1
00:00:00,368 --> 00:00:03,000
Her har vi et kvadrat.

2
00:00:04,790 --> 00:00:08,060
Det, der gør, at det er et kvadrat, er at alle siderne er lige lange.

3
00:00:08,060 --> 00:00:12,410
Vi har ikke snakket så meget om vinkler endnu, men de kanter her er vinkelrette på hinanden.

4
00:00:12,520 --> 00:00:13,470
Det tegner vi sådan.

5
00:00:13,470 --> 00:00:16,760
Det betyder, at hvis den her nederste kant går lige mod venstre og højre,

6
00:00:16,760 --> 00:00:19,880
så går den her venstre kant lige op og ned.

7
00:00:19,880 --> 00:00:22,210
Det er bare det, retvinklet betyder.

8
00:00:22,210 --> 00:00:27,290
Lad os sige, at sidelængden hernede er 8 meter.

9
00:00:27,290 --> 00:00:29,924
Den side her i kvadratet.

10
00:00:30,100 --> 00:00:35,980
Vi bliver nu spurgt, hvad kvadratets areal er.

11
00:00:35,980 --> 00:00:39,040
Arealet er, hvor meget plads der er inde i kvadratet,

12
00:00:39,040 --> 00:00:41,430
eller hvor meget den fylder for eksempel her på skærmen lige nu.

13
00:00:41,430 --> 00:00:48,993
Det er en måde at måle, hvor meget plads noget fylder i to dimensioner, altså på en overflade.

14
00:00:49,110 --> 00:00:53,108
En todimensionel overflade er for eksempel den her computerskærm eller et stykke papir,

15
00:00:53,170 --> 00:00:55,530
hvis man selv skriver opgaven ned.

16
00:00:55,530 --> 00:00:58,680
En anden måde at se det for sig er et værelse, som er 8 meter gange 8 meter.

17
00:00:58,680 --> 00:01:05,430
Hvor meget gulvtæppe skal vi bruge til at dække gulvet?

18
00:01:05,500 --> 00:01:10,903
Arealet er bogstaveligt talt størrelsen, der udfyldes.

19
00:01:10,903 --> 00:01:12,641
Det er meget let at regne ud for en kvadratisk firkant.

20
00:01:12,641 --> 00:01:15,830
Det er bredden gange højden.

21
00:01:15,830 --> 00:01:20,570
Det gælder for enhver rektangel, men da det her er en kvadratisk firkant, er bredden og højden ens.

22
00:01:20,650 --> 00:01:22,340
De er 8 meter.

23
00:01:22,340 --> 00:01:27,930
Arealet er 8 meter gange 8 meter.

24
00:01:27,930 --> 00:01:32,020
8 gange 8 er 64, og derefter meter gange meter.

25
00:01:32,020 --> 00:01:34,580
Vi skal også gange enhederne.

26
00:01:34,580 --> 00:01:37,200
Vi får 64 meter i anden.

27
00:01:37,200 --> 00:01:40,860
En anden måde at sige det er 64 kvadratmeter.

28
00:01:40,860 --> 00:01:44,390
Hvor er de 64 kvadratmeter?

29
00:01:44,390 --> 00:01:46,615
Vi kan faktisk fordele dem her.

30
00:01:46,615 --> 00:01:49,562
Lad os gøre det en lille smule større end den oprindelige tegning.

31
00:01:51,890 --> 00:01:55,940
Det er den samme kvadrat som før.

32
00:01:55,940 --> 00:01:58,100
Vi tegner lige lidt.

33
00:01:58,100 --> 00:02:00,240
Vi deler den på midten.

34
00:02:00,240 --> 00:02:03,770
Vi deler den igen.

35
00:02:03,770 --> 00:02:07,142
Vi deler hver side igen på den måde.

36
00:02:08,410 --> 00:02:10,930
Lad os gøre det en gang til.

37
00:02:10,930 --> 00:02:16,840
Vi opdeler dem

38
00:02:16,840 --> 00:02:19,010
på den måde.

39
00:02:19,010 --> 00:02:20,940
Sådan.

