1
00:00:06,059 --> 00:00:08,092
Я обещал, что мы рассмотрим ещё

2
00:00:08,092 --> 00:00:11,075
несколько задач на теорему Пифагора.

3
00:00:11,075 --> 00:00:13,072
Сейчас я рассмотрю несколько задач,

4
00:00:13,072 --> 00:00:17,087
чтобы попрактиковаться.

5
00:00:17,087 --> 00:00:21,085
Ещё раз, сейчас мы будем только практиковаться.

6
00:00:21,085 --> 00:00:30,016
Допустим, что у нас есть такой треугольник.

7
00:00:30,016 --> 00:00:32,060
Такой вот страшненький треугольник.

8
00:00:32,060 --> 00:00:34,020
Ой, слишком уж он не удался,

9
00:00:34,020 --> 00:00:37,047
давайте нарисую другой.

10
00:00:39,006 --> 00:00:43,088
Это сторона в треугольнике равна 7.

11
00:00:43,088 --> 00:00:45,052
Эта сторона равна 6.

12
00:00:45,052 --> 00:00:48,008
И я хочу вычислить эту сторону.

13
00:00:48,008 --> 00:00:49,039
В прошлом уроке мы разобрали,

14
00:00:49,039 --> 00:00:51,056
как определять гипотенузу.

15
00:00:51,056 --> 00:00:53,001
Вот прямой угол.

16
00:00:53,001 --> 00:00:56,060
Сторона, противолежащая ему – гипотенуза.

17
00:00:56,060 --> 00:00:59,093
Теперь мы знаем, что мы будем искать гипотенузу.

18
00:00:59,093 --> 00:01:05,017
Итак, мы знаем, что 6²+7² равно

19
00:01:05,017 --> 00:01:07,040
длине гипотенузы в квадрате.

20
00:01:07,040 --> 00:01:10,033
В теореме Пифагора мы использовали символ «С» для гипотенузы,

21
00:01:10,033 --> 00:01:12,057
давайте использовать его и в этом примере.

22
00:01:12,057 --> 00:01:15,034
С – это гипотенуза.

23
00:01:15,034 --> 00:01:21,084
36+49=С².

24
00:01:22,058 --> 00:01:28,079
Здесь будет: 85=С².

25
00:01:28,079 --> 00:01:36,084
Или же: С=√85.

26
00:01:36,084 --> 00:01:39,017
И в основном здесь самая большая трудность в том,

27
00:01:39,017 --> 00:01:42,000
чтобы упростить этот квадратный корень.

28
00:01:42,000 --> 00:01:45,011
Вопрос вот в чем: могу ли я представить 85

29
00:01:45,011 --> 00:01:49,076
как произведение квадрата какого-то числа на другое число?

30
00:01:49,076 --> 00:01:51,085
85 не кратно 4.

31
00:01:51,085 --> 00:01:54,017
Т.е. оно не будет также кратно 16

32
00:01:54,017 --> 00:01:57,012
или другим числам, кратным 4.

33
00:01:57,012 --> 00:02:00,059
Так, а сколько пятерок поместится в 85?

34
00:02:00,059 --> 00:02:04,051
Нет… тут тоже не получается квадрата.

35
00:02:04,051 --> 00:02:07,026
Я не думаю, что число 85 можно представить

36
00:02:07,026 --> 00:02:10,052
как произведение квадрата числа на какое-то другое число.

37
00:02:10,052 --> 00:02:14,043
Но вы можете меня поправить, я могу и ошибаться.

38
00:02:14,043 --> 00:02:17,014
Но как мне кажется, мы уже получили ответ.

39
00:02:17,014 --> 00:02:20,027
Ответ в данном случае – это √85.

40
00:02:20,027 --> 00:02:21,043
Но если мы все же хотим найти

41
00:02:21,043 --> 00:02:23,033
приближенное значение этого корня,

42
00:02:23,033 --> 00:02:25,000
тогда давайте подумаем:

43
00:02:25,000 --> 00:02:27,042
√81 – это 9,

44
00:02:27,042 --> 00:02:29,009
а √100 – это 10.

45
00:02:29,009 --> 00:02:30,036
Значит, наше число будет лежать

46
00:02:30,036 --> 00:02:34,084
где-то в промежутке между 9 и 10, но все же ближе к 9.

47
00:02:34,084 --> 00:02:36,024
И это хорошая проверка.

