WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.090
在這期的影片中 我們將介紹

00:00:05.090 --> 00:00:14.340
一個非常有趣的定理 勾股定理

00:00:14.340 --> 00:00:16.850
當你越來越多地學習數學的時候你會發現

00:00:16.850 --> 00:00:21.700
它是數學的基本定理之一

00:00:21.740 --> 00:00:26.570
它在幾何學中很有用 是三角學的基礎

00:00:26.570 --> 00:00:30.460
你們會用它去計算兩點間

00:00:30.480 --> 00:00:33.990
所以我們最好把它學好

00:00:33.990 --> 00:00:36.670
這就是我要說的

00:00:36.670 --> 00:00:38.110
讓我告訴你們什麽是勾股定理

00:00:38.130 --> 00:00:44.010
如果我們有一個三角形 而且是一個直角三角形

00:00:44.010 --> 00:00:47.170
就是說

00:00:47.170 --> 00:00:50.970
三個角中必須有一個是90度

00:00:50.970 --> 00:00:56.150
你畫一個小方塊來表示它是90度

00:00:56.220 --> 00:00:59.310
所以這裡是 讓我用一個不同的顏色

00:00:59.350 --> 00:01:05.690
一個90度角

00:01:05.730 --> 00:01:13.360
或者 我們可以叫它直角

00:01:13.380 --> 00:01:15.320
有一個直角的三角形叫做直角三角形

00:01:15.360 --> 00:01:21.090
所以這叫做直角三角形

00:01:21.090 --> 00:01:23.860
根據勾股定理

00:01:23.910 --> 00:01:26.760
如果我們知道一個直角三角形的兩邊

00:01:26.820 --> 00:01:32.560
我們總能得到第三邊 在我告訴你們怎麽做之前

00:01:32.580 --> 00:01:35.880
讓我再介紹一個術語

00:01:35.900 --> 00:01:39.440
90度角相對的邊

00:01:39.480 --> 00:01:44.540
是直角三角形中最長的

00:01:44.600 --> 00:01:49.290
所以在這個例子中 就是這條邊

00:01:49.340 --> 00:01:53.080
這是最長的邊

00:01:53.100 --> 00:01:56.260
找到直角 它面對著那個最長邊

00:01:56.260 --> 00:02:00.930
那個最長邊叫做斜邊

00:02:00.970 --> 00:02:05.380
這個最好記住 因爲會經常用到

00:02:05.430 --> 00:02:08.740
所以我們會很擅長找斜邊

00:02:08.740 --> 00:02:11.700
讓我再畫幾個直角三角形

00:02:11.730 --> 00:02:15.170
現在我有這樣一個三角形

00:02:15.170 --> 00:02:19.270
讓我把它畫得更好看一些

00:02:19.310 --> 00:02:23.060
我有這樣一個三角形

00:02:23.100 --> 00:02:25.130
這個角是90度

00:02:25.160 --> 00:02:30.760
這種情況下 這是斜邊

00:02:30.760 --> 00:02:35.080
因爲它對著90度角 它是最長邊

00:02:35.110 --> 00:02:38.840
讓我再畫一個 讓我們更好地找出斜邊

00:02:38.840 --> 00:02:42.250
這是我的三角形

00:02:42.250 --> 00:02:45.570
這是90度角

00:02:45.570 --> 00:02:47.710
我相信你們已經知道該怎麽做了

00:02:47.710 --> 00:02:51.260
找它相對的

00:02:51.310 --> 00:02:56.750
這是最長邊 就是斜邊

00:02:56.770 --> 00:03:00.130
當你找到斜邊

00:03:00.170 --> 00:03:03.240
我們把它叫做C 現在我們來學習

00:03:03.280 --> 00:03:05.050
勾股定理告訴了我們什麽

00:03:05.090 --> 00:03:08.240
我們讓C等於斜邊的長度

00:03:08.290 --> 00:03:11.420
讓我們把它叫做C

00:03:11.420 --> 00:03:13.900
把這個邊叫做

00:03:13.950 --> 00:03:16.950
把這個邊叫做A

00:03:17.020 --> 00:03:21.410
這個邊叫B

00:03:21.460 --> 00:03:26.480
勾股定理告訴我們 A的平方

00:03:26.520 --> 00:03:28.760
一條直角邊

00:03:28.800 --> 00:03:31.010
一個直角邊的平方

00:03:31.040 --> 00:03:36.740
加上另一個直角邊的平方

00:03:36.760 --> 00:03:41.140
等於斜邊的平方

00:03:41.160 --> 00:03:43.600
現在讓我們舉一個實例

00:03:43.600 --> 00:03:45.470
你們就會發現其實沒那麽難

00:03:45.540 --> 00:03:47.930
我有這樣一個三角形

00:03:47.930 --> 00:03:50.840
讓我把它畫出來

