WEBVTT

00:00:06.059 --> 00:00:08.092
Я обещал, что мы рассмотрим ещё

00:00:08.092 --> 00:00:11.075
несколько задач на теорему Пифагора.

00:00:11.075 --> 00:00:13.072
Сейчас я рассмотрю несколько задач,

00:00:13.072 --> 00:00:17.087
чтобы попрактиковаться.

00:00:17.087 --> 00:00:21.085
Ещё раз, сейчас мы будем только практиковаться.

00:00:21.085 --> 00:00:30.016
Допустим, что у нас есть такой треугольник.

00:00:30.016 --> 00:00:32.060
Такой вот страшненький треугольник.

00:00:32.060 --> 00:00:34.020
Ой, слишком уж он не удался,

00:00:34.020 --> 00:00:37.047
давайте нарисую другой.

00:00:39.006 --> 00:00:43.088
Это сторона в треугольнике равна 7.

00:00:43.088 --> 00:00:45.052
Эта сторона равна 6.

00:00:45.052 --> 00:00:48.008
И я хочу вычислить эту сторону.

00:00:48.008 --> 00:00:49.039
В прошлом уроке мы разобрали,

00:00:49.039 --> 00:00:51.056
как определять гипотенузу.

00:00:51.056 --> 00:00:53.001
Вот прямой угол.

00:00:53.001 --> 00:00:56.060
Сторона, противолежащая ему – гипотенуза.

00:00:56.060 --> 00:00:59.093
Теперь мы знаем, что мы будем искать гипотенузу.

00:00:59.093 --> 00:01:05.017
Итак, мы знаем, что 6²+7² равно

00:01:05.017 --> 00:01:07.040
длине гипотенузы в квадрате.

00:01:07.040 --> 00:01:10.033
В теореме Пифагора мы использовали символ «С» для гипотенузы,

00:01:10.033 --> 00:01:12.057
давайте использовать его и в этом примере.

00:01:12.057 --> 00:01:15.034
С – это гипотенуза.

00:01:15.034 --> 00:01:21.084
36+49=С².

00:01:22.058 --> 00:01:28.079
Здесь будет: 85=С².

00:01:28.079 --> 00:01:36.084
Или же: С=√85.

00:01:36.084 --> 00:01:39.017
И в основном здесь самая большая трудность в том,

00:01:39.017 --> 00:01:42.000
чтобы упростить этот квадратный корень.

00:01:42.000 --> 00:01:45.011
Вопрос вот в чем: могу ли я представить 85

00:01:45.011 --> 00:01:49.076
как произведение квадрата какого-то числа на другое число?

00:01:49.076 --> 00:01:51.085
85 не кратно 4.

00:01:51.085 --> 00:01:54.017
Т.е. оно не будет также кратно 16

00:01:54.017 --> 00:01:57.012
или другим числам, кратным 4.

00:01:57.012 --> 00:02:00.059
Так, а сколько пятерок поместится в 85?

00:02:00.059 --> 00:02:04.051
Нет… тут тоже не получается квадрата.

00:02:04.051 --> 00:02:07.026
Я не думаю, что число 85 можно представить

00:02:07.026 --> 00:02:10.052
как произведение квадрата числа на какое-то другое число.

00:02:10.052 --> 00:02:14.043
Но вы можете меня поправить, я могу и ошибаться.

00:02:14.043 --> 00:02:17.014
Но как мне кажется, мы уже получили ответ.

00:02:17.014 --> 00:02:20.027
Ответ в данном случае – это √85.

00:02:20.027 --> 00:02:21.043
Но если мы все же хотим найти

00:02:21.043 --> 00:02:23.033
приближенное значение этого корня,

00:02:23.033 --> 00:02:25.000
тогда давайте подумаем:

00:02:25.000 --> 00:02:27.042
√81 – это 9,

00:02:27.042 --> 00:02:29.009
а √100 – это 10.

00:02:29.009 --> 00:02:30.036
Значит, наше число будет лежать

00:02:30.036 --> 00:02:34.084
где-то в промежутке между 9 и 10, но все же ближе к 9.

00:02:34.084 --> 00:02:36.024
И это хорошая проверка.

