1
00:00:00,000 --> 00:00:05,640
欢迎来到关于45 45 90度的三角形的介绍

2
00:00:05,640 --> 00:00:06,720
让我把它写下来

3
00:00:06,720 --> 00:00:08,470
这笔怎么 哦 现在好了

4
00:00:08,500 --> 00:00:13,850
45 45 90度的三角形

5
00:00:15,900 --> 00:00:19,500
是45 45 90直角三角 但这样说多此一举了

6
00:00:19,550 --> 00:00:21,930
因为我们都知道有90度角的

7
00:00:21,930 --> 00:00:23,260
任意三角形都是直角三角形

8
00:00:23,310 --> 00:00:28,140
大家可以想象 45 45 90 其实是

9
00:00:28,240 --> 00:00:30,520
该三角形的三个角的度数

10
00:00:30,520 --> 00:00:33,060
但为什么这样的等边直角三角形很特殊呢

11
00:00:33,110 --> 00:00:36,030
其实 如果你记得 上一节课上

12
00:00:36,030 --> 00:00:40,700
我讲了一个小定理 也就是底边两夹角相等

13
00:00:43,140 --> 00:00:49,250
的三角形例子中这条边是底边

14
00:00:49,250 --> 00:00:50,140
因为我把它画在了底下

15
00:00:50,210 --> 00:00:52,110
你也可以这样画 这样的话 底边便没有那么

16
00:00:52,110 --> 00:00:54,310
明显了 但是 它还是被叫做底边

17
00:00:54,310 --> 00:00:59,120
如果这两个角相等 那么这两角的

18
00:00:59,120 --> 00:01:02,470
不共边 在这个例子里 是这条和这条边

19
00:01:02,470 --> 00:01:05,470
或者是 这条和这条 两条不共边

20
00:01:05,470 --> 00:01:06,590
就相等

21
00:01:06,590 --> 00:01:11,260
等边直角三角形的有趣之处就是

22
00:01:11,280 --> 00:01:13,820
它是一个有着等边性质的直角三角形

23
00:01:13,870 --> 00:01:17,010
那我们怎样知道它是唯一一个有着等边性质的

24
00:01:17,030 --> 00:01:17,760
直角三角形呢

25
00:01:17,810 --> 00:01:21,100
其实 你可以试着想象 假设我给你

26
00:01:21,100 --> 00:01:22,080
一个直角三角形

27
00:01:22,080 --> 00:01:27,030
那么这是90度 这条边是斜边

28
00:01:27,030 --> 00:01:31,200
也就是直角的对边

29
00:01:31,230 --> 00:01:37,000
如果我告诉你这两个角相等

30
00:01:37,000 --> 00:01:39,860
那么这两个角必须是多少度呢

31
00:01:39,860 --> 00:01:43,170
设两角各为x度 我们知道

32
00:01:43,190 --> 00:01:45,500
三角形内角和是180度

33
00:01:45,500 --> 00:01:49,450
那么x加x加上90

34
00:01:49,480 --> 00:01:51,690
就等于180

35
00:01:51,720 --> 00:01:57,280
也就是2x加90 等于180

36
00:01:57,280 --> 00:02:00,580
化简得2x等于90

37
00:02:00,630 --> 00:02:03,970
解得x等于45度

38
00:02:03,970 --> 00:02:10,590
所以45 45 90三角形是唯一一个有等边性质的

39
00:02:10,610 --> 00:02:16,250
直角三角形

40
00:02:16,250 --> 00:02:21,130
45 45 90三角形还有什么有趣之处呢

41
00:02:21,130 --> 00:02:25,320
除了我刚才说的 让我重新画出来

42
00:02:25,320 --> 00:02:28,560
看看我重新画的

43
00:02:28,560 --> 00:02:33,130
我们已经知道这个角是90度 这个是45度

44
00:02:33,130 --> 00:02:36,830
这个也是45度

45
00:02:36,830 --> 00:02:40,100
根据我刚说的 我们也知道

46
00:02:40,100 --> 00:02:46,130
45度角的不共边是相等的

47
00:02:46,130 --> 00:02:49,280
所以这两条边相等

48
00:02:49,330 --> 00:02:52,560
如果我们从勾股定理的角度来看

49
00:02:52,560 --> 00:02:55,540
不是弦 也就是不是斜边的两条边

50
00:02:55,540 --> 00:02:57,080
相等

51
00:02:57,120 --> 00:02:59,320
所以这是斜边

52
00:03:03,170 --> 00:03:08,280
让我们叫这条边A 这一条B

53
00:03:08,280 --> 00:03:11,820
由勾股定理 可得

54
00:03:11,820 --> 00:03:15,280
斜边C根据勾股定理

55
00:03:15,280 --> 00:03:21,210
C的平方就等于A和B的平方和

56
00:03:21,210 --> 00:03:21,930
对吗

57
00:03:21,980 --> 00:03:27,410
知道A等于B 因为这是一个

58
