Slíbíl jsem vám, že se budeme
více věnovat Pythagorově větě,
ukážu vám tedy více úloh
s Pythagorovou větou.
.
Ještě jednou opakuji,
základ úspěchu je procvičování.
Řekněme, že mám trojúhelník,
tento ale není příliš pěkný,
nakreslím ho raději znovu.
Tato strana má délku 7,
tato strana 6
a zajímá mě délka této strany.
Učili jsme se to v minulé prezentaci -
- která strana je přepona?
Zde máme pravý úhel
a naproti pravému úhlu
se nachází přepona.
V tuto chvíli chceme zjistit,
jak dlouhá je přepona.
Víme, že 6 na druhou plus 7 na druhou
je rovno
přeponě na druhou.
V Pythagorově větě označujeme
písmenem "c" přeponu,
tedy i já použiju "c" pro označení přepony.
.
36 plus 49
se rovná "c" na druhou.
.
85 se rovná "c" na druhou.
Nebo "c" se rovná
druhá odmocnina z 85.
Většina lidí začne mít problémy
právě zde,
při zjednodušení odmocniny.
Druhá odmocnina z 85.
Mohu číslo 85 rozložit na
součin perfektní mocniny a jiného čísla?
85 není dělitelná 4.
Nebude tedy dělitelné 16
ani žádným jiným násobkem 4.
.
Kolikrát se 5 vejde do 85?
Ne, ani zde nám nevyjde perfektní mocnina.
Nemyslím si, že 85 můžu zapsat
jako součin
perfektní mocniny a dalšího čísla.
Možná se mýlím,
můžete mě opravit.
Později to můžete použít jako procvičování,
ale pro tuto chvíli můžu říct,
že jsme nalezli výsledek.
Výsledek je druhá odmocnina z 85.
Pokud chcete vědět,
kolik to přibližně je,
pojďme se tomu chvíli věnovat.
Druhá odmocnina z 81 je 9
a druhá odmocnina ze 100 je 10.
Výsledek leží mezí 9 a 10,
pravděpodobně o něco blíže k 9.
Je to 9 celá, něco, něco, něco.
To je dobrý odhad,
dává to smysl.
Pokud je tato strana 6,
tato je 7,
potom 9 celá něco, něco, něco
by mohla být tato délka.
Ukážu vám další příklad.
(kreslí)
Řekněme, toto je 10.
Toto je 3.
Kolik je tato strana?
Nejprve určíme,
co je přepona.
Zde máme pravý úhel,
takže strana naproti pravému úhlu
je přepona,
ta nejdelší strana.
A to je 10.
10 na druhou je rovno
součtu druhých mocnin
zbývajících dvou stran.
Je rovno 3 na druhou -
označme si tuto stranu "A".
Libovolně jsem si vybral.
- plus "A" na druhou.
100 se rovná 9 plus "A" na druhou,
čili
"A" na druhou je rovno 100 mínus 9.
"A" na druhou je rovno 91.
.
Znovu jsme dostali výsledek,
který se nedá zjednodušit.
Není dělitelný třemi.
Není 91 dokonce prvočíslo?
Nejsem si jistý.
V tuto chvíli jsme hotovi s řešením příkladu.
Pojďme se podívat na další příklad.
Už je čas
příklady trochu zkomplikovat, přidal další krok,
abyste to neměli tak snadné.
Myslím si, že zatím to pro vás bylo
až příliš snadné.
Mějme trojúhlelník
.
Znovu připomínám, zabýváme se
pravoúhlými trojúhelníky.
Nikdy nepoužívejte Pythagorovu větu,
dokud si nejste jistí,
že se jedná o pravoúhlý trojúhelník.
.
Ale v tomto případě víme,
že se jedná o pravoúhlý trojúhelník.
Délka této strany je 5,
a tento úhel je 45 stupňů.
Můžeme určit velikost
obou zbývajících stran trojúhleníku?
Pythagorovu větu nemůžeme
použít přímo,
protože pomocí Pythagorovy věty
můžeme v pravoúhlém trojúhelníku
určit délku třetí strany,
když známe délky
zbývajících dvou stran.
Teď sice máme pravoúhlý trojúhelník,
ale známe pouze jednu stranu.
Zbývající dvě zatím nemůžeme vypočítat.
Můžeme ale využít tuto informaci,
úhel 45 stupňů,
abychom určili další stranu
a potom už budeme schopni použít
Pythagorovu větu.
Víme, že součet velikostí úhlů
v trojúhelníku
je 180 stupňů.
Doufám, že víte, že součet
úhlů v trojúhelníku
je dohromady 180stupňů.
