لدي مربع هنا
وما يجعله مربعاً هو ان جميع اضلاعه متساوية
لم اتعمق في الزوايا بعد، لكنها
زوايا قائمة تقع بجانب بعضها
سأرسمها هكذا
هذا يعني ان هذا الضلع السفلي يكون اتجاهه بشكل مستقيم من اليسار الى
اليمين، والضلع الايسر هذا سيتجه من الاعلى الى الاسلفل
هذا ما تعنيه الزوايا القائمة
دعوني افترض ان طول هذا الضلع 8 متر
هذا الضلع
وهذا مربع
واريد ان اسألكم ما هي مساحة هذا المربع؟
حسناً، المساحة تكون مقدار حيز المربع
دعونا نفترض، على الشاشة هنا
انها طريقة لقياس مقدار الحيز
الذي يأخذه الشكل على سطح ثنائي الابعاد
والسطح ثنائي الابعاد هو مثل هذه الشاشة او
كفطعة ورق، التي ربما تحل هذه المسألة عليها
فاذا كان لديك غرفة قياسها 8 متر × 8 متر
مقدار السجاد الذي ستحتاجه هو عبارة عن خحم
الفراغ الذي تحتاج تغطيته
بسطح ثنائي الابعاد
اذاً المساحة هنا عبارة عن الحجم الذي
تملأؤه، وهي سهلة الايجاد
بالنسبة لحالة المربع
سيكون القاعدة × الارتفاع --و
هذا صحيح لأي مستطيل-- لكن بما ان هذا مربع
فالقاعدة والارتفاع سيكونان متساويان
وهو 8 متر
والمساحة تكون 8 متر × 8 متر، اي
تساوي 8 × 8 = 64، ثم متر ×
متر --عليك فعل الشيئ نفسه للوحدات--
فنحصل على 64 متر مربع
او بطريقة اخرى، هذه 64 متر مربع
وربما ستقول اين هذه الـ 64 متر مربع؟
حسناً، يمكنك ان تقسمه
دعوني ارسمه بصورة اكبر من
ما رسمته
وكان يجدر بي ان ارسمه كبيراً منذ البداية
دعونا نفترض ان هذا نفس المربع
سأرسمه ودعوني اقسمه
من النصف
دعوني ارى، لدي --وقسمته مرة اخرى
واقسم كل ضلع مرة اخرى هكذا
يمكنني فعل ذلك بطريقة منتظمة اكثر
ودعوني افعلها مرة اخرى
نقسمهم هكذا، ثم نقسم هذه
هكذا
حسناً
وسبب انني فعلت هذا هو حتى اريكم الابعاد
على طول القاعدة والارتفاع
قلنا ان هذا 8 متر، ولاحظوا لدي 1, 2
3, 4, 5, 6, 7, 8 متر
ونفس الشيئ على طول هذا الضلع
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 متر
فعندما نأخذ 64 متر مربع
اي نحن نقوم بعد كل متر مربع
المتر المربع هو قياس ثنائي الابعاد
1 متر لكل ضلع
هذا 1 متر، وهذا 1 متر
ما اقوم بتظليله باللون الاصفر هنا يساوي 1 متر
ويمكنك تخيل عميلة عد الامتار المربعة
يكون لدينا في كل صف 1, 2, 3, 4, 5, 6
7, 8 متر مربع
ثم لدينا 8 صفوف
وسيكون لدينا 8 × 8 متر مربع
او 64 متر مربع
وهي اذا جلست هنا وقمت بعد كل
هذه، فستعد 64 متر مربع
الآن، ما سيحدث اذا سألتكم عن
محيط المربع؟
المحيط عبارة عن المسافة التي تحتاج ان تمشيها
حول المربع
انه ليس قياس، عى سبيل المثال، كم مقدار
السجاد الذي نحتاجه
قياسه، على سبيل المصال، اذا اردت وضع سياج
حول السجاد --انني نوعاً ما اخلط الامور الداخلية و
الخارجية-- سكون مقدار السياج
الذي ستحتاجه
هكذا تكون المسافة حوله
سيكون تلك المسافة + تلك المسافة + تلك
