0:06:18.870,0:06:21.810
右邊這個邊長 - 這也是4公分

0:06:21.810,0:06:24.450
所以，再加上另一個4公分

0:06:24.450,0:06:25.450
然後，你得到多少?

0:06:25.450,0:06:27.570
你得到7加4等於11，然後你得到另一個

0:06:27.570,0:06:29.020
7加4

0:06:29.020,0:06:33.020
你得到11加11，所以答案是22公分

0:06:33.020,0:06:36.300
再說一次，它不是平方公分

0:06:36.300,0:06:42.300
現在讓我們改做別的 - 讓我們離開長方形的類似題

0:06:42.300,0:06:43.760
或者我們的長方形例題

0:06:43.760,0:06:46.930
所以，來試試是否可以用同樣的原則做三角形的題目

0:06:46.930,0:06:49.940
假設我有一個三角形

0:06:49.940,0:06:52.100
我有一個像這樣的三角形

0:06:54.990,0:06:58.720
假設這個邊長

0:06:58.720,0:06:59.760
讓我把它畫成這樣

0:06:59.760,0:07:02.210
我想這樣會對你比較容易

0:07:02.210,0:07:04.550
看看它如何與長方形有關

0:07:04.550,0:07:05.810
讓我把它畫成這樣

0:07:09.360,0:07:09.810
就是這樣

0:07:09.810,0:07:11.300
那是我的三角形

0:07:11.300,0:07:14.510
假設這個底邊是

0:07:14.510,0:07:17.210
7公分

0:07:17.210,0:07:21.090
假設這個三角形的高是

0:07:21.090,0:07:23.520
4公分

0:07:23.520,0:07:26.160
我要問你，這個三角形的面積是多少?

0:07:33.690,0:07:36.590
當我們有一個像這樣的三角形

0:07:36.590,0:07:38.660
我們只要用7乘以4

0:07:38.660,0:07:39.600
但是，這會得到什麼?