48
00:02:36,024 --> 00:02:40,000
Одна сторона – 7, другая – 6, а третья – 9 с чем-то.

49
00:02:40,000 --> 00:02:42,091
Такая длина гипотенузы вполне возможна.

50
00:02:42,091 --> 00:02:44,068
Давайте рассмотрим другую задачу.

51
00:02:45,080 --> 00:02:53,084
Допустим, что длина этой стороны – 10.

52
00:02:53,084 --> 00:02:55,084
Эта сторона – 3.

53
00:02:55,084 --> 00:02:58,036
Чему равна эта сторона?

54
00:02:58,036 --> 00:03:01,041
Сначала давайте определим, где у нас гипотенуза.

55
00:03:01,041 --> 00:03:02,059
Прямой угол у нас здесь,

56
00:03:02,059 --> 00:03:06,024
противолежащая сторона – гипотенуза.

57
00:03:06,024 --> 00:03:08,001
И это также самая длинная сторона

58
00:03:08,001 --> 00:03:09,059
прямоугольного треугольника.

59
00:03:09,059 --> 00:03:10,096
Она равна 10.

60
00:03:10,096 --> 00:03:15,019
10² равно сумме квадратов катетов.

61
00:03:15,019 --> 00:03:17,027
Эту сторону назовем А.

62
00:03:17,027 --> 00:03:21,068
Равно 3²+А².

63
00:03:21,068 --> 00:03:24,056
Здесь у нас 100=9+А².

64
00:03:24,056 --> 00:03:34,059
Или же А²=100–9.

65
00:03:34,059 --> 00:03:43,040
А²=91. Или же А=√91.

66
00:03:43,040 --> 00:03:44,042
Мне кажется, что больше

67
00:03:44,042 --> 00:03:46,089
квадратный корень упростить мы уже не сможем.

68
00:03:46,089 --> 00:03:48,092
3 здесь не подставляется.

69
00:03:48,092 --> 00:03:52,017
Интересно, может быть 91 - простое число?

70
00:03:52,017 --> 00:03:53,094
Нет, не уверен в этом.

71
00:03:53,094 --> 00:03:57,043
Как мне кажется, эту задачку мы тоже решили.

72
00:03:57,043 --> 00:04:01,059
Давайте рассмотрим следующую.

73
00:04:01,059 --> 00:04:04,075
Но на этот раз я добавлю ещё один дополнительный шаг -

74
00:04:04,075 --> 00:04:08,029
правда он может вас сбить с толку -

75
00:04:08,029 --> 00:04:10,000
но, как мне кажется,

76
00:04:10,000 --> 00:04:12,033
эти задачки уже слишком просты для вас.

77
00:04:12,033 --> 00:04:15,016
Допустим, у нас есть треугольник.

78
00:04:15,016 --> 00:04:16,041
Я ещё разок повторюсь:

79
00:04:16,041 --> 00:04:18,072
мы рассматриваем только прямоугольные треугольники.

80
00:04:18,072 --> 00:04:21,039
Никогда не используйте теорему Пифагора,

81
00:04:21,039 --> 00:04:22,056
если вы не уверены,

82
00:04:22,056 --> 00:04:26,049
что рассматриваемый треугольник – прямоугольный.

83
00:04:26,049 --> 00:04:27,056
В этом примере мы видим,

84
00:04:27,056 --> 00:04:29,042
что это прямоугольный треугольник.

85
00:04:29,042 --> 00:04:31,051
И эта сторона равна 5.

86
00:04:31,051 --> 00:04:36,034
Допустим, что этот угол равен 45°.

87
00:04:36,034 --> 00:04:42,016
Можем ли мы вычислить 2 остальные стороны треугольника?

88
00:04:42,016 --> 00:04:44,056
Мы не можем напрямую использовать теорему Пифагора,

89
00:04:44,056 --> 00:04:46,041
поскольку в теореме говорится:

90
00:04:46,041 --> 00:04:48,092
если есть прямоугольный треугольник

91
00:04:48,092 --> 00:04:51,024
и нам известны две его стороны,

92
00:04:51,024 --> 00:04:53,033
тогда мы можем вычислить третью.

93
00:04:53,033 --> 00:04:55,042
Здесь у нас есть прямоугольный треугольник,

94
00:04:55,042 --> 00:04:58,025
но мы знаем только одну сторону.