40
00:02:21,480 --> 00:02:26,918
Grunden til vi gjorde det her er, at vi så kan se dimensionerne langs bredden og højden.

41
00:02:27,030 --> 00:02:29,696
Det her er 8 meter, og læg mærke til, at vi har

42
00:02:29,696 --> 00:02:34,610
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 meter.

43
00:02:34,610 --> 00:02:36,620
Det samme langs den her side.

44
00:02:36,620 --> 00:02:42,050
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 meter.

45
00:02:42,050 --> 00:02:45,340
Når vi taler om 64 kvadratmeter,

46
00:02:45,340 --> 00:02:47,520
tæller vi faktisk bare hver af de her kvadratmeter.

47
00:02:47,520 --> 00:02:50,380
Kvadratmeter er et todimensionelt mål.

48
00:02:50,380 --> 00:02:51,780
Det er 1 meter på hver side.

49
00:02:51,780 --> 00:02:53,490
Der er 1 meter, og der er 1 meter.

50
00:02:53,490 --> 00:02:56,480
Det gule her er 1 kvadratmeter.

51
00:02:56,480 --> 00:02:59,030
Man kan tælle kvadratmeterne.

52
00:02:59,030 --> 00:03:07,039
I hver række har vi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 kvadratmeter.

53
00:03:07,080 --> 00:03:08,610
Vi har 8 rækker.

54
00:03:08,610 --> 00:03:11,200
Vi har altså 8 gange 8 kvadratmeter

55
00:03:11,200 --> 00:03:12,760
eller 64 meter i anden.

56
00:03:12,760 --> 00:03:19,007
Hvis vi bare talte hver af felterne, ville vi tælle til 64 kvadratmeter.

57
00:03:19,050 --> 00:03:27,953
Nu bliver vi så bedt om at finde omkredsen af kvadratet. Perimeter betyder omkreds.

58
00:03:28,000 --> 00:03:31,912
Omkredsen er den afstand, man skal gå for at komme hele vejen omkring kvadratet.

59
00:03:31,950 --> 00:03:34,990
Det er ikke et mål for for eksempel hvor meget gulvtæppe, vi har brug for.

60
00:03:35,070 --> 00:03:39,027
Omkredsen måler for eksempel, hvis vi ville sætte et hegn omkring tæppet.

61
00:03:41,296 --> 00:03:43,107
Det er, hvor meget hegn man behøver.

62
00:03:43,110 --> 00:03:46,210
Det ville være afstanden omkring.

63
00:03:46,210 --> 00:03:50,888
Det ville være den afstand her plus den afstand plus den afstand plus den afstand.

64
00:03:50,980 --> 00:03:54,737
Vi kender allerede afstanden lige her i bunden.

65
00:03:54,737 --> 00:03:58,020
Vi ved allerede, at den afstand er 8 meter.

66
00:03:58,020 --> 00:04:02,432
Vi ved også, at højden her er 8 meter, fordi det er et kvadrat.

67
00:04:02,432 --> 00:04:07,569
Den afstand heroppe vil være den samme som den her afstand hernede. Det er 8 meter mere.

68
00:04:07,710 --> 00:04:11,280
Derefter siden nederst til venstre. Det er 8 meter mere.

69
00:04:11,380 --> 00:04:15,670
Vi har 4 sider. 1, 2, 3, 4. Hver af dem er 8 meter.

70
00:04:15,670 --> 00:04:18,121
Vi lægger 8 til sig selv 4 gange.

71
00:04:18,121 --> 00:04:21,070
Det er det samme som 8 gange 4, så vi får 32 meter.

72
00:04:21,070 --> 00:04:28,018
Da vi målte længden af hegnet, endte vi med enheden meter.

73
00:04:28,018 --> 00:04:30,591
Det er et endimensionelt mål.

74
00:04:30,680 --> 00:04:33,080
Det er fordi, vi ikke måler kvadratmeter her.

75
00:04:33,080 --> 00:04:35,310
Vi måler ikke, hvor stort arealet er.

76
00:04:35,310 --> 00:04:38,560
Vi måler en afstand, nemlig afstanden omkring kvadratet.

