0:00:00.000,0:00:05.090
在這期的影片中 我們將介紹

0:00:05.090,0:00:14.340
一個非常有趣的定理 勾股定理

0:00:14.340,0:00:16.850
當你越來越多地學習數學的時候你會發現

0:00:16.850,0:00:21.700
它是數學的基本定理之一

0:00:21.740,0:00:26.570
它在幾何學中很有用 是三角學的基礎

0:00:26.570,0:00:30.460
你們會用它去計算兩點間

0:00:30.480,0:00:33.990
所以我們最好把它學好

0:00:33.990,0:00:36.670
這就是我要說的

0:00:36.670,0:00:38.110
讓我告訴你們什麽是勾股定理

0:00:38.130,0:00:44.010
如果我們有一個三角形 而且是一個直角三角形

0:00:44.010,0:00:47.170
就是說

0:00:47.170,0:00:50.970
三個角中必須有一個是90度

0:00:50.970,0:00:56.150
你畫一個小方塊來表示它是90度

0:00:56.220,0:00:59.310
所以這裡是 讓我用一個不同的顏色

0:00:59.350,0:01:05.690
一個90度角

0:01:05.730,0:01:13.360
或者 我們可以叫它直角

0:01:13.380,0:01:15.320
有一個直角的三角形叫做直角三角形

0:01:15.360,0:01:21.090
所以這叫做直角三角形

0:01:21.090,0:01:23.860
根據勾股定理

0:01:23.910,0:01:26.760
如果我們知道一個直角三角形的兩邊

0:01:26.820,0:01:32.560
我們總能得到第三邊 在我告訴你們怎麽做之前

0:01:32.580,0:01:35.880
讓我再介紹一個術語

0:01:35.900,0:01:39.440
90度角相對的邊

0:01:39.480,0:01:44.540
是直角三角形中最長的

0:01:44.600,0:01:49.290
所以在這個例子中 就是這條邊

0:01:49.340,0:01:53.080
這是最長的邊

0:01:53.100,0:01:56.260
找到直角 它面對著那個最長邊

0:01:56.260,0:02:00.930
那個最長邊叫做斜邊

0:02:00.970,0:02:05.380
這個最好記住 因爲會經常用到

0:02:05.430,0:02:08.740
所以我們會很擅長找斜邊

0:02:08.740,0:02:11.700
讓我再畫幾個直角三角形

0:02:11.730,0:02:15.170
現在我有這樣一個三角形

0:02:15.170,0:02:19.270
讓我把它畫得更好看一些

0:02:19.310,0:02:23.060
我有這樣一個三角形

0:02:23.100,0:02:25.130
這個角是90度

0:02:25.160,0:02:30.760
這種情況下 這是斜邊

0:02:30.760,0:02:35.080
因爲它對著90度角 它是最長邊

0:02:35.110,0:02:38.840
讓我再畫一個 讓我們更好地找出斜邊

0:02:38.840,0:02:42.250
這是我的三角形

0:02:42.250,0:02:45.570
這是90度角

0:02:45.570,0:02:47.710
我相信你們已經知道該怎麽做了

0:02:47.710,0:02:51.260
找它相對的

0:02:51.310,0:02:56.750
這是最長邊 就是斜邊

0:02:56.770,0:03:00.130
當你找到斜邊

0:03:00.170,0:03:03.240
我們把它叫做C 現在我們來學習

0:03:03.280,0:03:05.050
勾股定理告訴了我們什麽

0:03:05.090,0:03:08.240
我們讓C等於斜邊的長度

0:03:08.290,0:03:11.420
讓我們把它叫做C

0:03:11.420,0:03:13.900
把這個邊叫做

0:03:13.950,0:03:16.950
把這個邊叫做A

0:03:17.020,0:03:21.410
這個邊叫B

0:03:21.460,0:03:26.480
勾股定理告訴我們 A的平方

0:03:26.520,0:03:28.760
一條直角邊

0:03:28.800,0:03:31.010
一個直角邊的平方

0:03:31.040,0:03:36.740
加上另一個直角邊的平方

0:03:36.760,0:03:41.140
等於斜邊的平方

0:03:41.160,0:03:43.600
現在讓我們舉一個實例

0:03:43.600,0:03:45.470
你們就會發現其實沒那麽難

0:03:45.540,0:03:47.930
