在這期的影片中 我們將介紹
一個非常有趣的定理 勾股定理
當你越來越多地學習數學的時候你會發現
它是數學的基本定理之一
它在幾何學中很有用 是三角學的基礎
你們會用它去計算兩點間
所以我們最好把它學好
這就是我要說的
讓我告訴你們什麽是勾股定理
如果我們有一個三角形 而且是一個直角三角形
就是說
三個角中必須有一個是90度
你畫一個小方塊來表示它是90度
所以這裡是 讓我用一個不同的顏色
一個90度角
或者 我們可以叫它直角
有一個直角的三角形叫做直角三角形
所以這叫做直角三角形
根據勾股定理
如果我們知道一個直角三角形的兩邊
我們總能得到第三邊 在我告訴你們怎麽做之前
讓我再介紹一個術語
90度角相對的邊
是直角三角形中最長的
所以在這個例子中 就是這條邊
這是最長的邊
找到直角 它面對著那個最長邊
那個最長邊叫做斜邊
這個最好記住 因爲會經常用到
所以我們會很擅長找斜邊
讓我再畫幾個直角三角形
現在我有這樣一個三角形
讓我把它畫得更好看一些
我有這樣一個三角形
這個角是90度
這種情況下 這是斜邊
因爲它對著90度角 它是最長邊
讓我再畫一個 讓我們更好地找出斜邊
這是我的三角形
這是90度角
我相信你們已經知道該怎麽做了
找它相對的
這是最長邊 就是斜邊
當你找到斜邊
我們把它叫做C 現在我們來學習
勾股定理告訴了我們什麽
我們讓C等於斜邊的長度
讓我們把它叫做C
把這個邊叫做
把這個邊叫做A
這個邊叫B
勾股定理告訴我們 A的平方
一條直角邊
一個直角邊的平方
加上另一個直角邊的平方
等於斜邊的平方
現在讓我們舉一個實例
你們就會發現其實沒那麽難
我有這樣一個三角形
讓我把它畫出來
這就是我的三角形 它看起來像這樣
這裡是直角
這條邊 讓我用些不同的顏色
這條邊長是3這條邊是4
要讓我們求出
讓我們找出這條邊的邊長
在你使用勾股定理之前 你要做的第一件事
是要保證你有斜邊
你要知道
你要求解什麽
在這種情況下 我們是要計算斜邊
我們知道是因爲 這條邊是
直角所對的邊
如果我們來看勾股定理 這是C
這是最長邊 現在我們就可以
使用勾股定理了
它告訴我們 一條直角邊 4的平方
加上另一條直角邊 3的平方
等於較長邊的平方
也就是斜邊的平方 等於C的平方
求解出C
4的平方等於4乘以4
是16 3的平方等於3乘以3
是9
這等於C的平方 16加9是多少 是25
所以25等於C的平方
我們取兩邊的正根
如果你們從數學的角度看 它也可能是負5
但是我們在做距離問題
所以只關心正根
所以我們取兩邊的算術平方根
得到5等於C
或者說 最長邊等於5
現在 你可以用勾股定理
給出兩邊 求任意第三邊
無論第三邊是什麽
讓我們再舉一個例子
這是我們的三角形
像這樣
這樣
這是直角
這條邊長12 這條邊長6
我們要求解
我們要求出這條邊
像我說過的 你要做的第一件事是
找到斜邊
它是直角所對的邊
這裡是直角 在直角的對面
最長邊 斜邊 就在這兒
如果我們考慮勾股定理
A的平方加上B的平方等於C的平方
你可以把12看成C這是斜邊
C的平方是斜邊的平方
你可以說12等於C
我們可以叫這些邊 順序無所謂
順序無所謂一條爲A 一條爲B
就讓我們把這條邊叫A A的長度是6
讓B 這個顏色的B的長度是未知的
現在我們可以應用勾股定理了
A的平方 也就是6的平方 加上未知的B的平方
等於斜邊的平方
等於C的平方
就是等於12的平方 現在我們可以求出B了
注意這裡的區別
我們現在求的不是斜邊
我們在求一條直角邊
上一個例子中我們求的是斜邊 我們求的是C
所以要注意
A的平方加上B的平方等於C的平方
C是斜邊的邊長 現在我們來求B
6的平方等於36 加上B的平方
等於12的平方 12乘以12 等於144
兩邊同時減掉36
這裡約掉了
左邊只剩下B的平方
等於 144減去36 是多少 144減去30是114
再減去6 是108
這是108 那是B的平方
現在我們要它兩邊的算術平方根
或者正根
得到B等於108的算術平方根
現在看看我們可不可以化簡
根號108
我們可以找出108的質因數分解式
然後看一下怎樣可以化簡這個根數
108等於
等於2乘以54
54等於2乘以27
27等於3乘以9
所以根號108 等於
根號下2乘以2哦 還沒完
9可以被分解成3乘以3
所以是2乘以2乘以3乘以3乘以3
所以我們現在有幾個完全平方式
讓我把它寫得工整些
這種化簡根數的練習
你們在用勾股定理的時候會經常遇到
所以現在做沒有壞處
這個等同於根號下2乘以2
乘以3乘以3乘以3 那裏有最後一個根號3
這是一樣的
你不必把這些都寫在紙上
你可以在腦中思考
這是多少2乘以2是4
4乘以9 是36 所以這是根號36
乘以根號3 36的算術平方根是6
所以這個化簡成了6倍根號3
所以B的長 你可以把它寫成根號108
或者你可以寫成6乘以根號3
這是12 這是6
根號3是1點多
所以它會比6大一點點