المسافة + تلك المسافة
لكننا بالفعل نعلم هذه المسافة
السفلية، وهي 8 متر
ثم نعلم ان الارتفاع هو 8 متر
انه مربع
هذه المسافة العليا ستكون نفس هذه المسافة
السفلى --اي تكون 8 متر ايضاً
ثم عندما نذهب في الاسفل الى اليسار ستكون
8 متر اخرى
لدينا اربع اضلاع --1, 2, 3, 4-- كل واحد منهم قياسه 8 متر
اذاً نضيف 8 الى نفسها مرات، وهذا يعادل 8
× 4، ونحصل على 32 متر
والآن لاحظوا، عندما قسنا مقدار السياج الذي
نحتاجه، وصلنا الى وحدة الامتار، وهي نوعاً ما
قياس احادي البعد
هذا لأننا لا نقيس امتار مربعة هنا
اي لا نقيس كمية المساحة
بل نقيس مسافة --المسافة التي ننتقلها
نأخذ تحولات، لكن يمكنك ان تتخيل استقامة
هذا السياج، حيث سيكون سياج كبير كهذا
ويكون له نفس الطول وهو 36 متر
ولهذا السبب لدينا وحدة الامتار للمحيط
لكن بالنسبة للمساحة، لأننا نقوم بعد
هذان القياسان ثنائيا الابعاد
الآن، دعونا نجعله ممتع اكثر
ماذا سيحدث اذا كان لدي
مستطيل بدلاً من المربع؟
دعونا نفترض ان قياس هذا الضلع 7 سم
ولنفترض ان الارتفاع هو 4 سم
اذاً ماذا تكون مساحة المستطيل؟
ستكون 7 × 4 سم
7 سم × 4 سم
وتذكروا، يمكننا ان نرسم 7 صفوف، وكل واحدة منها
قياسه 4 سم مربع --كل واحد من هذه
هي سم مربع
فاذا اردت عدهم جمعهم، سيكون لديك 7 ×
4 سم مربع
انها 4 سم
وتساوي 28 سم مربع
ما هو المحيط؟
حسناً، سيكون هذه لمسافة، اي
7 سم، + هذه المسافة اي 4
سم، + هذه المسافة الموجودة في الاعلى --هذا
مثلث، ستكون نفس المسافة
هذه
+ 7 سم اخرى
ثم سيكون لدينا هذه المسافة في الجانب الايسر
لكن هذه المسافة في الجانب الايسر هي نفس هذه
المسافة --4 سم ايضاً
اذاً + 4 سم اخرى
على ماذا نحصل؟
نحصل على 7 + 4 = 11، ثم لدينا
7 + 4 اخرى
لدينا 11 + 11، اي 22 سم
مرة اخرى، ليس بوحدة سم مربع
الآن دعنا نحول --دعونا نبتعد عن المستطيل
او مثال المستطيل
اذاً دعونا نرى اذا كان يمكننا فعل نفس الشيئ مع المثلثات
دعونا نفترض ان لدي مثلث هنا
لدي مثلث هكذا
ولنفترض ان هذه المسافة --في الواقع
دعوني ارسمها هكذا
اعتقد انها تبدو اسهل عندما تكون هكذا
حتى تروا كيف ان هذا يرتبط بالمستطيل
دعوني ارسمه هكذا
هيا بنا
هذا هو المثلث
ودعونا ان هذه المسافة هي 7
سم
ولنفترض ان ارتفاع المثلث
4 سم
واريد ان اسأالكم ما هي مساحة المثلث؟
حسناً، عندما يكون لدينا مستطيل كهذا، نقوم
بضرب 7 × 4
لكن ماذا سيعطينا؟
سيعطينا مساحة المستطيل جميعه
اذا ضربنا 7 × 4، فالحاصل سيكون عبارة عن مساحة
المستطيل جميعه
يمكنك ان تتخيل توسيع المثلث بهذا الشكل
هذا مثلث قائم --سيكون مستقيم ن الاعلى الى
الاسفل، ومستقيم من اليسار الى اليمين في
الاسفل هكذا
ان قياس الزاوية 90 درجة، اذا كان لديك
فكرة حول الزوايا
اذاً يمكنك ان تعتبره تقريباً 1/2 هذا المستطيل
