1
00:00:00,000 --> 00:00:05,090
在這期的影片中 我們將介紹

2
00:00:05,090 --> 00:00:14,340
一個非常有趣的定理 勾股定理

3
00:00:14,340 --> 00:00:16,850
當你越來越多地學習數學的時候你會發現

4
00:00:16,850 --> 00:00:21,700
它是數學的基本定理之一

5
00:00:21,740 --> 00:00:26,570
它在幾何學中很有用 是三角學的基礎

6
00:00:26,570 --> 00:00:30,460
你們會用它去計算兩點間

7
00:00:30,480 --> 00:00:33,990
所以我們最好把它學好

8
00:00:33,990 --> 00:00:36,670
這就是我要說的

9
00:00:36,670 --> 00:00:38,110
讓我告訴你們什麽是勾股定理

10
00:00:38,130 --> 00:00:44,010
如果我們有一個三角形 而且是一個直角三角形

11
00:00:44,010 --> 00:00:47,170
就是說

12
00:00:47,170 --> 00:00:50,970
三個角中必須有一個是90度

13
00:00:50,970 --> 00:00:56,150
你畫一個小方塊來表示它是90度

14
00:00:56,220 --> 00:00:59,310
所以這裡是 讓我用一個不同的顏色

15
00:00:59,350 --> 00:01:05,690
一個90度角

16
00:01:05,730 --> 00:01:13,360
或者 我們可以叫它直角

17
00:01:13,380 --> 00:01:15,320
有一個直角的三角形叫做直角三角形

18
00:01:15,360 --> 00:01:21,090
所以這叫做直角三角形

19
00:01:21,090 --> 00:01:23,860
根據勾股定理

20
00:01:23,910 --> 00:01:26,760
如果我們知道一個直角三角形的兩邊

21
00:01:26,820 --> 00:01:32,560
我們總能得到第三邊 在我告訴你們怎麽做之前

22
00:01:32,580 --> 00:01:35,880
讓我再介紹一個術語

23
00:01:35,900 --> 00:01:39,440
90度角相對的邊

24
00:01:39,480 --> 00:01:44,540
是直角三角形中最長的

25
00:01:44,600 --> 00:01:49,290
所以在這個例子中 就是這條邊

26
00:01:49,340 --> 00:01:53,080
這是最長的邊

27
00:01:53,100 --> 00:01:56,260
找到直角 它面對著那個最長邊

28
00:01:56,260 --> 00:02:00,930
那個最長邊叫做斜邊

29
00:02:00,970 --> 00:02:05,380
這個最好記住 因爲會經常用到

30
00:02:05,430 --> 00:02:08,740
所以我們會很擅長找斜邊

31
00:02:08,740 --> 00:02:11,700
讓我再畫幾個直角三角形

32
00:02:11,730 --> 00:02:15,170
現在我有這樣一個三角形

33
00:02:15,170 --> 00:02:19,270
讓我把它畫得更好看一些

34
00:02:19,310 --> 00:02:23,060
我有這樣一個三角形

35
00:02:23,100 --> 00:02:25,130
這個角是90度

36
00:02:25,160 --> 00:02:30,760
這種情況下 這是斜邊

37
00:02:30,760 --> 00:02:35,080
因爲它對著90度角 它是最長邊

38
00:02:35,110 --> 00:02:38,840
讓我再畫一個 讓我們更好地找出斜邊

39
00:02:38,840 --> 00:02:42,250
這是我的三角形

40
00:02:42,250 --> 00:02:45,570
這是90度角

41
00:02:45,570 --> 00:02:47,710
我相信你們已經知道該怎麽做了

42
00:02:47,710 --> 00:02:51,260
找它相對的

43
00:02:51,310 --> 00:02:56,750
這是最長邊 就是斜邊

44
00:02:56,770 --> 00:03:00,130
當你找到斜邊

45
00:03:00,170 --> 00:03:03,240
我們把它叫做C 現在我們來學習

46
00:03:03,280 --> 00:03:05,050
勾股定理告訴了我們什麽

47
00:03:05,090 --> 00:03:08,240
我們讓C等於斜邊的長度

48
00:03:08,290 --> 00:03:11,420
讓我們把它叫做C

49
00:03:11,420 --> 00:03:13,900
把這個邊叫做

50
00:03:13,950 --> 00:03:16,950
把這個邊叫做A

51
00:03:17,020 --> 00:03:21,410
這個邊叫B

52
00:03:21,460 --> 00:03:26,480
勾股定理告訴我們 A的平方

53
00:03:26,520 --> 00:03:28,760
一條直角邊

54
00:03:28,800 --> 00:03:31,010
一個直角邊的平方

55
00:03:31,040 --> 00:03:36,740
加上另一個直角邊的平方

56
00:03:36,760 --> 00:03:41,140
等於斜邊的平方

57
00:03:41,160 --> 00:03:43,600
現在讓我們舉一個實例

58
00:03:43,600 --> 00:03:45,470
你們就會發現其實沒那麽難

59
00:03:45,540 --> 00:03:47,930
我有這樣一個三角形

60
00:03:47,930 --> 00:03:50,840
讓我把它畫出來

61
00:03:50,840 --> 00:03:57,080