77
00:04:38,560 --> 00:04:41,966
Vi drejer om hjørnerne, men vi kan forestille os, at vi retter hegnet ud,

78
00:04:41,966 --> 00:04:44,570
og så bliver det bare et stort langt hegn som det her,

79
00:04:44,570 --> 00:04:48,160
som ville have den samme længde på 32 meter.

80
00:04:48,160 --> 00:04:51,010
Derfor har vi bare enheden meter for omkredsen.

81
00:04:51,010 --> 00:04:56,131
For arealet vi fik kvadratmeter, fordi vi tæller de er todimensionelle måleenheder.

82
00:04:56,220 --> 00:04:58,840
Lad os nu gøre det lidt mere interessant.

83
00:04:58,840 --> 00:05:09,608
Hvad sker der, hvis vi i stedet for et kvadrat har et rektangel som den her?

84
00:05:09,700 --> 00:05:23,093
Lad os gå ud fra, at den her side er 7 centimeter lang, og at højden her er 4 centimeter.

85
00:05:23,170 --> 00:05:25,845
Hvad er så arealet af rektanglet?

86
00:05:25,845 --> 00:05:28,280
Det er 7 centimeter gange 4 centimeter.

87
00:05:28,280 --> 00:05:31,490
7 centimeter gange 4 centimeter.

88
00:05:31,490 --> 00:05:38,927
Husk, at vi kunne tegne 7 rækker til højre, og hver af dem er 4 kvadratcentimeter.

89
00:05:39,004 --> 00:05:40,293
Hver af de her er 1 kvadratcentimeter.

90
00:05:40,380 --> 00:05:44,052
Hvis vi ville tælle dem alle, ville vi finde 7 gange 4 kvadratcentimeter.

91
00:05:44,170 --> 00:05:45,140
Det er 4 centimeter.

92
00:05:45,140 --> 00:05:50,390
Det er altså lig med 28 centimeter i anden eller kvadratcentimeter.

93
00:05:50,390 --> 00:05:55,146
Hvad er omkredsen?

94
00:05:55,260 --> 00:05:58,660
Det vil være lig med den afstand hernede,

95
00:05:58,660 --> 00:06:03,670
som er 7 centimeter, plus den afstand herovre, som er 4 centimeter ,

96
00:06:03,670 --> 00:06:07,480
plus afstanden øverst.

97
00:06:07,480 --> 00:06:10,400
Det er et rektangel, så det er den samme afstand som den herovre.

98
00:06:10,440 --> 00:06:13,170
Plus 7 centimeter mere.

99
00:06:13,170 --> 00:06:16,300
Derefter har vi den her afstand på venstre side.

100
00:06:16,300 --> 00:06:21,670
Den her afstand på venstre side er det samme som den afstand her. Det er også 4 centimeter,

101
00:06:21,810 --> 00:06:24,450
så plus 4 centimeter mere.

102
00:06:24,450 --> 00:06:25,450
Hvad får vi så?

103
00:06:25,450 --> 00:06:27,570
Vi får 7 plus 4, det er 11, og så har vi

104
00:06:27,570 --> 00:06:29,020
7 plus 4 mere.

105
00:06:29,020 --> 00:06:33,020
Vi har 11 plus 11, så vi har 22 centimeter.

106
00:06:33,020 --> 00:06:36,300
Det er ikke kvadratcentimeter. Det er bare centimeter.

107
00:06:36,300 --> 00:06:42,300
Lad os tage noget helt andet nu. Lad os gå væk fra vores snak om rektanglerne

108
00:06:42,300 --> 00:06:43,760
og vores eksempler med rektangler.

109
00:06:43,760 --> 00:06:46,930
Lad os se, om vi kan gøre det samme med trekanter.

110
00:06:46,930 --> 00:06:49,940
Vi har nu en trekant her.

111
00:06:49,940 --> 00:06:54,838
Vi har en trekant som den her.

112
00:06:58,720 --> 00:06:59,760
Lad os tegne det sådan her.

113
00:06:59,760 --> 00:07:02,210
Det bliver måske lidt lettere

114
00:07:02,210 --> 00:07:04,550
at se, hvordan det er relateret til et rektangel.

