Я обещал, что мы рассмотрим ещё несколько задач на теорему Пифагора. Сейчас я рассмотрю несколько задач, чтобы попрактиковаться. Ещё раз, сейчас мы будем только практиковаться. Допустим, что у нас есть такой треугольник. Такой вот страшненький треугольник. Ой, слишком уж он не удался, давайте нарисую другой. Это сторона в треугольнике равна 7. Эта сторона равна 6. И я хочу вычислить эту сторону. В прошлом уроке мы разобрали, как определять гипотенузу. Вот прямой угол. Сторона, противолежащая ему – гипотенуза. Теперь мы знаем, что мы будем искать гипотенузу. Итак, мы знаем, что 6²+7² равно длине гипотенузы в квадрате. В теореме Пифагора мы использовали символ «С» для гипотенузы, давайте использовать его и в этом примере. С – это гипотенуза. 36+49=С². Здесь будет: 85=С². Или же: С=√85. И в основном здесь самая большая трудность в том, чтобы упростить этот квадратный корень. Вопрос вот в чем: могу ли я представить 85 как произведение квадрата какого-то числа на другое число? 85 не кратно 4. Т.е. оно не будет также кратно 16 или другим числам, кратным 4. Так, а сколько пятерок поместится в 85? Нет… тут тоже не получается квадрата. Я не думаю, что число 85 можно представить как произведение квадрата числа на какое-то другое число. Но вы можете меня поправить, я могу и ошибаться. Но как мне кажется, мы уже получили ответ. Ответ в данном случае – это √85. Но если мы все же хотим найти приближенное значение этого корня, тогда давайте подумаем: √81 – это 9, а √100 – это 10. Значит, наше число будет лежать где-то в промежутке между 9 и 10, но все же ближе к 9. И это хорошая проверка. Одна сторона – 7, другая – 6, а третья – 9 с чем-то. Такая длина гипотенузы вполне возможна. Давайте рассмотрим другую задачу. Допустим, что длина этой стороны – 10. Эта сторона – 3. Чему равна эта сторона? Сначала давайте определим, где у нас гипотенуза. Прямой угол у нас здесь, противолежащая сторона – гипотенуза. И это также самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она равна 10. 10² равно сумме квадратов катетов. Эту сторону назовем А. Равно 3²+А². Здесь у нас 100=9+А². Или же А²=100–9. А²=91. Или же А=√91. Мне кажется, что больше квадратный корень упростить мы уже не сможем. 3 здесь не подставляется. Интересно, может быть 91 - простое число? Нет, не уверен в этом. Как мне кажется, эту задачку мы тоже решили. Давайте рассмотрим следующую. Но на этот раз я добавлю ещё один дополнительный шаг - правда он может вас сбить с толку - но, как мне кажется, эти задачки уже слишком просты для вас. Допустим, у нас есть треугольник. Я ещё разок повторюсь: мы рассматриваем только прямоугольные треугольники. Никогда не используйте теорему Пифагора, если вы не уверены, что рассматриваемый треугольник – прямоугольный. В этом примере мы видим, что это прямоугольный треугольник. И эта сторона равна 5. Допустим, что этот угол равен 45°. Можем ли мы вычислить 2 остальные стороны треугольника? Мы не можем напрямую использовать теорему Пифагора, поскольку в теореме говорится: если есть прямоугольный треугольник и нам известны две его стороны, тогда мы можем вычислить третью. Здесь у нас есть прямоугольный треугольник, но мы знаем только одну сторону. Т.е. сразу так просто мы не можем вычислить две остальных стороны. Но, может быть, вот здесь у нас есть необходимая дополнительная информация? 45°, может быть, благодаря этим данным мы сможем вычислить другую сторону? И тогда мы сможем использовать теорему Пифагора. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Надеюсь, что вы знаете, что сумма углов равна 180°. Если нет – это моя вина, возможно, я этого вам ещё не рассказывал. Давайте посмотрим на примере этого треугольника. Мы знаем, что сумма углов равна 180°, а используя имеющуюся информацию, мы можем посчитать и этот угол. Мы знаем, что один равен 90°, второй - 45°. Итак, 45+90 - тот угол мы назвали х - равно 180°. И это всё потому, что сумма углов треугольника всегда равна 180°. Мы хотим найти х, у нас получается: 135+х=180. Вычитаем 135 из обеих частей равенства. Получаем х=45°. Интересно, да? х тоже равен 45°. Итак, имеем угол 90° и два угла по 45°. Теперь я расскажу вам ещё одну теорему, которая не названа именем её изобретателя. Я вообще не уверен, что у этой теоремы есть название. Но состоит она в том, что если у меня есть треугольник… Я нарисую новый треугольник вот здесь, в нём оба угла у основания одинаковы. Пусть эти два угла одинаковы, обозначим их «а». Они оба «а». Тогда стороны, которые не являются для них общими - для этих углов вот эта сторона общая, так? Так вот, стороны, которые не являются для них общими, равны между собой. Я не помню, как мы это называем в уроках по геометрии. Возможно, я рассмотрю это в последующих уроках. Главное – что теорема работает, а как она называется – это уже не так уж и важно. Если бы я поменял один из этих углов, то длина стороны тоже бы поменялась. Или если рассмотреть по-другому… ладно, не хочу вас запутывать: если вы видите, что эти 2 стороны одинаковы, тогда знайте – эти углы тоже будут одинаковыми. Если вы поменяете длину одной из сторон, то и углы изменятся, они уже не будут равны. Подумайте над этим. Пока запомните, что если два угла в треугольнике равны, то стороны, которые не являются для них общими, тоже равны. Уточняю: не сторона, которая для них общая (она может быть равна чему угодно), а как раз не общие для них стороны будут одинаковыми. Здесь у нас есть пример. Мы имеем 2 одинаковых угла. Оба они 45°. Это значит, что стороны, которые для них не являются общими, будут равны. Для двух углов эта сторона – общая. Значит, другие стороны будут равными. Эта сторона и эта сторона, они равны. И мне кажется, что вы сейчас говорите: «Ага! Мы поняли» Эта сторона равна этой стороне, а я говорил в условии задачи, что она равна 5, значит эта сторона тоже равна 5. И вот теперь мы сможем применить теорему Пифагора. Мы знаем, что это гипотенуза, так? Можем сказать, что 5²+5²=С², где С – гипотенуза. 5²+5²=50. 50=С², значит С=√50. А 50 – это 2 раза по 25, т.е. получаем 5√2. Интересно. Мне кажется, что я дал вам достаточное количество информации. Если вы что-то не поняли, возможно, вам следует еще раз просмотреть это видео. Но в следующем видео я дам вам больше информации о таких треугольниках. Такой вид треугольников встречается в задачах достаточно часто. В геометрии, тригонометрии вы будете встречать их в разделе «Треугольники с углами 45, 45 и 90°». В них всегда углы равны 45, 45 и 90°. И я покажу вам примеры, как быстро решать задачи с такими треугольниками. Покажу, как найти длину всех сторон, даже если вы знаете пока что длину только одной из них. Я надеюсь, что вы не запутались. Встретимся в следующем видео. До скорого!