95
00:04:58,025 --> 00:05:00,058
Т.е. сразу так просто мы не можем вычислить

96
00:05:00,058 --> 00:05:02,034
две остальных стороны.

97
00:05:02,034 --> 00:05:04,011
Но, может быть, вот здесь у нас есть

98
00:05:04,011 --> 00:05:06,036
необходимая дополнительная информация?

99
00:05:06,036 --> 00:05:08,051
45°, может быть, благодаря этим данным

100
00:05:08,051 --> 00:05:11,037
мы сможем вычислить другую сторону?

101
00:05:11,037 --> 00:05:14,031
И тогда мы сможем использовать теорему Пифагора.

102
00:05:14,031 --> 00:05:19,036
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.

103
00:05:19,036 --> 00:05:20,038
Надеюсь, что вы знаете,

104
00:05:20,038 --> 00:05:22,060
что сумма углов равна 180°.

105
00:05:22,060 --> 00:05:24,000
Если нет – это моя вина,

106
00:05:24,000 --> 00:05:26,005
возможно, я этого вам ещё не рассказывал.

107
00:05:26,005 --> 00:05:29,030
Давайте посмотрим на примере этого треугольника.

108
00:05:29,030 --> 00:05:31,087
Мы знаем, что сумма углов равна 180°,

109
00:05:31,087 --> 00:05:34,064
а используя имеющуюся информацию,

110
00:05:34,064 --> 00:05:38,016
мы можем посчитать и этот угол.

111
00:05:38,016 --> 00:05:42,036
Мы знаем, что один равен 90°, второй - 45°.

112
00:05:42,036 --> 00:05:49,091
Итак, 45+90 - тот угол мы назвали х - равно 180°.

113
00:05:49,091 --> 00:05:50,087
И это всё потому,

114
00:05:50,087 --> 00:05:55,017
что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

115
00:05:55,017 --> 00:06:02,050
Мы хотим найти х, у нас получается: 135+х=180.

116
00:06:02,050 --> 00:06:05,048
Вычитаем 135 из обеих частей равенства.

117
00:06:05,048 --> 00:06:08,017
Получаем х=45°.

118
00:06:08,017 --> 00:06:11,042
Интересно, да? х тоже равен 45°.

119
00:06:11,042 --> 00:06:14,099
Итак, имеем угол 90° и два угла по 45°.

120
00:06:14,099 --> 00:06:18,004
Теперь я расскажу вам ещё одну теорему,

121
00:06:18,004 --> 00:06:21,017
которая не названа именем её изобретателя.

122
00:06:21,017 --> 00:06:22,024
Я вообще не уверен,

123
00:06:22,024 --> 00:06:24,007
что у этой теоремы есть название.

124
00:06:24,007 --> 00:06:28,042
Но состоит она в том, что если у меня есть треугольник…

125
00:06:28,042 --> 00:06:31,080
Я нарисую новый треугольник вот здесь,

126
00:06:33,093 --> 00:06:38,050
в нём оба угла у основания одинаковы.

127
00:06:38,050 --> 00:06:43,075
Пусть эти два угла одинаковы, обозначим их «а».

128
00:06:43,075 --> 00:06:45,056
Они оба «а».

129
00:06:45,056 --> 00:06:49,008
Тогда стороны, которые не являются для них общими -

130
00:06:49,008 --> 00:06:51,051
для этих углов вот эта сторона общая, так?

131
00:06:51,051 --> 00:06:54,033
Так вот, стороны, которые не являются для них общими,

132
00:06:54,033 --> 00:06:57,040
равны между собой.

133
00:06:57,040 --> 00:06:58,056
Я не помню,

134
00:06:58,056 --> 00:07:01,025
как мы это называем в уроках по геометрии.

135
00:07:01,025 --> 00:07:03,057
Возможно, я рассмотрю это в последующих уроках.

136
00:07:03,057 --> 00:07:05,048
Главное – что теорема работает,

137
00:07:05,048 --> 00:07:08,050
а как она называется – это уже не так уж и важно.

138
00:07:08,050 --> 00:07:10,049
Если бы я поменял один из этих углов,

139
00:07:10,049 --> 00:07:12,080
то длина стороны тоже бы поменялась.

140
00:07:12,080 --> 00:07:15,063
Или если рассмотреть по-другому…

141
00:07:15,063 --> 00:07:16,080
ладно, не хочу вас запутывать:

142
00:07:16,080 --> 00:07:20,057
если вы видите, что эти 2 стороны одинаковы,

143
00:07:20,057 --> 00:07:25,040
тогда знайте – эти углы тоже будут одинаковыми.