115
00:07:09,224 --> 00:07:11,300
Sådan. Det er vores trekant.

116
00:07:11,300 --> 00:07:17,078
Lad os sige, at den afstand lige her er 7 centimeter.

117
00:07:17,210 --> 00:07:23,136
Lad os sige, at højden af den her trekant er 4 centimeter.

118
00:07:23,520 --> 00:07:33,496
Vi bliver spurgt, hvad arealet af trekanten er.

119
00:07:33,690 --> 00:07:36,590
Da vi havde et rektangel som den her,

120
00:07:36,590 --> 00:07:38,660
gangede vi bare. 7 gange 4.

121
00:07:38,660 --> 00:07:39,600
Hvad betyder det?

122
00:07:39,600 --> 00:07:42,610
Det ville give os arealet af et helt rektangel.

123
00:07:42,610 --> 00:07:45,994
Hvis vi tog 7 gange 4, ville det give os arealet af hele den her rektangel.

124
00:07:46,071 --> 00:07:49,640
Vi kan forestille os, at vi udvidede trekanten sådan her.

125
00:07:49,640 --> 00:07:51,880
Det er en ligesidet trekant. Den går lige op og ned,

126
00:07:51,880 --> 00:07:55,743
og den her går lige til venstre og højre.

127
00:07:55,910 --> 00:07:59,940
Det er en vinkel på 90 grader.

128
00:08:00,040 --> 00:08:03,460
Vi kan faktisk næsten se det som halvdelen af det her rektangel.

129
00:08:03,460 --> 00:08:05,117
Det er ikke næsten, det er faktisk helt præcist halvdelen.

130
00:08:05,117 --> 00:08:10,163
Hvis vi flytter den her trekant herover,

131
00:08:10,163 --> 00:08:14,574
får vi den samme trekant, men den er bare vendt på hovedet eller spejlvendt.

132
00:08:14,910 --> 00:08:24,341
Vi tænker på, at 7 gange 4 giver hele arealet af det her rektangel,

133
00:08:24,341 --> 00:08:26,770
som vi lige gjorde før for rektanglet.

134
00:08:26,800 --> 00:08:30,210
Nu vil vi gerne bestemme arealet af trekanten.

135
00:08:30,210 --> 00:08:33,190
Vi vil gerne kende arealet af det her område lige her.

136
00:08:33,190 --> 00:08:36,290
Man kan forhåbentlig se fra den her tegning,

137
00:08:36,290 --> 00:08:41,051
at arealet af den her trekant er præcis halvdelen af arealet af hele rektanglet.

138
00:08:41,051 --> 00:08:49,254
Arealet for en trekant er altså lig med bredden gange højden gange en halv.

139
00:08:49,316 --> 00:08:52,074
Bredden gange højden var arealet af et rektangel,

140
00:08:52,150 --> 00:08:55,847
men for at finde arealet af trekanten, ganger vi med en halv.

141
00:08:55,910 --> 00:08:58,160
Det er en halv bredde gange højden.

142
00:08:58,160 --> 00:09:06,919
I vores eksempel bliver det en halv gange 7 centimeter gange 4 centimeter.

143
00:09:07,020 --> 00:09:10,780
Vi ved, hvad 7 gange 4 er.

144
00:09:10,780 --> 00:09:13,880
Vi ved allerede, at det er 28 centimeter.

145
00:09:13,880 --> 00:09:15,710
Vi regnede det ud lige før.

146
00:09:15,710 --> 00:09:19,050
Det her er 28 centimeter.

147
00:09:19,050 --> 00:09:22,070
Vi skal nu gange med en halv.

148
00:09:22,070 --> 00:09:26,720
Det er 14 centimeter. Sådan.

149
00:09:26,720 --> 00:09:31,580
Arealet af trekanten er præcis halvdelen af af arealet af rektanglet.

150
00:09:31,700 --> 00:09:36,810
Omkredsen af trekanten er lidt sværere at finde,

151
00:09:36,810 --> 00:09:45,320
for det er ikke helt nemt at finde den her længde.