我有這樣一個三角形

0:03:47.930,0:03:50.840
讓我把它畫出來

0:03:50.840,0:03:57.080
這就是我的三角形 它看起來像這樣

0:03:57.080,0:04:00.520
這裡是直角

0:04:00.540,0:04:03.400
這條邊 讓我用些不同的顏色

0:04:03.480,0:04:08.890
這條邊長是3這條邊是4

0:04:08.910,0:04:10.940
要讓我們求出

0:04:10.940,0:04:14.400
讓我們找出這條邊的邊長

0:04:14.440,0:04:17.070
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事

0:04:17.090,0:04:19.360
是要保證你有斜邊

0:04:19.360,0:04:22.140
你要知道

0:04:22.180,0:04:23.200
你要求解什麽

0:04:23.240,0:04:26.290
在這種情況下 我們是要計算斜邊

0:04:26.320,0:04:28.480
我們知道是因爲 這條邊是

0:04:28.550,0:04:33.070
直角所對的邊

0:04:33.110,0:04:36.510
如果我們來看勾股定理 這是C

0:04:36.510,0:04:39.540
這是最長邊 現在我們就可以

0:04:39.540,0:04:42.100
使用勾股定理了

0:04:42.160,0:04:49.260
它告訴我們 一條直角邊 4的平方

0:04:49.260,0:04:53.290
加上另一條直角邊 3的平方

0:04:53.290,0:04:56.230
等於較長邊的平方

0:04:56.300,0:05:00.270
也就是斜邊的平方 等於C的平方

0:05:00.270,0:05:02.460
求解出C

0:05:02.460,0:05:06.140
4的平方等於4乘以4

0:05:06.210,0:05:12.030
是16 3的平方等於3乘以3

0:05:12.030,0:05:17.400
是9

0:05:17.440,0:05:21.850
這等於C的平方 16加9是多少 是25

0:05:21.850,0:05:25.230
所以25等於C的平方

0:05:25.260,0:05:28.370
我們取兩邊的正根

0:05:28.370,0:05:33.150
如果你們從數學的角度看 它也可能是負5

0:05:33.190,0:05:34.700
但是我們在做距離問題

0:05:34.740,0:05:36.710
所以只關心正根

0:05:36.740,0:05:39.570
所以我們取兩邊的算術平方根

0:05:39.620,0:05:44.520
得到5等於C

0:05:44.560,0:05:50.110
或者說 最長邊等於5

0:05:50.110,0:05:52.110
現在 你可以用勾股定理

0:05:52.170,0:05:54.600
給出兩邊 求任意第三邊

0:05:54.620,0:05:55.950
無論第三邊是什麽

0:05:56.010,0:05:58.160
讓我們再舉一個例子

0:05:58.160,0:06:03.800
這是我們的三角形

0:06:03.840,0:06:07.230
像這樣

0:06:07.230,0:06:10.670
這樣

0:06:10.670,0:06:15.450
這是直角

0:06:15.450,0:06:20.900
這條邊長12 這條邊長6

0:06:20.900,0:06:23.200
我們要求解

0:06:23.200,0:06:26.840
我們要求出這條邊

0:06:26.890,0:06:30.010
像我說過的 你要做的第一件事是

0:06:30.040,0:06:31.460
找到斜邊

0:06:31.520,0:06:33.790
它是直角所對的邊

0:06:33.790,0:06:37.240
這裡是直角 在直角的對面

0:06:37.240,0:06:41.530
最長邊 斜邊 就在這兒

0:06:41.600,0:06:45.030
如果我們考慮勾股定理

0:06:45.060,0:06:50.010
A的平方加上B的平方等於C的平方

0:06:50.010,0:06:53.510
你可以把12看成C這是斜邊

0:06:53.550,0:06:56.870
C的平方是斜邊的平方

0:06:56.870,0:06:58.640
你可以說12等於C

0:06:58.660,0:07:00.250
我們可以叫這些邊 順序無所謂

0:07:00.250,0:07:03.030
順序無所謂一條爲A 一條爲B

0:07:03.090,0:07:07.180
就讓我們把這條邊叫A A的長度是6