144
00:07:25,040 --> 00:07:27,049
Если вы поменяете длину одной из сторон,

145
00:07:27,049 --> 00:07:31,048
то и углы изменятся, они уже не будут равны.

146
00:07:31,048 --> 00:07:33,048
Подумайте над этим.

147
00:07:33,048 --> 00:07:36,050
Пока запомните, что если два угла в треугольнике равны,

148
00:07:36,050 --> 00:07:41,083
то стороны, которые не являются для них общими, тоже равны.

149
00:07:41,083 --> 00:07:44,049
Уточняю: не сторона, которая для них общая

150
00:07:44,049 --> 00:07:46,025
(она может быть равна чему угодно),

151
00:07:46,025 --> 00:07:50,057
а как раз не общие для них стороны будут одинаковыми.

152
00:07:50,057 --> 00:07:57,017
Здесь у нас есть пример. Мы имеем 2 одинаковых угла.

153
00:07:57,017 --> 00:07:58,080
Оба они 45°.

154
00:07:58,080 --> 00:08:00,068
Это значит, что стороны,

155
00:08:00,068 --> 00:08:04,050
которые для них не являются общими, будут равны.

156
00:08:04,050 --> 00:08:07,057
Для двух углов эта сторона – общая.

157
00:08:07,057 --> 00:08:09,060
Значит, другие стороны будут равными.

158
00:08:09,060 --> 00:08:13,039
Эта сторона и эта сторона, они равны.

159
00:08:13,039 --> 00:08:17,087
И мне кажется, что вы сейчас говорите: «Ага! Мы поняли»

160
00:08:17,087 --> 00:08:19,083
Эта сторона равна этой стороне,

161
00:08:19,083 --> 00:08:22,075
а я говорил в условии задачи, что она равна 5,

162
00:08:22,075 --> 00:08:26,004
значит эта сторона тоже равна 5.

163
00:08:26,004 --> 00:08:28,092
И вот теперь мы сможем применить теорему Пифагора.

164
00:08:28,092 --> 00:08:31,025
Мы знаем, что это гипотенуза, так?

165
00:08:31,025 --> 00:08:43,042
Можем сказать, что 5²+5²=С², где С – гипотенуза.

166
00:08:43,042 --> 00:08:46,087
5²+5²=50.

167
00:08:46,087 --> 00:08:54,079
50=С², значит С=√50.

168
00:08:54,079 --> 00:09:00,084
А 50 – это 2 раза по 25, т.е. получаем 5√2.

169
00:09:00,084 --> 00:09:01,087
Интересно.

170
00:09:01,087 --> 00:09:03,025
Мне кажется,

171
00:09:03,025 --> 00:09:05,087
что я дал вам достаточное количество информации.

172
00:09:05,087 --> 00:09:07,087
Если вы что-то не поняли, возможно, вам следует

173
00:09:07,087 --> 00:09:10,049
еще раз просмотреть это видео.

174
00:09:10,049 --> 00:09:12,024
Но в следующем видео я дам вам

175
00:09:12,024 --> 00:09:14,025
больше информации о таких треугольниках.

176
00:09:14,025 --> 00:09:15,051
Такой вид треугольников

177
00:09:15,051 --> 00:09:18,048
встречается в задачах достаточно часто.

178
00:09:18,048 --> 00:09:20,063
В геометрии, тригонометрии вы будете встречать их

179
00:09:20,063 --> 00:09:24,072
в разделе «Треугольники с углами 45, 45 и 90°».

180
00:09:24,072 --> 00:09:29,016
В них всегда углы равны 45, 45 и 90°.

181
00:09:29,016 --> 00:09:31,008
И я покажу вам примеры,

182
00:09:31,008 --> 00:09:34,051
как быстро решать задачи с такими треугольниками.

183
00:09:34,051 --> 00:09:36,064
Покажу, как найти длину всех сторон,

184
00:09:36,064 --> 00:09:40,060
даже если вы знаете пока что длину только одной из них.

185
00:09:40,060 --> 00:09:42,012
Я надеюсь, что вы не запутались.

186
00:09:42,012 --> 00:09:43,091
Встретимся в следующем видео.

187
00:09:43,091 --> 99:59:59,000
До скорого!