Я обещал, что мы рассмотрим ещё
несколько задач на теорему Пифагора.
Сейчас я рассмотрю несколько задач,
чтобы попрактиковаться.
Ещё раз, сейчас мы будем только практиковаться.
Допустим, что у нас есть такой треугольник.
Такой вот страшненький треугольник.
Ой, слишком уж он не удался,
давайте нарисую другой.
Это сторона в треугольнике равна 7.
Эта сторона равна 6.
И я хочу вычислить эту сторону.
В прошлом уроке мы разобрали,
как определять гипотенузу.
Вот прямой угол.
Сторона, противолежащая ему – гипотенуза.
Теперь мы знаем, что мы будем искать гипотенузу.
Итак, мы знаем, что 6²+7² равно
длине гипотенузы в квадрате.
В теореме Пифагора мы использовали символ «С» для гипотенузы,
давайте использовать его и в этом примере.
С – это гипотенуза.
36+49=С².
Здесь будет: 85=С².
Или же: С=√85.
И в основном здесь самая большая трудность в том,
чтобы упростить этот квадратный корень.
Вопрос вот в чем: могу ли я представить 85
как произведение квадрата какого-то числа на другое число?
85 не кратно 4.
Т.е. оно не будет также кратно 16
или другим числам, кратным 4.
Так, а сколько пятерок поместится в 85?
Нет… тут тоже не получается квадрата.
Я не думаю, что число 85 можно представить
как произведение квадрата числа на какое-то другое число.
Но вы можете меня поправить, я могу и ошибаться.
Но как мне кажется, мы уже получили ответ.
Ответ в данном случае – это √85.
Но если мы все же хотим найти
приближенное значение этого корня,
тогда давайте подумаем:
√81 – это 9,
а √100 – это 10.
Значит, наше число будет лежать
где-то в промежутке между 9 и 10, но все же ближе к 9.
И это хорошая проверка.
Одна сторона – 7, другая – 6, а третья – 9 с чем-то.
Такая длина гипотенузы вполне возможна.
Давайте рассмотрим другую задачу.
Допустим, что длина этой стороны – 10.
Эта сторона – 3.
Чему равна эта сторона?
Сначала давайте определим, где у нас гипотенуза.
Прямой угол у нас здесь,
противолежащая сторона – гипотенуза.
И это также самая длинная сторона
прямоугольного треугольника.
Она равна 10.
10² равно сумме квадратов катетов.
Эту сторону назовем А.
Равно 3²+А².
Здесь у нас 100=9+А².
Или же А²=100–9.
А²=91. Или же А=√91.
Мне кажется, что больше
квадратный корень упростить мы уже не сможем.
3 здесь не подставляется.
Интересно, может быть 91 - простое число?
Нет, не уверен в этом.
Как мне кажется, эту задачку мы тоже решили.
Давайте рассмотрим следующую.
Но на этот раз я добавлю ещё один дополнительный шаг -
правда он может вас сбить с толку -
но, как мне кажется,
эти задачки уже слишком просты для вас.
Допустим, у нас есть треугольник.
Я ещё разок повторюсь:
мы рассматриваем только прямоугольные треугольники.
Никогда не используйте теорему Пифагора,
если вы не уверены,
что рассматриваемый треугольник – прямоугольный.
В этом примере мы видим,
что это прямоугольный треугольник.
И эта сторона равна 5.
Допустим, что этот угол равен 45°.
Можем ли мы вычислить 2 остальные стороны треугольника?
Мы не можем напрямую использовать теорему Пифагора,
поскольку в теореме говорится:
если есть прямоугольный треугольник
и нам известны две его стороны,
тогда мы можем вычислить третью.
Здесь у нас есть прямоугольный треугольник,
но мы знаем только одну сторону.
Т.е. сразу так просто мы не можем вычислить
две остальных стороны.
Но, может быть, вот здесь у нас есть
необходимая дополнительная информация?
45°, может быть, благодаря этим данным
мы сможем вычислить другую сторону?
И тогда мы сможем использовать теорему Пифагора.
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°.
Надеюсь, что вы знаете,
что сумма углов равна 180°.
Если нет – это моя вина,
возможно, я этого вам ещё не рассказывал.
Давайте посмотрим на примере этого треугольника.
Мы знаем, что сумма углов равна 180°,
а используя имеющуюся информацию,
мы можем посчитать и этот угол.
Мы знаем, что один равен 90°, второй - 45°.
Итак, 45+90 - тот угол мы назвали х - равно 180°.
И это всё потому,
что сумма углов треугольника всегда равна 180°.
Мы хотим найти х, у нас получается: 135+х=180.
Вычитаем 135 из обеих частей равенства.
Получаем х=45°.
Интересно, да? х тоже равен 45°.
Итак, имеем угол 90° и два угла по 45°.
Теперь я расскажу вам ещё одну теорему,
которая не названа именем её изобретателя.
Я вообще не уверен,
что у этой теоремы есть название.
Но состоит она в том, что если у меня есть треугольник…
Я нарисую новый треугольник вот здесь,
в нём оба угла у основания одинаковы.
Пусть эти два угла одинаковы, обозначим их «а».
Они оба «а».
Тогда стороны, которые не являются для них общими -
для этих углов вот эта сторона общая, так?
Так вот, стороны, которые не являются для них общими,
равны между собой.
Я не помню,
как мы это называем в уроках по геометрии.
Возможно, я рассмотрю это в последующих уроках.
Главное – что теорема работает,
а как она называется – это уже не так уж и важно.
Если бы я поменял один из этих углов,
то длина стороны тоже бы поменялась.
Или если рассмотреть по-другому…
ладно, не хочу вас запутывать:
если вы видите, что эти 2 стороны одинаковы,
тогда знайте – эти углы тоже будут одинаковыми.
Если вы поменяете длину одной из сторон,
то и углы изменятся, они уже не будут равны.
Подумайте над этим.
Пока запомните, что если два угла в треугольнике равны,
то стороны, которые не являются для них общими, тоже равны.
Уточняю: не сторона, которая для них общая
(она может быть равна чему угодно),
а как раз не общие для них стороны будут одинаковыми.
Здесь у нас есть пример. Мы имеем 2 одинаковых угла.
Оба они 45°.
Это значит, что стороны,
которые для них не являются общими, будут равны.
Для двух углов эта сторона – общая.
Значит, другие стороны будут равными.
Эта сторона и эта сторона, они равны.
И мне кажется, что вы сейчас говорите: «Ага! Мы поняли»
Эта сторона равна этой стороне,
а я говорил в условии задачи, что она равна 5,
значит эта сторона тоже равна 5.
И вот теперь мы сможем применить теорему Пифагора.
Мы знаем, что это гипотенуза, так?
Можем сказать, что 5²+5²=С², где С – гипотенуза.
5²+5²=50.
50=С², значит С=√50.
А 50 – это 2 раза по 25, т.е. получаем 5√2.
Интересно.
Мне кажется,
что я дал вам достаточное количество информации.
Если вы что-то не поняли, возможно, вам следует
еще раз просмотреть это видео.
Но в следующем видео я дам вам
больше информации о таких треугольниках.
Такой вид треугольников
встречается в задачах достаточно часто.
В геометрии, тригонометрии вы будете встречать их
в разделе «Треугольники с углами 45, 45 и 90°».
В них всегда углы равны 45, 45 и 90°.
И я покажу вам примеры,
как быстро решать задачи с такими треугольниками.
Покажу, как найти длину всех сторон,
даже если вы знаете пока что длину только одной из них.
Я надеюсь, что вы не запутались.
Встретимся в следующем видео.
До скорого!