00:03:50.840 --> 00:03:57.080
這就是我的三角形 它看起來像這樣

00:03:57.080 --> 00:04:00.520
這裡是直角

00:04:00.540 --> 00:04:03.400
這條邊 讓我用些不同的顏色

00:04:03.480 --> 00:04:08.890
這條邊長是3這條邊是4

00:04:08.910 --> 00:04:10.940
要讓我們求出

00:04:10.940 --> 00:04:14.400
讓我們找出這條邊的邊長

00:04:14.440 --> 00:04:17.070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

00:04:17.090 --> 00:04:19.360
是要保證你有斜邊

00:04:19.360 --> 00:04:22.140
你要知道

00:04:22.180 --> 00:04:23.200
你要求解什麽

00:04:23.240 --> 00:04:26.290
在這種情況下 我們是要計算斜邊

00:04:26.320 --> 00:04:28.480
我們知道是因爲 這條邊是

00:04:28.550 --> 00:04:33.070
直角所對的邊

00:04:33.110 --> 00:04:36.510
如果我們來看勾股定理 這是C

00:04:36.510 --> 00:04:39.540
這是最長邊 現在我們就可以

00:04:39.540 --> 00:04:42.100
使用勾股定理了

00:04:42.160 --> 00:04:49.260
它告訴我們 一條直角邊 4的平方

00:04:49.260 --> 00:04:53.290
加上另一條直角邊 3的平方

00:04:53.290 --> 00:04:56.230
等於較長邊的平方

00:04:56.300 --> 00:05:00.270
也就是斜邊的平方 等於C的平方

00:05:00.270 --> 00:05:02.460
求解出C

00:05:02.460 --> 00:05:06.140
4的平方等於4乘以4

00:05:06.210 --> 00:05:12.030
是16 3的平方等於3乘以3

00:05:12.030 --> 00:05:17.400
是9

00:05:17.440 --> 00:05:21.850
這等於C的平方 16加9是多少 是25

00:05:21.850 --> 00:05:25.230
所以25等於C的平方

00:05:25.260 --> 00:05:28.370
我們取兩邊的正根

00:05:28.370 --> 00:05:33.150
如果你們從數學的角度看 它也可能是負5

00:05:33.190 --> 00:05:34.700
但是我們在做距離問題

00:05:34.740 --> 00:05:36.710
所以只關心正根

00:05:36.740 --> 00:05:39.570
所以我們取兩邊的算術平方根

00:05:39.620 --> 00:05:44.520
得到5等於C

00:05:44.560 --> 00:05:50.110
或者說 最長邊等於5

00:05:50.110 --> 00:05:52.110
現在 你可以用勾股定理

00:05:52.170 --> 00:05:54.600
給出兩邊 求任意第三邊

00:05:54.620 --> 00:05:55.950
無論第三邊是什麽

00:05:56.010 --> 00:05:58.160
讓我們再舉一個例子

00:05:58.160 --> 00:06:03.800
這是我們的三角形

00:06:03.840 --> 00:06:07.230
像這樣

00:06:07.230 --> 00:06:10.670
這樣

00:06:10.670 --> 00:06:15.450
這是直角

00:06:15.450 --> 00:06:20.900
這條邊長12 這條邊長6

00:06:20.900 --> 00:06:23.200
我們要求解

00:06:23.200 --> 00:06:26.840
我們要求出這條邊

00:06:26.890 --> 00:06:30.010
像我說過的 你要做的第一件事是

00:06:30.040 --> 00:06:31.460
找到斜邊

00:06:31.520 --> 00:06:33.790
它是直角所對的邊

00:06:33.790 --> 00:06:37.240
這裡是直角 在直角的對面

00:06:37.240 --> 00:06:41.530
最長邊 斜邊 就在這兒

00:06:41.600 --> 00:06:45.030
如果我們考慮勾股定理

00:06:45.060 --> 00:06:50.010
A的平方加上B的平方等於C的平方

00:06:50.010 --> 00:06:53.510
你可以把12看成C這是斜邊

00:06:53.550 --> 00:06:56.870
C的平方是斜邊的平方

00:06:56.870 --> 00:06:58.640
你可以說12等於C

00:06:58.660 --> 00:07:00.250
我們可以叫這些邊 順序無所謂

00:07:00.250 --> 00:07:03.030
順序無所謂一條爲A 一條爲B

00:07:03.090 --> 00:07:07.180
就讓我們把這條邊叫A A的長度是6

00:07:07.230 --> 00:07:12.790
讓B 這個顏色的B的長度是未知的

00:07:12.840 --> 00:07:14.910
現在我們可以應用勾股定理了

00:07:14.910 --> 00:07:23.100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