00:02:36.024 --> 00:02:40.000
Одна сторона – 7, другая – 6, а третья – 9 с чем-то.

00:02:40.000 --> 00:02:42.091
Такая длина гипотенузы вполне возможна.

00:02:42.091 --> 00:02:44.068
Давайте рассмотрим другую задачу.

00:02:45.080 --> 00:02:53.084
Допустим, что длина этой стороны – 10.

00:02:53.084 --> 00:02:55.084
Эта сторона – 3.

00:02:55.084 --> 00:02:58.036
Чему равна эта сторона?

00:02:58.036 --> 00:03:01.041
Сначала давайте определим, где у нас гипотенуза.

00:03:01.041 --> 00:03:02.059
Прямой угол у нас здесь,

00:03:02.059 --> 00:03:06.024
противолежащая сторона – гипотенуза.

00:03:06.024 --> 00:03:08.001
И это также самая длинная сторона

00:03:08.001 --> 00:03:09.059
прямоугольного треугольника.

00:03:09.059 --> 00:03:10.096
Она равна 10.

00:03:10.096 --> 00:03:15.019
10² равно сумме квадратов катетов.

00:03:15.019 --> 00:03:17.027
Эту сторону назовем А.

00:03:17.027 --> 00:03:21.068
Равно 3²+А².

00:03:21.068 --> 00:03:24.056
Здесь у нас 100=9+А².

00:03:24.056 --> 00:03:34.059
Или же А²=100–9.

00:03:34.059 --> 00:03:43.040
А²=91. Или же А=√91.

00:03:43.040 --> 00:03:44.042
Мне кажется, что больше

00:03:44.042 --> 00:03:46.089
квадратный корень упростить мы уже не сможем.

00:03:46.089 --> 00:03:48.092
3 здесь не подставляется.

00:03:48.092 --> 00:03:52.017
Интересно, может быть 91 - простое число?

00:03:52.017 --> 00:03:53.094
Нет, не уверен в этом.

00:03:53.094 --> 00:03:57.043
Как мне кажется, эту задачку мы тоже решили.

00:03:57.043 --> 00:04:01.059
Давайте рассмотрим следующую.

00:04:01.059 --> 00:04:04.075
Но на этот раз я добавлю ещё один дополнительный шаг -

00:04:04.075 --> 00:04:08.029
правда он может вас сбить с толку -

00:04:08.029 --> 00:04:10.000
но, как мне кажется,

00:04:10.000 --> 00:04:12.033
эти задачки уже слишком просты для вас.

00:04:12.033 --> 00:04:15.016
Допустим, у нас есть треугольник.

00:04:15.016 --> 00:04:16.041
Я ещё разок повторюсь:

00:04:16.041 --> 00:04:18.072
мы рассматриваем только прямоугольные треугольники.

00:04:18.072 --> 00:04:21.039
Никогда не используйте теорему Пифагора,

00:04:21.039 --> 00:04:22.056
если вы не уверены,

00:04:22.056 --> 00:04:26.049
что рассматриваемый треугольник – прямоугольный.

00:04:26.049 --> 00:04:27.056
В этом примере мы видим,

00:04:27.056 --> 00:04:29.042
что это прямоугольный треугольник.

00:04:29.042 --> 00:04:31.051
И эта сторона равна 5.

00:04:31.051 --> 00:04:36.034
Допустим, что этот угол равен 45°.

00:04:36.034 --> 00:04:42.016
Можем ли мы вычислить 2 остальные стороны треугольника?

00:04:42.016 --> 00:04:44.056
Мы не можем напрямую использовать теорему Пифагора,

00:04:44.056 --> 00:04:46.041
поскольку в теореме говорится:

00:04:46.041 --> 00:04:48.092
если есть прямоугольный треугольник

00:04:48.092 --> 00:04:51.024
и нам известны две его стороны,

00:04:51.024 --> 00:04:53.033
тогда мы можем вычислить третью.

00:04:53.033 --> 00:04:55.042
Здесь у нас есть прямоугольный треугольник,

00:04:55.042 --> 00:04:58.025
но мы знаем только одну сторону.

