Her har vi et kvadrat.
Det, der gør, at det er et kvadrat, er at alle siderne er lige lange.
Vi har ikke snakket så meget om vinkler endnu, men de kanter her er vinkelrette på hinanden.
Det tegner vi sådan.
Det betyder, at hvis den her nederste kant går lige mod venstre og højre,
så går den her venstre kant lige op og ned.
Det er bare det, retvinklet betyder.
Lad os sige, at sidelængden hernede er 8 meter.
Den side her i kvadratet.
Vi bliver nu spurgt, hvad kvadratets areal er.
Arealet er, hvor meget plads der er inde i kvadratet,
eller hvor meget den fylder for eksempel her på skærmen lige nu.
Det er en måde at måle, hvor meget plads noget fylder i to dimensioner, altså på en overflade.
En todimensionel overflade er for eksempel den her computerskærm eller et stykke papir,
hvis man selv skriver opgaven ned.
En anden måde at se det for sig er et værelse, som er 8 meter gange 8 meter.
Hvor meget gulvtæppe skal vi bruge til at dække gulvet?
Arealet er bogstaveligt talt størrelsen, der udfyldes.
Det er meget let at regne ud for en kvadratisk firkant.
Det er bredden gange højden.
Det gælder for enhver rektangel, men da det her er en kvadratisk firkant, er bredden og højden ens.
De er 8 meter.
Arealet er 8 meter gange 8 meter.
8 gange 8 er 64, og derefter meter gange meter.
Vi skal også gange enhederne.
Vi får 64 meter i anden.
En anden måde at sige det er 64 kvadratmeter.
Hvor er de 64 kvadratmeter?
Vi kan faktisk fordele dem her.
Lad os gøre det en lille smule større end den oprindelige tegning.
Det er den samme kvadrat som før.
Vi tegner lige lidt.
Vi deler den på midten.
Vi deler den igen.
Vi deler hver side igen på den måde.
Lad os gøre det en gang til.
Vi opdeler dem
på den måde.
Sådan.
Grunden til vi gjorde det her er, at vi så kan se dimensionerne langs bredden og højden.
Det her er 8 meter, og læg mærke til, at vi har
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 meter.
Det samme langs den her side.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 meter.
Når vi taler om 64 kvadratmeter,
tæller vi faktisk bare hver af de her kvadratmeter.
Kvadratmeter er et todimensionelt mål.
Det er 1 meter på hver side.
Der er 1 meter, og der er 1 meter.
Det gule her er 1 kvadratmeter.
Man kan tælle kvadratmeterne.
I hver række har vi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 kvadratmeter.
Vi har 8 rækker.
Vi har altså 8 gange 8 kvadratmeter
eller 64 meter i anden.
Hvis vi bare talte hver af felterne, ville vi tælle til 64 kvadratmeter.
Nu bliver vi så bedt om at finde omkredsen af kvadratet. Perimeter betyder omkreds.
Omkredsen er den afstand, man skal gå for at komme hele vejen omkring kvadratet.
Det er ikke et mål for for eksempel hvor meget gulvtæppe, vi har brug for.
Omkredsen måler for eksempel, hvis vi ville sætte et hegn omkring tæppet.
Det er, hvor meget hegn man behøver.
Det ville være afstanden omkring.
Det ville være den afstand her plus den afstand plus den afstand plus den afstand.
Vi kender allerede afstanden lige her i bunden.
Vi ved allerede, at den afstand er 8 meter.
Vi ved også, at højden her er 8 meter, fordi det er et kvadrat.
Den afstand heroppe vil være den samme som den her afstand hernede. Det er 8 meter mere.
Derefter siden nederst til venstre. Det er 8 meter mere.
Vi har 4 sider. 1, 2, 3, 4. Hver af dem er 8 meter.
Vi lægger 8 til sig selv 4 gange.
Det er det samme som 8 gange 4, så vi får 32 meter.
Da vi målte længden af hegnet, endte vi med enheden meter.
Det er et endimensionelt mål.
Det er fordi, vi ikke måler kvadratmeter her.
Vi måler ikke, hvor stort arealet er.
Vi måler en afstand, nemlig afstanden omkring kvadratet.
Vi drejer om hjørnerne, men vi kan forestille os, at vi retter hegnet ud,
og så bliver det bare et stort langt hegn som det her,
som ville have den samme længde på 32 meter.
Derfor har vi bare enheden meter for omkredsen.
For arealet vi fik kvadratmeter, fordi vi tæller de er todimensionelle måleenheder.
Lad os nu gøre det lidt mere interessant.
Hvad sker der, hvis vi i stedet for et kvadrat har et rektangel som den her?
Lad os gå ud fra, at den her side er 7 centimeter lang, og at højden her er 4 centimeter.
Hvad er så arealet af rektanglet?
Det er 7 centimeter gange 4 centimeter.
7 centimeter gange 4 centimeter.
Husk, at vi kunne tegne 7 rækker til højre, og hver af dem er 4 kvadratcentimeter.
Hver af de her er 1 kvadratcentimeter.
Hvis vi ville tælle dem alle, ville vi finde 7 gange 4 kvadratcentimeter.
Det er 4 centimeter.
