У нас есть квадрат. Вот такой.
Это квадрат, потому что у него все стороны равны.
Я здесь не очень хорошо прорисовал углы.
Все углы здесь прямые.
Нижняя сторона идёт прямо влево и вправо,
а боковая – прямо вверх и вниз.
Вот что значит прямой угол.
Скажем, что нижняя сторона равна 8 метрам.
Эта сторона. Не забываем, это квадрат.
И теперь давайте найдём его площадь.
Площадь, грубо говоря, показывает,
как много места занимает фигура, допустим, на вашем экране.
Т.е. на самом деле – это способ исчисления того,
как много места что-либо занимает,
для двухмерного пространства.
Двухмерное пространство – это, к примеру,
поверхность нашего экрана или лист бумаги,
если вы зарисовываете сейчас то,
что я рассказываю.
Например, как много коврового покрытия
вам бы понадобилось в комнату
размером 8 на 8 метров,
чтобы покрыть весь пол в комнате.
Т.е. двухмерное пространство –
это своего рода плоскость.
Итак, площадь в данном случае показывает,
сколько закрашенного места здесь.
Посчитать это для квадрата очень просто.
Необходимо умножить имеющуюся высоту на ширину,
это будет справедливо для любого прямоугольника.
Но так как это квадрат,
то длина и ширина у нас получается одинаковая.
И составляет она 8 метров.
Итак, искомая площадь составит:
8 метров умножить на 8 метров, 8*8=64,
и т.к. метры умножаются на метры
(это же справедливо и для других единиц исчисления),
получаем 64 метра квадратных.
Вы можете спросить,
где же помещаются эти 64 м²?
Сейчас рассмотрим.
Давайте я нарисую квадрат побольше.
Наверное, нужно было сразу нарисовать большой.
Скажем, что этот квадрат – тот же самый.
Давайте разделим его посередине.
И ещё поделим пополам.
И каждую часть еще разделим.
Мне бы следовало, конечно же,
поаккуратнее рисовать.
И ещё раз повторим нашу процедуру.
Эти разделим вот так,
а эти разделим вот так.
Почему я это сделал?
Я хотел показать вам размеры высоты и ширины.
Мы знаем, что сторона – 8 метров.
Заметьте, у меня здесь 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
И здесь то же самое, 8 метров.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 метров.
Когда мы говорим о 64 м²,
мы на самом деле считаем
каждый маленький квадратный метр.
Квадратный метр – это двухмерное измерение
с 1 метром с каждой стороны.
Здесь 1 метр и здесь 1 метр.
То, что я только что закрасил жёлтым цветом –
это 1 квадратный метр.
И вы можете просто пересчитать
такие квадратные метры.
В каждом ряду у нас таких
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 метров.
И у нас есть 8 столбцов.
Т.е. у нас получается:
8 умножить на 8 м², или 64 м².
Что на самом деле составляет,
если вы сидели и считали все по одному,
те же 64 м².
А теперь давайте посчитаем периметр нашего квадрата.
Периметр – это расстояние,
которое вы должны пройти
вокруг квадрата по его сторонам.
Периметр не показывает, например,
как много коврового покрытия вам нужно.
Периметр нужен для того, чтобы построить,
например, забор вокруг своего ковра.
Я сейчас смешиваю понятия,
которые мы используем внутри дома и на улице.
Но! периметр покажет,
сколько метров забора нам необходимо.
Т.е. это будет сумма всех сторон квадрата.
Но мы-то уже знаем, что эта сторона
внизу равна 8 метров.
И также знаем, что высота у нас тоже 8 метров.
Это ведь квадрат.
Это расстояние и это расстояние одинаковы,
все по 8 метров.
И сторона слева тоже равна 8 метров.
У нас 4 стороны, и каждая из них - по 8 метров.
Т.е. мы прибавляем 8 к самой себе 4 раза.
Это то же самое, что 8*4=32 метра.
Заметьте, когда мы измеряем,
как много забора нам необходимо,
у нас всё остаётся в метрах.
Мы остались в одномерной системе исчисления.
Это всё потому,
что мы не считаем здесь квадратные метры.
Мы не считаем, сколько мы занимаем площади.
Мы меряем расстояние,
расстояние, по которому мы обходим квадрат.
Вы можете представить, что мы поворачиваем,
когда идём вдоль забора.
Если мы выравняем забор, получим прямую,
которая по длине будет равна те же 32 метра.
Вот почему для периметра
у нас получаются просто метры.
Но для площади у нас получаются
квадратные метры, т.к. мы считаем
в двухмерном пространстве.
Теперь давайте займёмся более интересным.
Что случится,
если мы заменим квадрат на прямоугольник?
Пусть эта сторона - 7 см, ширина, а высота - 4 см.
Какова площадь нашего прямоугольника?
7 раз по 4, 4*7.
Помните, мы можем нарисовать 7 столбцов,
и каждый из них будет содержать 4 см².
Т.е. для того, чтобы все их посчитать,
берем 7 раз по 4 см². Получаем 28 см².
А каков будет периметр?