00:07:23.100 --> 00:07:28.010
等於斜邊的平方

00:07:28.010 --> 00:07:29.350
等於C的平方

00:07:29.350 --> 00:07:35.390
就是等於12的平方 現在我們可以求出B了

00:07:35.440 --> 00:07:36.860
注意這裡的區別

00:07:36.910 --> 00:07:38.210
我們現在求的不是斜邊

00:07:38.250 --> 00:07:39.910
我們在求一條直角邊

00:07:39.910 --> 00:07:43.820
上一個例子中我們求的是斜邊 我們求的是C

00:07:43.820 --> 00:07:46.230
所以要注意

00:07:46.230 --> 00:07:48.360
A的平方加上B的平方等於C的平方

00:07:48.410 --> 00:07:51.330
C是斜邊的邊長 現在我們來求B

00:07:51.390 --> 00:07:59.450
6的平方等於36 加上B的平方

00:07:59.500 --> 00:08:04.340
等於12的平方 12乘以12 等於144

00:08:04.340 --> 00:08:09.110
兩邊同時減掉36

00:08:09.110 --> 00:08:14.990
這裡約掉了

00:08:15.060 --> 00:08:18.400
左邊只剩下B的平方

00:08:18.430 --> 00:08:27.130
等於 144減去36 是多少 144減去30是114

00:08:27.160 --> 00:08:29.800
再減去6 是108

00:08:29.800 --> 00:08:36.030
這是108 那是B的平方

00:08:36.070 --> 00:08:37.730
現在我們要它兩邊的算術平方根

00:08:37.760 --> 00:08:39.820
或者正根

00:08:39.820 --> 00:08:48.540
得到B等於108的算術平方根

00:08:48.540 --> 00:08:50.720
現在看看我們可不可以化簡

00:08:50.770 --> 00:08:53.240
根號108

00:08:53.300 --> 00:08:56.330
我們可以找出108的質因數分解式

00:08:56.330 --> 00:08:58.010
然後看一下怎樣可以化簡這個根數

00:08:58.010 --> 00:09:02.580
108等於

00:09:02.630 --> 00:09:06.420
等於2乘以54

00:09:06.460 --> 00:09:10.820
54等於2乘以27

00:09:10.850 --> 00:09:15.330
27等於3乘以9

00:09:15.330 --> 00:09:19.600
所以根號108 等於

00:09:19.630 --> 00:09:25.360
根號下2乘以2哦 還沒完

00:09:25.360 --> 00:09:28.500
9可以被分解成3乘以3

00:09:28.500 --> 00:09:33.390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

00:09:33.390 --> 00:09:37.180
所以我們現在有幾個完全平方式

00:09:37.180 --> 00:09:38.750
讓我把它寫得工整些

00:09:38.750 --> 00:09:41.000
這種化簡根數的練習

00:09:41.000 --> 00:09:44.270
你們在用勾股定理的時候會經常遇到

00:09:44.270 --> 00:09:48.020
所以現在做沒有壞處

00:09:48.050 --> 00:09:55.460
這個等同於根號下2乘以2

00:09:55.460 --> 00:10:02.240
乘以3乘以3乘以3 那裏有最後一個根號3

00:10:02.240 --> 00:10:04.040
這是一樣的

00:10:04.040 --> 00:10:06.810
你不必把這些都寫在紙上

00:10:06.810 --> 00:10:09.020
你可以在腦中思考

00:10:09.020 --> 00:10:11.430
這是多少2乘以2是4

00:10:11.460 --> 00:10:15.900
4乘以9 是36 所以這是根號36

00:10:15.900 --> 00:10:20.260
乘以根號3 36的算術平方根是6

00:10:20.310 --> 00:10:25.130
所以這個化簡成了6倍根號3

00:10:25.130 --> 00:10:29.470
所以B的長 你可以把它寫成根號108

00:10:29.470 --> 00:10:35.360
或者你可以寫成6乘以根號3

00:10:35.360 --> 00:10:39.840
這是12 這是6

00:10:39.880 --> 00:10:42.020
根號3是1點多

00:10:42.100 --> 00:10:44.700
所以它會比6大一點點