0:07:07.230,0:07:12.790
讓B 這個顏色的B的長度是未知的

0:07:12.840,0:07:14.910
現在我們可以應用勾股定理了

0:07:14.910,0:07:23.100
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方

0:07:23.100,0:07:28.010
等於斜邊的平方

0:07:28.010,0:07:29.350
等於C的平方

0:07:29.350,0:07:35.390
就是等於12的平方 現在我們可以求出B了

0:07:35.440,0:07:36.860
注意這裡的區別

0:07:36.910,0:07:38.210
我們現在求的不是斜邊

0:07:38.250,0:07:39.910
我們在求一條直角邊

0:07:39.910,0:07:43.820
上一個例子中我們求的是斜邊 我們求的是C

0:07:43.820,0:07:46.230
所以要注意

0:07:46.230,0:07:48.360
A的平方加上B的平方等於C的平方

0:07:48.410,0:07:51.330
C是斜邊的邊長 現在我們來求B

0:07:51.390,0:07:59.450
6的平方等於36 加上B的平方

0:07:59.500,0:08:04.340
等於12的平方 12乘以12 等於144

0:08:04.340,0:08:09.110
兩邊同時減掉36

0:08:09.110,0:08:14.990
這裡約掉了

0:08:15.060,0:08:18.400
左邊只剩下B的平方

0:08:18.430,0:08:27.130
等於 144減去36 是多少 144減去30是114

0:08:27.160,0:08:29.800
再減去6 是108

0:08:29.800,0:08:36.030
這是108 那是B的平方

0:08:36.070,0:08:37.730
現在我們要它兩邊的算術平方根

0:08:37.760,0:08:39.820
或者正根

0:08:39.820,0:08:48.540
得到B等於108的算術平方根

0:08:48.540,0:08:50.720
現在看看我們可不可以化簡

0:08:50.770,0:08:53.240
根號108

0:08:53.300,0:08:56.330
我們可以找出108的質因數分解式

0:08:56.330,0:08:58.010
然後看一下怎樣可以化簡這個根數

0:08:58.010,0:09:02.580
108等於

0:09:02.630,0:09:06.420
等於2乘以54

0:09:06.460,0:09:10.820
54等於2乘以27

0:09:10.850,0:09:15.330
27等於3乘以9

0:09:15.330,0:09:19.600
所以根號108 等於

0:09:19.630,0:09:25.360
根號下2乘以2哦 還沒完

0:09:25.360,0:09:28.500
9可以被分解成3乘以3

0:09:28.500,0:09:33.390
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3

0:09:33.390,0:09:37.180
所以我們現在有幾個完全平方式

0:09:37.180,0:09:38.750
讓我把它寫得工整些

0:09:38.750,0:09:41.000
這種化簡根數的練習

0:09:41.000,0:09:44.270
你們在用勾股定理的時候會經常遇到

0:09:44.270,0:09:48.020
所以現在做沒有壞處

0:09:48.050,0:09:55.460
這個等同於根號下2乘以2

0:09:55.460,0:10:02.240
乘以3乘以3乘以3 那裏有最後一個根號3

0:10:02.240,0:10:04.040
這是一樣的

0:10:04.040,0:10:06.810
你不必把這些都寫在紙上

0:10:06.810,0:10:09.020
你可以在腦中思考

0:10:09.020,0:10:11.430
這是多少2乘以2是4

0:10:11.460,0:10:15.900
4乘以9 是36 所以這是根號36

0:10:15.900,0:10:20.260
乘以根號3 36的算術平方根是6

0:10:20.310,0:10:25.130
所以這個化簡成了6倍根號3

0:10:25.130,0:10:29.470
所以B的長 你可以把它寫成根號108

0:10:29.470,0:10:35.360
或者你可以寫成6乘以根號3

0:10:35.360,0:10:39.840
這是12 這是6

0:10:39.880,0:10:42.020
根號3是1點多

0:10:42.100,0:10:44.700
所以它會比6大一點點