Det er altså lig med 28 centimeter i anden eller kvadratcentimeter.
Hvad er omkredsen?
Det vil være lig med den afstand hernede,
som er 7 centimeter, plus den afstand herovre, som er 4 centimeter ,
plus afstanden øverst.
Det er et rektangel, så det er den samme afstand som den herovre.
Plus 7 centimeter mere.
Derefter har vi den her afstand på venstre side.
Den her afstand på venstre side er det samme som den afstand her. Det er også 4 centimeter,
så plus 4 centimeter mere.
Hvad får vi så?
Vi får 7 plus 4, det er 11, og så har vi
7 plus 4 mere.
Vi har 11 plus 11, så vi har 22 centimeter.
Det er ikke kvadratcentimeter. Det er bare centimeter.
Lad os tage noget helt andet nu. Lad os gå væk fra vores snak om rektanglerne
og vores eksempler med rektangler.
Lad os se, om vi kan gøre det samme med trekanter.
Vi har nu en trekant her.
Vi har en trekant som den her.
Lad os tegne det sådan her.
Det bliver måske lidt lettere
at se, hvordan det er relateret til et rektangel.
Sådan. Det er vores trekant.
Lad os sige, at den afstand lige her er 7 centimeter.
Lad os sige, at højden af den her trekant er 4 centimeter.
Vi bliver spurgt, hvad arealet af trekanten er.
Da vi havde et rektangel som den her,
gangede vi bare. 7 gange 4.
Hvad betyder det?
Det ville give os arealet af et helt rektangel.
Hvis vi tog 7 gange 4, ville det give os arealet af hele den her rektangel.
Vi kan forestille os, at vi udvidede trekanten sådan her.
Det er en ligesidet trekant. Den går lige op og ned,
og den her går lige til venstre og højre.
Det er en vinkel på 90 grader.
Vi kan faktisk næsten se det som halvdelen af det her rektangel.
Det er ikke næsten, det er faktisk helt præcist halvdelen.
Hvis vi flytter den her trekant herover,
får vi den samme trekant, men den er bare vendt på hovedet eller spejlvendt.
Vi tænker på, at 7 gange 4 giver hele arealet af det her rektangel,
som vi lige gjorde før for rektanglet.
Nu vil vi gerne bestemme arealet af trekanten.
Vi vil gerne kende arealet af det her område lige her.
Man kan forhåbentlig se fra den her tegning,
at arealet af den her trekant er præcis halvdelen af arealet af hele rektanglet.
Arealet for en trekant er altså lig med bredden gange højden gange en halv.
Bredden gange højden var arealet af et rektangel,
men for at finde arealet af trekanten, ganger vi med en halv.
Det er en halv bredde gange højden.
I vores eksempel bliver det en halv gange 7 centimeter gange 4 centimeter.
Vi ved, hvad 7 gange 4 er.
Vi ved allerede, at det er 28 centimeter.
Vi regnede det ud lige før.
Det her er 28 centimeter.
Vi skal nu gange med en halv.
Det er 14 centimeter. Sådan.
Arealet af trekanten er præcis halvdelen af af arealet af rektanglet.
Omkredsen af trekanten er lidt sværere at finde,
for det er ikke helt nemt at finde den her længde.
Det bliver dig nemt, når vi har lært om Pythagoras' sætning.
Det springer vi over lige nu.
Det ser vi på i en video om Pythagoras' sætning.
Lad os i stedet tage et eksempel mere med arealet af en trekant.
Det første her var et specialtilfælde, som vi tegnede
for at få det til at ligne halvdelen af et rektangel.
Nu går vi ud fra, at vi har en trekant, der ligner den her.
Den ser lidt mere skæv ud.
Lad os sige, at den afstand hernede er 3 meter.
Afstanden her er 3 meter.
Vi kender ikke de her 2 afstande.
Hvis vi tegner en lige linje lige ned som den her
og forestiller os, at det er en bygning eller et bjerg,
og vi bare slipper noget lige ned på jorden som her,
ved vi, at den her afstand er lig med 4 meter.
Hvad er arealet af trekanten?
Vi anvender den samme formel.
Arealet er lig med en halv bredde gange højden.
Bredden er den her afstand.
En halv gange 3 gange højden på trekanten.
Den her er slet ikke inde i trekanten, men det er stadig højden.
Hvis vi forestiller os, at det her er en bygning, hvor høj er bygningen så?
Det ville være den højde dér.
En halv gange 3 gange 4.
Det er den afstand dér, som vi bruger.
Hvad er det lig med? 3 gange 4 er 12. 12 gange en halv er lig med 6.
Det er målt i kvadratmeter.
Hvis trekanten så sådan her ud,
hvor det her var 3 meter ned her,
og den her side er 4 meter,
kan vi ikke bruge formlen til at regne på den.
Faktisk skulle man kende nogle af vinklerne og alt muligt for at kunne udregne arealet,
eller man skulle kende længden på den side her.
Det er ikke så let.
Vi bliver nødt til at vide, hvad højden af trekanten er.
Vi skal kende den her afstand.
I det her tilfælde var det en af siderne,
men i det her tilfælde er det ikke en af siderne.
Vi skal vide, hvad højden der til højre er for at kunne bruge den her formel.