00:04:58.025 --> 00:05:00.058
Т.е. сразу так просто мы не можем вычислить

00:05:00.058 --> 00:05:02.034
две остальных стороны.

00:05:02.034 --> 00:05:04.011
Но, может быть, вот здесь у нас есть

00:05:04.011 --> 00:05:06.036
необходимая дополнительная информация?

00:05:06.036 --> 00:05:08.051
45°, может быть, благодаря этим данным

00:05:08.051 --> 00:05:11.037
мы сможем вычислить другую сторону?

00:05:11.037 --> 00:05:14.031
И тогда мы сможем использовать теорему Пифагора.

00:05:14.031 --> 00:05:19.036
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

00:05:19.036 --> 00:05:20.038
Надеюсь, что вы знаете,

00:05:20.038 --> 00:05:22.060
что сумма углов равна 180°.

00:05:22.060 --> 00:05:24.000
Если нет – это моя вина,

00:05:24.000 --> 00:05:26.005
возможно, я этого вам ещё не рассказывал.

00:05:26.005 --> 00:05:29.030
Давайте посмотрим на примере этого треугольника.

00:05:29.030 --> 00:05:31.087
Мы знаем, что сумма углов равна 180°,

00:05:31.087 --> 00:05:34.064
а используя имеющуюся информацию,

00:05:34.064 --> 00:05:38.016
мы можем посчитать и этот угол.

00:05:38.016 --> 00:05:42.036
Мы знаем, что один равен 90°, второй - 45°.

00:05:42.036 --> 00:05:49.091
Итак, 45+90 - тот угол мы назвали х - равно 180°.

00:05:49.091 --> 00:05:50.087
И это всё потому,

00:05:50.087 --> 00:05:55.017
что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

00:05:55.017 --> 00:06:02.050
Мы хотим найти х, у нас получается: 135+х=180.

00:06:02.050 --> 00:06:05.048
Вычитаем 135 из обеих частей равенства.

00:06:05.048 --> 00:06:08.017
Получаем х=45°.

00:06:08.017 --> 00:06:11.042
Интересно, да? х тоже равен 45°.

00:06:11.042 --> 00:06:14.099
Итак, имеем угол 90° и два угла по 45°.

00:06:14.099 --> 00:06:18.004
Теперь я расскажу вам ещё одну теорему,

00:06:18.004 --> 00:06:21.017
которая не названа именем её изобретателя.

00:06:21.017 --> 00:06:22.024
Я вообще не уверен,

00:06:22.024 --> 00:06:24.007
что у этой теоремы есть название.

00:06:24.007 --> 00:06:28.042
Но состоит она в том, что если у меня есть треугольник…

00:06:28.042 --> 00:06:31.080
Я нарисую новый треугольник вот здесь,

00:06:33.093 --> 00:06:38.050
в нём оба угла у основания одинаковы.

00:06:38.050 --> 00:06:43.075
Пусть эти два угла одинаковы, обозначим их «а».

00:06:43.075 --> 00:06:45.056
Они оба «а».

00:06:45.056 --> 00:06:49.008
Тогда стороны, которые не являются для них общими -

00:06:49.008 --> 00:06:51.051
для этих углов вот эта сторона общая, так?

00:06:51.051 --> 00:06:54.033
Так вот, стороны, которые не являются для них общими,

00:06:54.033 --> 00:06:57.040
равны между собой.

00:06:57.040 --> 00:06:58.056
Я не помню,

00:06:58.056 --> 00:07:01.025
как мы это называем в уроках по геометрии.

00:07:01.025 --> 00:07:03.057
Возможно, я рассмотрю это в последующих уроках.

00:07:03.057 --> 00:07:05.048
Главное – что теорема работает,

00:07:05.048 --> 00:07:08.050
а как она называется – это уже не так уж и важно.

00:07:08.050 --> 00:07:10.049
Если бы я поменял один из этих углов,

00:07:10.049 --> 00:07:12.080
то длина стороны тоже бы поменялась.

00:07:12.080 --> 00:07:15.063
Или если рассмотреть по-другому…

00:07:15.063 --> 00:07:16.080
ладно, не хочу вас запутывать:

00:07:16.080 --> 00:07:20.057
если вы видите, что эти 2 стороны одинаковы,

00:07:20.057 --> 00:07:25.040
тогда знайте – эти углы тоже будут одинаковыми.