Pokud to nevíte, je to moje chyba,
protože jsem vás
to zatím nenaučil.
Pojďme se podívat na úhly
v našem trojúhelníku.
Víme, že součet jejich velikostí
je 180 stupňů, a s použitím
této informace můžeme určit,
jak velký je tento úhel.
Protože víme, že tento úhel má 90stupňů
tento má 45 stupňů.
Můžeme říct
- označme si tento úhel "x" -
45 plus 90
- tento čtvereček symbolizuje pravý úhel -
plus "x" se rovná 180 stupňů.
Protože součet velikostí úhlú
v trojúhelníku
je vždycky roven 180 stupňům.
Řešíme pro "x",
dostaneme 135 plus "x" je rovno 180.
Odečteme 135 od obou stran.
Dostáváme "x" se rovná 45 stupňů.
Zajímavé.
"x" je 45 stupňů.
Máme jeden úhel o velikosti 90 stupňů
a dva úhly, každý o velikosti 45 stupňů.
Nyní vás seznámím s další matematickou větou,
která není nazvaná
po žádném vůdci ani zakladateli víry.
Tato věta nemá žádné jméno.
Mám tedy trojúhelník -
nakreslím si ještě jeden -
který má oba úhly přiléhající k základně shodné -
úhly přiléhající k základně
mám na mysli tyto dva úhly,
označím si je "a".
Oba jsou "a". Potom strana,
kterou spolu nesdílejí -
- sdílejí spolu pouze tuto stranu -
Když se ale podíváme na ty dvě strany,
které spolu nesdílejí,
zjistíme, že jsou stejné.
Zapomněl jsem, jak jsme tomu říkali v lekcích geometrie.
Podívám se ale na jinou prezentaci a
dám vám vědět.
Ale zvládli jsme to i bez znalosti
jména této věty.
Ono to dává smysl, i když nevíme,
jak se ta věta jmenuje.
.
Kdybych změnil velikost tohoto úhlu,
délka strany se nám také změní.
Můžeme se na to podívat i z druhé strany...
.. ale ne, nechci vás příliš mást.
Určitě to vidíte také,
pokud tyto dvě strany budou stejně dlouhé,
budou i tyto dva úhly shodné.
Pokud změníte délku jedné ze stran,
změní se také velikost úhlů,
už nebudou stejně velké.
Promyslete si to.
V tuto chvíli mi věřte,
že pokud máme v trojúhelníku
dva shodné úhly,
potom strany, které spolu nesdílejí,
jsou stejně dlouhé.
Pamatujte si, netýká se to strany,
kterou sdílejí (ke které přléhají),
ta může být jakkoliv dlouhá.
Stejně dlouhé jsou ty strany,
které spolu úhly nesdílejí.
Zde máme příklad,
kde jsou dva úhly shodné.
Oba mají velikost 45 stupňů.
To znamená, že strany, které nesdílejí,
jsou tyto dvě strany.
Oba úhly sdílejí tuto stranu (přiléhají k této straně).
Čili tyto dvě strany,
které nesdílejí, jsou stejné.
Tato strana je stejně dlouhá
jako tato.
A právě teď
přijde rozuzlení.
Tato strana je rovna této -
na začátku jsem zadal,
že strana je rovná 5.
a proto víme, že i tato strana je rovná 5.
Teď už můžeme použít Pythagorovu větu.
Víme, že toto je odvěsna.
.
Můžeme tedy říct, že 5 na druhou plus 5 na druhou
je rovno "c" na druhou,
kde "c" je délka odvěsny.
5 na druhou plus 5 na druhou
je 50
a to je rovno "c" na druhou.
A dostáváme "c" se rovná
druhá odmocnina z 50.
50 je 2 krát 25,
takže "c" je rovno 5 krát odmocnina ze 2.
Zajímavé.
Doufám, že jste se dozvěděli
mnoho nových informací.
Pokud jste trochu zmatení,
zkuste se na video podívat ještě jednou.
V příštím videu si povíme něco více
o tomto typu trojúhelníku.
Je to běžný typ trojúhelníku,
setkáte se s ním v geometrii
a také v trigonometrii jako
s trojúhelníkem 45-45-90.
Říká se mu tak právě podle velikostí
jeho vnitřních úhlů,
45 stupňů, 45 stupňů
a 90 stupňů.
Ještě vám ukážu,
jak lze rychle určit velikost stran trojúhelníku,
pokud znám
velikosti úhlů 45, 45 a 90 stupňů
a také znám velikost jedné ze stran.
Doufám, že jsem vám příliš nepopletl,
a těším se,
že vás uvidím u příští prezentace.
Nashledanou!