152
00:09:45,320 --> 00:09:48,857
Det bliver dig nemt, når vi har lært om Pythagoras' sætning.

153
00:09:48,870 --> 00:09:50,290
Det springer vi over lige nu.

154
00:09:50,290 --> 00:09:54,010
Det ser vi på i en video om Pythagoras' sætning.

155
00:09:54,010 --> 00:09:58,450
Lad os i stedet tage et eksempel mere med arealet af en trekant.

156
00:09:58,612 --> 00:10:02,728
Det første her var et specialtilfælde, som vi tegnede

157
00:10:02,728 --> 00:10:04,520
for at få det til at ligne halvdelen af et rektangel.

158
00:10:04,520 --> 00:10:07,220
Nu går vi ud fra, at vi har en trekant, der ligner den her.

159
00:10:07,220 --> 00:10:11,650
Den ser lidt mere skæv ud.

160
00:10:11,650 --> 00:10:19,346
Lad os sige, at den afstand hernede er 3 meter.

161
00:10:19,346 --> 00:10:21,950
Afstanden her er 3 meter.

162
00:10:21,950 --> 00:10:26,430
Vi kender ikke de her 2 afstande.

163
00:10:26,570 --> 00:10:30,660
Hvis vi tegner en lige linje lige ned som den her

164
00:10:30,660 --> 00:10:32,670
og forestiller os, at det er en bygning eller et bjerg,

165
00:10:32,670 --> 00:10:37,805
og vi bare slipper noget lige ned på jorden som her,

166
00:10:37,805 --> 00:10:40,649
ved vi, at den her afstand er lig med 4 meter.

167
00:10:43,770 --> 00:10:50,170
Hvad er arealet af trekanten?

168
00:10:50,201 --> 00:10:52,910
Vi anvender den samme formel.

169
00:10:52,910 --> 00:10:57,170
Arealet er lig med en halv bredde gange højden.

170
00:10:57,170 --> 00:11:00,490
Bredden er den her afstand.

171
00:11:02,260 --> 00:11:10,518
En halv gange 3 gange højden på trekanten.

172
00:11:10,570 --> 00:11:13,713
Den her er slet ikke inde i trekanten, men det er stadig højden.

173
00:11:13,820 --> 00:11:16,880
Hvis vi forestiller os, at det her er en bygning, hvor høj er bygningen så?

174
00:11:16,926 --> 00:11:18,360
Det ville være den højde dér.

175
00:11:18,360 --> 00:11:20,395
En halv gange 3 gange 4.

176
00:11:20,395 --> 00:11:22,880
Det er den afstand dér, som vi bruger.

177
00:11:22,880 --> 00:11:27,860
Hvad er det lig med? 3 gange 4 er 12. 12 gange en halv er lig med 6.

178
00:11:27,860 --> 00:11:30,830
Det er målt i kvadratmeter.

179
00:11:30,830 --> 00:11:34,140
Hvis trekanten så sådan her ud,

180
00:11:34,140 --> 00:11:41,876
hvor det her var 3 meter ned her,

181
00:11:41,876 --> 00:11:47,542
og den her side er 4 meter,

182
00:11:47,542 --> 00:11:52,760
kan vi ikke bruge formlen til at regne på den.

183
00:11:52,820 --> 00:11:56,758
Faktisk skulle man kende nogle af vinklerne og alt muligt for at kunne udregne arealet,

184
00:11:56,758 --> 00:11:59,177
eller man skulle kende længden på den side her.

185
00:11:59,365 --> 00:12:02,480
Det er ikke så let.

186
00:12:02,480 --> 00:12:06,628
Vi bliver nødt til at vide, hvad højden af trekanten er.

187
00:12:06,720 --> 00:12:07,900
Vi skal kende den her afstand.

188
00:12:07,900 --> 00:12:11,330
I det her tilfælde var det en af siderne,

189
00:12:11,330 --> 00:12:12,290
men i det her tilfælde er det ikke en af siderne.

190
00:12:12,290 --> 00:12:19,347
Vi skal vide, hvad højden der til højre er for at kunne bruge den her formel.