Он равняется этому расстоянию внизу, 7 см,
плюс это расстояние справа, 4 см,
плюс расстояние сверху, 7 см,
(но т.к. это прямоугольник,
значит расстояние верхнее равно нижнему),
т.е. ещё раз плюс 7 см.
И у нас остаётся расстояние слева,
но оно такое же, как и справа.
Это тоже 4 см, значит плюс 4 см.
И что получаем? У нас:
7+4=11 и ещё раз 7+4.
11 плюс 11 - получаем 22 см.
Напоминаю, это не квадратные сантиметры!
Давайте отвлечёмся,
уйдём от наших прямоугольников.
Посмотрим, как мы сможем решить задачу
для треугольников.
Допустим, у меня есть треугольник.
Вот такой треугольник.
Скажем, что это расстояние,
хотя нет, давайте я по-другому зарисую,
мне кажется, так будет более понятно,
что это всё относится к треугольнику.
Это наш треугольник.
Скажем, что это расстояние – 7 см.
Высота данного треугольника – 4 см.
Какова площадь нашего треугольника?
Когда у нас был такой же прямоугольник,
мы просто перемножили 7 на 4.
И что нам это дало?
Это дало нам площадь целого прямоугольника.
Если мы перемножим 7 на 4,
то у нас получится площадь
вот такого целого прямоугольника.
Который я сейчас дорисовываю.
Это правильный треугольник,
здесь прямые вертикальные,
и прямые горизонтальные.
Угол 90°.
Если вы уже ознакомились
с уроками про углы, вы поймёте.
Т.е. нам уже видно, что это ½ прямоугольника.
И это так и есть.
Потому что если вы просто
дорисуете такой же треугольник,
как бы переворачивая его,
то получите такой же треугольник,
только перевёрнутый.
Когда вы умножаете 7 на 4,
вы получаете площадь целого прямоугольника.
Мы её только что вычислили.
Но нам нужна площадь треугольника.
Нам нужна только эта площадь.
Мы видим из нашего рисунка,
что площадь треугольника равна в точности
половине площади прямоугольника.
Т.е. площадь треугольника -
давайте ее обозначим буквой "А"
(от английского "Area") -
равна основанию -
(обозначим его буквой "b") -
умноженному на высоту h.
Для того, чтобы получить треугольник,
мы берем половину,
т.е. ½ от высоты, умноженной на основание.
В нашем случае ½74 см.
Мы уже знаем сколько будет 7 на 4.
Мы знаем, что это равно 28 см².
И мы хотим умножить это на ½.
У нас получается: 28*½=14 см².
Т.е. площадь данного треугольника –
это в точности ½ от
площади этого прямоугольника.
Теперь…
Периметр для данного треугольника
будет посчитать немного тяжелее,
т.к. нам нужно будет вычислить
вот это расстояние.
Посчитать это расстояние не так уж и просто.
Хотя это будет довольно легко для вас,
когда вы поймёте,
как использовать теорему Пифагора.
Но сейчас мы проскочим этот момент.
Я оставлю эту часть
для видео про теорему Пифагора.
Давайте пока посчитаем
ещё одну площадь треугольника.
Давайте нарисуем треугольник,
который будет выглядеть следующим образом…
На самом деле, он не всегда же выглядит,
как составная часть прямоугольника.
Пусть у нас будет треугольник,
который похож на вот этот.
Немного более скошенный.
И скажем, что это сторона 3 метра.
Здесь 3 метра.
И скажем, что мы не знаем,
чему равна эта и эта сторона.
Но мы знаем, что если бы мы провели перпендикуляр -
если вы представите здание или гору,
мы бы просто бросили что-то прямо вниз на землю -
это и был бы тогда перпендикуляр. Так вот,
мы знаем, что это расстояние равно 4 метрам.
Это расстояние равно 4 метра.
Чему равна площадь такого треугольника?
Мы применяем ту же формулу.
Площадь равна половине
произведения высоты на основание.
Основание – это вот эта сторона.
Т.е. ½ умножить на 3
и умножить на высоту треугольника.
Назовём это высотой.
Эта штука даже не расположена внутри треугольника,
но на самом деле – это его высота.
Если бы это было здание, вы бы представили,
что это его высота.
Итак, ½34.
Мы используем это расстояние.
Все это равно: 34=12½, и мы получаем 6 м².
Мы имеем дело с квадратными метрами.
Я хочу, чтобы вы запомнили это правило.
Если бы был вот такой треугольник,
и я бы сказал, что эта сторона равна 3 метра,
а эта сторона равна 4 метрам.
Это был бы другой случай,
здесь бы вы не могли просто взять посчитать и подставить эту формулу.
Нам бы следовало знать хотя бы углы,
иначе мы не сможем точно просчитать площадь,
зная только вторую сторону.
Так что это не так просто.
Непросто это!
Нам необходимо знать,
чему равна высота треугольника.
А не эта сторона.
В нашем случае высотой была одна из сторон,
но в этом – это не сторона.
Вам нужно посчитать, чему равна высота,
чтобы впоследствии применить формулу.