00:03:27,410 --> 00:03:29,820
等边直角三角形

59
00:03:29,820 --> 00:03:32,350
所以我们可以用等量代换

60
00:03:32,400 --> 00:03:34,340
那让我们用B来代换A

61
00:03:34,380 --> 00:03:39,380
所以B平方加上B平方

62
00:03:39,380 --> 00:03:40,970
等于C平方

63
00:03:40,970 --> 00:03:46,540
或者说2B平方等于C平方

64
00:03:46,540 --> 00:03:54,040
也就是B平方等于C平方除以2

65
00:03:54,040 --> 00:04:02,870
所以B就等于根号下C平方除以2

66
00:04:02,870 --> 00:04:06,550
也就等于如果我们同时在

67
00:04:06,550 --> 00:04:08,530
分母和分子开二次方B就等于

68
00:04:08,530 --> 00:04:10,800
C除以根号2

69
00:04:10,830 --> 00:04:15,600
其实 虽然这是一个关于三角形的课程

70
00:04:15,620 --> 00:04:17,940
但我要介绍一些额外的知识

71
00:04:17,960 --> 00:04:19,590
那就是分母有理化

72
00:04:19,630 --> 00:04:21,340
这个答案是完全正确的

73
00:04:21,380 --> 00:04:26,040
我们刚得出B的表达式知道A等于B

74
00:04:26,040 --> 00:04:28,870
而B又等于C除以根号2

75
00:04:28,910 --> 00:04:31,760
其实在数学很多相关领域里我都不太了解

76
00:04:31,780 --> 00:04:34,830
到底为什么很多人

77
00:04:34,850 --> 00:04:38,220
不喜欢在分母上的根号2

78
00:04:38,260 --> 00:04:41,100
广义上来说他们不喜欢在分母上的

79
00:04:41,150 --> 00:04:41,790
无理数

80
00:04:41,790 --> 00:04:44,710
无理数被定义为小数点之后的数字有无限多个

81
00:04:44,710 --> 00:04:46,620
并且不会循环

82
00:04:46,670 --> 00:04:50,310
所以便有了去掉分母上的

83
00:04:50,330 --> 00:04:52,330
无理数的叫作分母有理化的

84
00:04:52,360 --> 00:04:53,090
方法

85
00:04:53,170 --> 00:04:55,890
如何进行分母有理化呢

86
00:04:55,930 --> 00:04:56,830
让我们用这个例子来看看

87
00:04:56,830 --> 00:05:00,470
如果我们有C除以根号2

88
00:05:00,470 --> 00:05:03,480
我们可以在分母分子上同时乘以一个

89
00:05:03,480 --> 00:05:05,670
相同的数值 对吗

90
00:05:05,670 --> 00:05:08,180
因为当分子分母被同时乘以

91
00:05:08,180 --> 00:05:10,940
相同数值时 就好像是 同时对分子分母乘以1

92
00:05:10,940 --> 00:05:14,040
因为根号2除以根号2还是1

93
00:05:14,040 --> 00:05:16,020
正如你所见 我们这样做的原因就是

94
00:05:16,020 --> 00:05:17,340
根号2乘以根号2根号2乘以

95
00:05:17,340 --> 00:05:18,700
根号2等于多少呢

96
00:05:18,700 --> 00:05:20,030
没错 就是2了

97
00:05:20,030 --> 00:05:20,960
对吗

98
00:05:20,960 --> 00:05:24,460
正如刚刚说的 某数乘以同一个数值是2

99
00:05:24,460 --> 00:05:26,220
那么根号2乘以根号2就是2了

100
00:05:26,250 --> 00:05:30,190
然后分子上的C也要乘以根号2

101
00:05:30,190 --> 00:05:34,790
注意了 C乘以根号2再除以2和

102
00:05:34,790 --> 00:05:37,090
C除以根号2是完全等同的

103
00:05:37,130 --> 00:05:39,990
这一点 同学们必须很清楚 因为有时候

104
00:05:40,020 --> 00:05:41,990
当你在做某个标准化的测试或者

105
00:05:42,020 --> 00:05:44,670
在自己教室考试 你得到的答案

106
00:05:44,670 --> 00:05:47,370
可能是分母上有个根号2

107
00:05:47,370 --> 00:05:49,490
或者是根号3什么的

108
00:05:49,490 --> 00:05:52,130
如果是选择题你可能看不到

109
00:05:52,130 --> 00:05:52,800
和自己答案形式一样的选项

110
00:05:52,800 --> 00:05:55,720
你需要做的就是分母有理化

111
00:05:55,720 --> 00:05:58,330
同时将分子分母乘以根号2

112
00:05:58,330 --> 00:06:01,010
便得根号2除以2

113
00:06:01,040 --> 00:06:03,170
但是 回到我们手上的问题

114
00:06:03,200 --> 00:06:04,510
所以我们学到了什么呢

115
00:06:04,540 --> 00:06:06,340
这条边是B

116