這就是我的三角形 它看起來像這樣

62
00:03:57,080 --> 00:04:00,520
這裡是直角

63
00:04:00,540 --> 00:04:03,400
這條邊 讓我用些不同的顏色

64
00:04:03,480 --> 00:04:08,890
這條邊長是3這條邊是4

65
00:04:08,910 --> 00:04:10,940
要讓我們求出

66
00:04:10,940 --> 00:04:14,400
讓我們找出這條邊的邊長

67
00:04:14,440 --> 00:04:17,070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

68
00:04:17,090 --> 00:04:19,360
是要保證你有斜邊

69
00:04:19,360 --> 00:04:22,140
你要知道

70
00:04:22,180 --> 00:04:23,200
你要求解什麽

71
00:04:23,240 --> 00:04:26,290
在這種情況下 我們是要計算斜邊

72
00:04:26,320 --> 00:04:28,480
我們知道是因爲 這條邊是

73
00:04:28,550 --> 00:04:33,070
直角所對的邊

74
00:04:33,110 --> 00:04:36,510
如果我們來看勾股定理 這是C

75
00:04:36,510 --> 00:04:39,540
這是最長邊 現在我們就可以

76
00:04:39,540 --> 00:04:42,100
使用勾股定理了

77
00:04:42,160 --> 00:04:49,260
它告訴我們 一條直角邊 4的平方

78
00:04:49,260 --> 00:04:53,290
加上另一條直角邊 3的平方

79
00:04:53,290 --> 00:04:56,230
等於較長邊的平方

80
00:04:56,300 --> 00:05:00,270
也就是斜邊的平方 等於C的平方

81
00:05:00,270 --> 00:05:02,460
求解出C

82
00:05:02,460 --> 00:05:06,140
4的平方等於4乘以4

83
00:05:06,210 --> 00:05:12,030
是16 3的平方等於3乘以3

84
00:05:12,030 --> 00:05:17,400
是9

85
00:05:17,440 --> 00:05:21,850
這等於C的平方 16加9是多少 是25

86
00:05:21,850 --> 00:05:25,230
所以25等於C的平方

87
00:05:25,260 --> 00:05:28,370
我們取兩邊的正根

88
00:05:28,370 --> 00:05:33,150
如果你們從數學的角度看 它也可能是負5

89
00:05:33,190 --> 00:05:34,700
但是我們在做距離問題

90
00:05:34,740 --> 00:05:36,710
所以只關心正根

91
00:05:36,740 --> 00:05:39,570
所以我們取兩邊的算術平方根

92
00:05:39,620 --> 00:05:44,520
得到5等於C

93
00:05:44,560 --> 00:05:50,110
或者說 最長邊等於5

94
00:05:50,110 --> 00:05:52,110
現在 你可以用勾股定理

95
00:05:52,170 --> 00:05:54,600
給出兩邊 求任意第三邊

96
00:05:54,620 --> 00:05:55,950
無論第三邊是什麽

97
00:05:56,010 --> 00:05:58,160
讓我們再舉一個例子

98
00:05:58,160 --> 00:06:03,800
這是我們的三角形

99
00:06:03,840 --> 00:06:07,230
像這樣

100
00:06:07,230 --> 00:06:10,670
這樣

101
00:06:10,670 --> 00:06:15,450
這是直角

102
00:06:15,450 --> 00:06:20,900
這條邊長12 這條邊長6

103
00:06:20,900 --> 00:06:23,200
我們要求解

104
00:06:23,200 --> 00:06:26,840
我們要求出這條邊

105
00:06:26,890 --> 00:06:30,010
像我說過的 你要做的第一件事是

106
00:06:30,040 --> 00:06:31,460
找到斜邊

107
00:06:31,520 --> 00:06:33,790
它是直角所對的邊

108
00:06:33,790 --> 00:06:37,240
這裡是直角 在直角的對面

109
00:06:37,240 --> 00:06:41,530
最長邊 斜邊 就在這兒

110
00:06:41,600 --> 00:06:45,030
如果我們考慮勾股定理

111
00:06:45,060 --> 00:06:50,010
A的平方加上B的平方等於C的平方

112
00:06:50,010 --> 00:06:53,510
你可以把12看成C這是斜邊

113
00:06:53,550 --> 00:06:56,870
C的平方是斜邊的平方

114
00:06:56,870 --> 00:06:58,640
你可以說12等於C

115
00:06:58,660 --> 00:07:00,250
我們可以叫這些邊 順序無所謂

116
00:07:00,250 --> 00:07:03,030
順序無所謂一條爲A 一條爲B

117
00:07:03,090 --> 00:07:07,180
就讓我們把這條邊叫A A的長度是6

118
00:07:07,230 --> 00:07:12,790
讓B 這個顏色的B的長度是未知的

119
00:07:12,840 --> 00:07:14,910
現在我們可以應用勾股定理了

120
00:07:14,910 --> 00:07:23,100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