بل هو بالفعل كذلك وليس تقريباً
لأنه اذا قمت بمضاعفة هذا، يمكنك ان تتخيل اذا
قلبت هذا المثلث، ستحصل على نفس المثلث لكن
بشكل مقلوب
فاذا فكرت في عندما تضرب 7 × 4
ستحصل على مساحة المستطيل جميعه، كما
فعلنا هنا
لكننا نريد ان نعلم مساحة المثلث
نريد ان نعرف هذه المساحة
يمكنك ان ترى من هذا الرسم ان مساحة
هذا المثلث هي بالضبط 1/2 مساحة
المستطيل ككل
اذاً مساحة المثلث تساوي القاعدة ×
الارتفاع --هذا حتى الآن، القاعدة × الارتفاع هي
مساحة المستطيل
وحتى نحصل على مساحة المثلث
ستضرب ذلك بـ 1/2
اذاً 1/2 القاعدة × الارتفاع
وفي المثال ستكون 1/2 × 7 سم
× 4 سم
نحن نعلم حاصل 7 × 4
نعلم انه 28 سم
--لقد فعلنا ذلك في الاعلى
اذاً هذه تساوي 28 سم
ثم نريد وحدة السنتيمتر ونريد ان نضرب ذلك بـ 1/2
اذاً ستكون 14 سم هكذا
اذاً مساحة المثلث بالضبط تساوي 1/2
مساحة المستطيل
والآن، محيط المثلث يصبح
معقداً بعض الشيئ لأن ايجاد هذه المسافة
ليس ابسط شيئ في العالم
حسناً، سيكون سهلاً عندما تتعلم
نظرية فيثاغورس
لكني سأتخطى ذلك الآن
سأتركه لعرض نظرية فيثاغورس
دعوي اعطيكم مساحة مثلث اضافية
لنفترض ا لدي مثلثاً يبدو هكذا
ان هذه حالة خاصة جداً حيث اجعله يبدو
كنصف مثلث
دعونا نفترض ان لدي مثلث يبدو هكذا
انه منحرف بعض الشيئ
ودعونا نفترض ان هذه المسافة تساوي 3 متر
--تلك المسافة تساوي 3 متر
ولنفترض اننا لا نعلم ما هي تلك المسافة ولا
نعرف ما هذه المسافة
لكننا نعلم انه اذا اردنا ان نضع خط مستقيم
في الاسفل هكذا --اذا تخيلت ان هذه بناية او
جبل وقمت برمي شيئ ما بشكل مستقيم
الى الاسفل هكذا، نحن نعلم ان هذه المسافة
تساوي --لنفترض انها تساوي 4 متر
فما ستكون مساحة المثلث؟
حسناً، نطبق نفس الصيغة
المساحة = 1/2 القاعدة × الارتفاع
تساوي 1/2 --القاعدة عبارة عن قاعدة
هذا المثلث
اذاً 1/2 × 3 × ارتفاع المثلث
واعتقد ان افضل طريقة لتفكير فيه هي
ارتفاع المثلث
هذا الشي لم يكن في المثلث، لكنه
الارتفاع
اذا تخيلت ان هذه بناية، فستقول كم ارتفاع
هذه البناية، سيكون هذا الارتفاع
اذاً 1/2 × 3 × 4
تستخدم هذه المسافة
ما يساوي 3 × 4 = 12، × 1/2 = 6
وسنتعامل مع وحدة المتر مربع
في الواقع اريد ان اظلل هذه الفكرة، لأنه اذا اعطيتك
مثلثاً يبدو هكذا، حيث هذا 3 متر
ثم اذا اردت ان اقول لك ان هذا الضلع
4 متر، ولا يمكنك هنا ان
تطبق هذه الصيغة وتجد الناتج
في الحقيق، عليك ان تعرف بعض الزوايا
حتى تكون قادراً على ايجاد المساحة، او ان عليك ان
تعرف الضلع الآخر هنا
هذا ليس سهل
عليك ان تعرف ما هو ارتفاع
المثلث
اي عليك ان تعرف هذه المسافة
في هذه الحالة، كانت واحدة من الاضلاع، لكن في هذه الحالة
ليست من الاضلاع
عليك ان تجد هذا الضلع الموجود على
الجانب الايمن حتى نطبق هذه الصيغة