0:07:39.600,0:07:42.610
它會得到整個長方形的面積

0:07:42.610,0:07:44.610
如果我們用7乘以4，我們會得到

0:07:44.610,0:07:46.050
整個長方形的面積

0:07:46.050,0:07:49.640
你可以想像把三角形像這樣延伸

0:07:49.640,0:07:51.880
這是個直角三角形 - 這是上下的直線

0:07:51.880,0:07:54.420
這是左右的直線

0:07:54.420,0:07:55.910
在下面這邊

0:07:55.910,0:07:58.910
它是90度角，假如你已經知道

0:07:58.910,0:08:00.040
角度的觀念

0:08:00.040,0:08:03.460
所以，你幾乎可以將它視為1/2個長方形

0:08:03.460,0:08:04.610
不是幾乎，它就是1/2

0:08:04.610,0:08:07.580
因為假設你把這個乘以2，你可以想像

0:08:07.580,0:08:12.190
假如你把這個三角形翻轉，你可以得到相同的三角形

0:08:12.190,0:08:14.910
但它只是上下相反，翻過去而已

0:08:14.910,0:08:17.650
所以，假如你用7乘以4，你會得到

0:08:17.650,0:08:25.140
整個長方形的面積，這是你

0:08:25.140,0:08:26.800
剛剛在上面做的

0:08:26.800,0:08:30.210
但是，我們想要知道的是三角形的面積

0:08:30.210,0:08:33.190
我們想知道的是這一塊區域的面積

0:08:33.190,0:08:36.290
你可以看到，希望從這個畫裡面得知

0:08:36.290,0:08:39.390
這個三角形就剛好等於整個長方形

0:08:39.390,0:08:40.990
面積的1/2

0:08:40.990,0:08:47.040
所以，三角形的面積等於底乘以高

0:08:47.040,0:08:50.490
現在到目前為止，底乘以高是

0:08:50.490,0:08:52.150
整個長方形的面積

0:08:52.150,0:08:53.755
所以為了得到三角形的面積

0:08:53.755,0:08:55.910
你得把它乘以1/2

0:08:55.910,0:08:58.160
所以1/2 底乘以高

0:08:58.160,0:09:04.320
所以，在我們的例題，就是1/2乘以7公分

0:09:04.320,0:09:07.020
乘以4公分

0:09:07.020,0:09:10.780
我們知道7乘以4是多少

0:09:10.780,0:09:13.880
我們已經知道它是28平方公分

0:09:13.880,0:09:15.710
我們在上面做過了

0:09:15.710,0:09:19.050
所以，這邊就是28平方公分

0:09:19.050,0:09:22.070
我們想要把它乘以1/2

0:09:22.070,0:09:26.720
所以，答案就是14平方公分

0:09:26.720,0:09:29.950
所以，這個三角形的面積就等於

0:09:29.950,0:09:31.700
1/2長方形的面積

0:09:31.700,0:09:35.670
現在，這個三角形的周長

0:09:35.670,0:09:43.380
變得有點複雜，因為知道這個邊的邊長

0:09:43.380,0:09:45.320
不是世界上最容易的事

0:09:45.320,0:09:47.965
好，它會變得容易當你知道

0:09:47.965,0:09:48.870
畢氏定理

0:09:48.870,0:09:50.290
但是，我現在要跳過這部分

0:09:50.290,0:09:54.010
我要把它留給畢氏定理的影片

0:09:54.010,0:09:58.450
讓我們再做一題三角形的面積問題

0:09:58.450,0:10:00.120
假設我有一個像這樣的三角形

0:10:00.120,0:10:03.190
這是個很特別的例子，我將它畫得

0:10:03.190,0:10:04.520
像半個長方形

0:10:04.520,0:10:07.220
假設我們有一個像這樣的三角形

0:10:07.220,0:10:11.650
它像這樣比較斜一點

0:10:11.650,0:10:19.346
假設下面這個邊長為3公尺

0:10:19.346,0:10:21.950
這個邊長是3公尺

0:10:21.950,0:10:25.230
假設我們不知道這個邊長是多少

0:10:25.230,0:10:26.570
我們不知道這個邊長是多少

0:10:26.570,0:10:30.660
但是，我們知道如果我們像這樣畫一條直線下來

0:10:30.660,0:10:32.670
假如你想像這是個建築或是

0:10:32.670,0:10:34.760
某種山，而你像這樣直直的落下某個東西

0:10:34.760,0:10:38.850
到地上，我們知道這個邊長等於

0:10:38.850,0:10:43.770
假設它等於4公尺

0:10:43.770,0:10:46.140
所以，這個三角形的面積是多少?

0:10:50.420,0:10:52.910
好，我們可以套用同樣的公式

0:10:52.910,0:10:57.170
面積就等於1/2的底乘以高

0:10:57.170,0:11:00.490
所以，它等於1/2 - 底就字面上而言就是

0:11:00.490,0:11:02.260
這個三角形的底邊

0:11:02.260,0:11:07.380
所以，1/2乘以3乘以這個三角形的高

0:11:07.380,0:11:08.740
我想一個比較好理解的方式是

0:11:08.740,0:11:10.570
這個三角形的高度

0:11:10.570,0:11:12.760
所以，這個高甚至不在三角形裡面，但是

0:11:12.760,0:11:13.820
它真的就是三角形的高

0:11:13.820,0:11:15.850
如果你想像這是個建築，你說這個建築有多高

0:11:15.850,0:11:18.360
它就是這邊這個高

0:11:18.360,0:11:20.395
所以，1/2乘以3乘以4

0:11:20.395,0:11:22.880
你用這邊這個邊長

0:11:22.880,0:11:27.860
就等於3乘以4等於12，再乘以1/2，就等於6

0:11:27.860,0:11:30.830
我們要處理平方公尺

0:11:30.830,0:11:34.140
我真的很想強調這個觀念，因為如果我給你一個

0:11:34.140,0:11:40.000
像這樣的三角形，它的底邊是3公尺

0:11:40.000,0:11:44.250
然後，這個邊長是4公尺

0:11:44.250,0:11:50.930
這不是某個你可以

0:11:50.930,0:11:52.820
運用這個公式來計算出來的題目

0:11:52.820,0:11:54.790
事實上，你需要知道某些角度

0:11:54.790,0:11:56.840
才能計算出面積，或者你需要知道

0:11:56.840,0:11:58.350
另一邊才可以

0:11:58.350,0:12:02.480
所以，這不是容易的

0:12:02.480,0:12:05.890
你需要知道三角形的

0:12:05.890,0:12:06.720
高度或者是高

0:12:06.720,0:12:07.900
你需要知道這個邊長

0:12:07.900,0:12:11.330
在這一題，高是其中一邊，但在這一題

0:12:11.330,0:12:12.290
高不是其中一邊

0:12:12.290,0:12:15.840
你需要了解右手邊這個邊

0:12:15.840,0:12:19.590
是為了套用這個公式