121
00:07:23,100 --> 00:07:28,010
等於斜邊的平方

122
00:07:28,010 --> 00:07:29,350
等於C的平方

123
00:07:29,350 --> 00:07:35,390
就是等於12的平方 現在我們可以求出B了

124
00:07:35,440 --> 00:07:36,860
注意這裡的區別

125
00:07:36,910 --> 00:07:38,210
我們現在求的不是斜邊

126
00:07:38,250 --> 00:07:39,910
我們在求一條直角邊

127
00:07:39,910 --> 00:07:43,820
上一個例子中我們求的是斜邊 我們求的是C

128
00:07:43,820 --> 00:07:46,230
所以要注意

129
00:07:46,230 --> 00:07:48,360
A的平方加上B的平方等於C的平方

130
00:07:48,410 --> 00:07:51,330
C是斜邊的邊長 現在我們來求B

131
00:07:51,390 --> 00:07:59,450
6的平方等於36 加上B的平方

132
00:07:59,500 --> 00:08:04,340
等於12的平方 12乘以12 等於144

133
00:08:04,340 --> 00:08:09,110
兩邊同時減掉36

134
00:08:09,110 --> 00:08:14,990
這裡約掉了

135
00:08:15,060 --> 00:08:18,400
左邊只剩下B的平方

136
00:08:18,430 --> 00:08:27,130
等於 144減去36 是多少 144減去30是114

137
00:08:27,160 --> 00:08:29,800
再減去6 是108

138
00:08:29,800 --> 00:08:36,030
這是108 那是B的平方

139
00:08:36,070 --> 00:08:37,730
現在我們要它兩邊的算術平方根

140
00:08:37,760 --> 00:08:39,820
或者正根

141
00:08:39,820 --> 00:08:48,540
得到B等於108的算術平方根

142
00:08:48,540 --> 00:08:50,720
現在看看我們可不可以化簡

143
00:08:50,770 --> 00:08:53,240
根號108

144
00:08:53,300 --> 00:08:56,330
我們可以找出108的質因數分解式

145
00:08:56,330 --> 00:08:58,010
然後看一下怎樣可以化簡這個根數

146
00:08:58,010 --> 00:09:02,580
108等於

147
00:09:02,630 --> 00:09:06,420
等於2乘以54

148
00:09:06,460 --> 00:09:10,820
54等於2乘以27

149
00:09:10,850 --> 00:09:15,330
27等於3乘以9

150
00:09:15,330 --> 00:09:19,600
所以根號108 等於

151
00:09:19,630 --> 00:09:25,360
根號下2乘以2哦 還沒完

152
00:09:25,360 --> 00:09:28,500
9可以被分解成3乘以3

153
00:09:28,500 --> 00:09:33,390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

154
00:09:33,390 --> 00:09:37,180
所以我們現在有幾個完全平方式

155
00:09:37,180 --> 00:09:38,750
讓我把它寫得工整些

156
00:09:38,750 --> 00:09:41,000
這種化簡根數的練習

157
00:09:41,000 --> 00:09:44,270
你們在用勾股定理的時候會經常遇到

158
00:09:44,270 --> 00:09:48,020
所以現在做沒有壞處

159
00:09:48,050 --> 00:09:55,460
這個等同於根號下2乘以2

160
00:09:55,460 --> 00:10:02,240
乘以3乘以3乘以3 那裏有最後一個根號3

161
00:10:02,240 --> 00:10:04,040
這是一樣的

162
00:10:04,040 --> 00:10:06,810
你不必把這些都寫在紙上

163
00:10:06,810 --> 00:10:09,020
你可以在腦中思考

164
00:10:09,020 --> 00:10:11,430
這是多少2乘以2是4

165
00:10:11,460 --> 00:10:15,900
4乘以9 是36 所以這是根號36

166
00:10:15,900 --> 00:10:20,260
乘以根號3 36的算術平方根是6

167
00:10:20,310 --> 00:10:25,130
所以這個化簡成了6倍根號3

168
00:10:25,130 --> 00:10:29,470
所以B的長 你可以把它寫成根號108

169
00:10:29,470 --> 00:10:35,360
或者你可以寫成6乘以根號3

170
00:10:35,360 --> 00:10:39,840
這是12 這是6

171
00:10:39,880 --> 00:10:42,020
根號3是1點多

172
00:10:42,100 --> 00:10:44,700
所以它會比6大一點點