00:06:06,380 --> 00:06:11,590
而且B等于C乘以根号2

117
00:06:11,630 --> 00:06:12,540
再除以2

118
00:06:12,540 --> 00:06:14,880
先让我把这个写下来

119
00:06:14,880 --> 00:06:16,910
我们也知道A等于B

120
00:06:16,910 --> 00:06:26,800
而B等于根号2除以2乘以C

121
00:06:26,800 --> 00:06:30,090
请记住这个结果 当然 你随时可以

122
00:06:30,090 --> 00:06:32,910
用勾股定理自行推导这个结果

123
00:06:32,910 --> 00:06:36,280
但是要记住在等边直角三角形中

124
00:06:36,280 --> 00:06:40,000
不是斜边的边相等

125
00:06:40,000 --> 00:06:41,900
但是这个结果最好还是知道的好

126
00:06:41,920 --> 00:06:45,450
因为如果 打比方说你在考SAT时

127
00:06:45,450 --> 00:06:48,570
你必须和时间赛跑 如果你记住了这个结果

128
00:06:48,570 --> 00:06:50,490
在知道斜边的情况下便可以很快地算出

129
00:06:50,490 --> 00:06:52,770
其等边或者是如果知道其等边

130
00:06:52,770 --> 00:06:54,010
你也可以很快地算出三角形斜边

131
00:06:54,060 --> 00:06:55,180
好 让我们试试

132
00:06:55,220 --> 00:06:57,850
我要擦掉这些咯

133
00:06:57,850 --> 00:07:05,550
我们已经知道A等于B

134
00:07:05,590 --> 00:07:09,490
等于根号2除以2乘以C

135
00:07:09,490 --> 00:07:16,850
已知一直角三角形 也已知一角为90度

136
00:07:16,870 --> 00:07:23,320
一角为45度 还有这条边

137
00:07:23,320 --> 00:07:27,510
让我们设它为8吧

138
00:07:27,510 --> 00:07:31,760
求这条边的值

139
00:07:31,760 --> 00:07:34,970
首先我们要找出

140
00:07:35,000 --> 00:07:35,890
哪一条边是斜边

141
00:07:35,920 --> 00:07:39,830
斜边是直角的对边

142
00:07:39,860 --> 00:07:41,730
我们现在要试着找出斜边

143
00:07:41,730 --> 00:07:43,750
设斜边为C

144
00:07:43,750 --> 00:07:47,840
我们也知道这是一个45 45 90度三角形

145
00:07:47,840 --> 00:07:50,440
因为一个角是45度 那么另一个也是45度

146
00:07:50,460 --> 00:07:54,280
因为45加45加90等于180

147
00:07:54,280 --> 00:07:58,910
所以这是一个等边直角三角形 已知其中一边

148
00:07:58,960 --> 00:08:06,620
这一边可能是A或B 但我们知道的是

149
00:08:06,620 --> 00:08:10,040
8等于根号2除以2乘以C

150
00:08:10,040 --> 00:08:11,960
C是未知数

151
00:08:11,960 --> 00:08:16,880
在方程两边同时乘以2

152
00:08:16,880 --> 00:08:20,350
再乘以根号2 也就是同时在等式两边

153
00:08:20,350 --> 00:08:23,630
同时乘以C系数的倒数

154
00:08:23,630 --> 00:08:26,060
因为这样 根号2能约掉根号2

155
00:08:26,060 --> 00:08:27,670
2也可以和2抵消

156
00:08:27,670 --> 00:08:36,840
2乘以8就是16 16除以根号2等于C

157
00:08:36,870 --> 00:08:40,480
这个结果理论上没错 但是分母上有无理数

158
00:08:40,510 --> 00:08:42,150
的数值往往不讨人喜欢

159
00:08:42,150 --> 00:08:46,910
所以我们可以说C等于16除以根号2

160
00:08:46,910 --> 00:08:50,880
再乘以根号2除以根号2

161
00:08:50,920 --> 00:08:58,320
所以答案是16乘以根号2除以2

162
00:08:58,320 --> 00:09:03,550
化简后得8乘以根号2

163
00:09:03,550 --> 00:09:09,880
所以例题中的C等于8乘以根号2

164
00:09:09,910 --> 00:09:13,580
我们也知道既然这是一个等边直角三角形

165
00:09:13,580 --> 00:09:15,200
而且这条边是8

166
00:09:15,200 --> 00:09:17,790
希望这对你不是毫无意义

167
00:09:17,820 --> 00:09:20,130
在下节课中 我将向大家

168
00:09:20,160 --> 00:09:21,130
介绍不同种类的三角形

169
00:09:21,180 --> 00:09:23,040
事实上 我可能在开始下一个章节前

170
00:09:23,090 --> 00:09:25,180
用例题来巩固今天的内容 因为我觉得我好像讲得太匆忙了

171
00:09:25,210 --> 00:09:27,980
无论如何 下节课再见