00:07:25.040 --> 00:07:27.049
Если вы поменяете длину одной из сторон,

00:07:27.049 --> 00:07:31.048
то и углы изменятся, они уже не будут равны.

00:07:31.048 --> 00:07:33.048
Подумайте над этим.

00:07:33.048 --> 00:07:36.050
Пока запомните, что если два угла в треугольнике равны,

00:07:36.050 --> 00:07:41.083
то стороны, которые не являются для них общими, тоже равны.

00:07:41.083 --> 00:07:44.049
Уточняю: не сторона, которая для них общая

00:07:44.049 --> 00:07:46.025
(она может быть равна чему угодно),

00:07:46.025 --> 00:07:50.057
а как раз не общие для них стороны будут одинаковыми.

00:07:50.057 --> 00:07:57.017
Здесь у нас есть пример. Мы имеем 2 одинаковых угла.

00:07:57.017 --> 00:07:58.080
Оба они 45°.

00:07:58.080 --> 00:08:00.068
Это значит, что стороны,

00:08:00.068 --> 00:08:04.050
которые для них не являются общими, будут равны.

00:08:04.050 --> 00:08:07.057
Для двух углов эта сторона – общая.

00:08:07.057 --> 00:08:09.060
Значит, другие стороны будут равными.

00:08:09.060 --> 00:08:13.039
Эта сторона и эта сторона, они равны.

00:08:13.039 --> 00:08:17.087
И мне кажется, что вы сейчас говорите: «Ага! Мы поняли»

00:08:17.087 --> 00:08:19.083
Эта сторона равна этой стороне,

00:08:19.083 --> 00:08:22.075
а я говорил в условии задачи, что она равна 5,

00:08:22.075 --> 00:08:26.004
значит эта сторона тоже равна 5.

00:08:26.004 --> 00:08:28.092
И вот теперь мы сможем применить теорему Пифагора.

00:08:28.092 --> 00:08:31.025
Мы знаем, что это гипотенуза, так?

00:08:31.025 --> 00:08:43.042
Можем сказать, что 5²+5²=С², где С – гипотенуза.

00:08:43.042 --> 00:08:46.087
5²+5²=50.

00:08:46.087 --> 00:08:54.079
50=С², значит С=√50.

00:08:54.079 --> 00:09:00.084
А 50 – это 2 раза по 25, т.е. получаем 5√2.

00:09:00.084 --> 00:09:01.087
Интересно.

00:09:01.087 --> 00:09:03.025
Мне кажется,

00:09:03.025 --> 00:09:05.087
что я дал вам достаточное количество информации.

00:09:05.087 --> 00:09:07.087
Если вы что-то не поняли, возможно, вам следует

00:09:07.087 --> 00:09:10.049
еще раз просмотреть это видео.

00:09:10.049 --> 00:09:12.024
Но в следующем видео я дам вам

00:09:12.024 --> 00:09:14.025
больше информации о таких треугольниках.

00:09:14.025 --> 00:09:15.051
Такой вид треугольников

00:09:15.051 --> 00:09:18.048
встречается в задачах достаточно часто.

00:09:18.048 --> 00:09:20.063
В геометрии, тригонометрии вы будете встречать их

00:09:20.063 --> 00:09:24.072
в разделе «Треугольники с углами 45, 45 и 90°».

00:09:24.072 --> 00:09:29.016
В них всегда углы равны 45, 45 и 90°.

00:09:29.016 --> 00:09:31.008
И я покажу вам примеры,

00:09:31.008 --> 00:09:34.051
как быстро решать задачи с такими треугольниками.

00:09:34.051 --> 00:09:36.064
Покажу, как найти длину всех сторон,

00:09:36.064 --> 00:09:40.060
даже если вы знаете пока что длину только одной из них.

00:09:40.060 --> 00:09:42.012
Я надеюсь, что вы не запутались.

00:09:42.012 --> 00:09:43.091
Встретимся в следующем видео.

00:09:43.091 --> 99:59:59.000
До скорого!