0:00:00.000,0:00:05.640
欢迎来到关于45 45 90度的三角形的介绍

0:00:05.640,0:00:06.720
让我把它写下来

0:00:06.720,0:00:08.470
这笔怎么 哦 现在好了

0:00:08.500,0:00:13.850
45 45 90度的三角形

0:00:15.900,0:00:19.500
是45 45 90直角三角 但这样说多此一举了

0:00:19.550,0:00:21.930
因为我们都知道有90度角的

0:00:21.930,0:00:23.260
任意三角形都是直角三角形

0:00:23.310,0:00:28.140
大家可以想象 45 45 90 其实是

0:00:28.240,0:00:30.520
该三角形的三个角的度数

0:00:30.520,0:00:33.060
但为什么这样的等边直角三角形很特殊呢

0:00:33.110,0:00:36.030
其实 如果你记得 上一节课上

0:00:36.030,0:00:40.700
我讲了一个小定理 也就是底边两夹角相等

0:00:43.140,0:00:49.250
的三角形例子中这条边是底边

0:00:49.250,0:00:50.140
因为我把它画在了底下

0:00:50.210,0:00:52.110
你也可以这样画 这样的话 底边便没有那么

0:00:52.110,0:00:54.310
明显了 但是 它还是被叫做底边

0:00:54.310,0:00:59.120
如果这两个角相等 那么这两角的

0:00:59.120,0:01:02.470
不共边 在这个例子里 是这条和这条边

0:01:02.470,0:01:05.470
或者是 这条和这条 两条不共边

0:01:05.470,0:01:06.590
就相等

0:01:06.590,0:01:11.260
等边直角三角形的有趣之处就是

0:01:11.280,0:01:13.820
它是一个有着等边性质的直角三角形

0:01:13.870,0:01:17.010
那我们怎样知道它是唯一一个有着等边性质的

0:01:17.030,0:01:17.760
直角三角形呢

0:01:17.810,0:01:21.100
其实 你可以试着想象 假设我给你

0:01:21.100,0:01:22.080
一个直角三角形

0:01:22.080,0:01:27.030
那么这是90度 这条边是斜边

0:01:27.030,0:01:31.200
也就是直角的对边

0:01:31.230,0:01:37.000
如果我告诉你这两个角相等

0:01:37.000,0:01:39.860
那么这两个角必须是多少度呢

0:01:39.860,0:01:43.170
设两角各为x度 我们知道

0:01:43.190,0:01:45.500
三角形内角和是180度

0:01:45.500,0:01:49.450
那么x加x加上90

0:01:49.480,0:01:51.690
就等于180

0:01:51.720,0:01:57.280
也就是2x加90 等于180

0:01:57.280,0:02:00.580
化简得2x等于90

0:02:00.630,0:02:03.970
解得x等于45度

0:02:03.970,0:02:10.590
所以45 45 90三角形是唯一一个有等边性质的

0:02:10.610,0:02:16.250
直角三角形

0:02:16.250,0:02:21.130
45 45 90三角形还有什么有趣之处呢

0:02:21.130,0:02:25.320
除了我刚才说的 让我重新画出来

0:02:25.320,0:02:28.560
看看我重新画的

0:02:28.560,0:02:33.130
我们已经知道这个角是90度 这个是45度

0:02:33.130,0:02:36.830
这个也是45度

0:02:36.830,0:02:40.100
根据我刚说的 我们也知道

0:02:40.100,0:02:46.130
45度角的不共边是相等的

0:02:46.130,0:02:49.280
所以这两条边相等

0:02:49.330,0:02:52.560
如果我们从勾股定理的角度来看

0:02:52.560,0:02:55.540
不是弦 也就是不是斜边的两条边

0:02:55.540,0:02:57.080
相等

0:02:57.120,0:02:59.320
所以这是斜边

0:03:03.170,0:03:08.280
让我们叫这条边A 这一条B

0:03:08.280,0:03:11.820
由勾股定理 可得

0:03:11.820,0:03:15.280
斜边C根据勾股定理

0:03:15.280,0:03:21.210
C的平方就等于A和B的平方和

0:03:21.210,0:03:21.930
对吗

0:03:21.980,0:03:27.410
知道A等于B 因为这是一个

0:03:27.410,0:03:29.820
等边直角三角形

0:03:29.820,0:03:32.350
所以我们可以用等量代换

0:03:32.400,0:03:34.340
那让我们用B来代换A

0:03:34.380,0:03:39.380
所以B平方加上B平方

0:03:39.380,0:03:40.970
等于C平方

0:03:40.970,0:03:46.540
或者说2B平方等于C平方

0:03:46.540,0:03:54.040
也就是B平方等于C平方除以2

0:03:54.040,0:04:02.870
所以B就等于根号下C平方除以2

0:04:02.870,0:04:06.550
也就等于如果我们同时在

0:04:06.550,0:04:08.530
分母和分子开二次方B就等于

0:04:08.530,0:04:10.800
C除以根号2

0:04:10.830,0:04:15.600
其实 虽然这是一个关于三角形的课程

0:04:15.620,0:04:17.940
但我要介绍一些额外的知识

0:04:17.960,0:04:19.590
那就是分母有理化

0:04:19.630,0:04:21.340
这个答案是完全正确的

0:04:21.380,0:04:26.040
我们刚得出B的表达式知道A等于B

0:04:26.040,0:04:28.870
而B又等于C除以根号2

0:04:28.910,0:04:31.760
其实在数学很多相关领域里我都不太了解

0:04:31.780,0:04:34.830
到底为什么很多人

0:04:34.850,0:04:38.220
不喜欢在分母上的根号2

0:04:38.260,0:04:41.100
广义上来说他们不喜欢在分母上的

0:04:41.150,0:04:41.790
无理数

0:04:41.790,0:04:44.710
无理数被定义为小数点之后的数字有无限多个

0:04:44.710,0:04:46.620
并且不会循环

0:04:46.670,0:04:50.310
所以便有了去掉分母上的

0:04:50.330,0:04:52.330
无理数的叫作分母有理化的

0:04:52.360,0:04:53.090
方法

0:04:53.170,0:04:55.890
如何进行分母有理化呢

0:04:55.930,0:04:56.830
让我们用这个例子来看看

0:04:56.830,0:05:00.470
如果我们有C除以根号2

0:05:00.470,0:05:03.480
我们可以在分母分子上同时乘以一个

0:05:03.480,0:05:05.670
相同的数值 对吗

0:05:05.670,0:05:08.180
因为当分子分母被同时乘以

0:05:08.180,0:05:10.940
相同数值时 就好像是 同时对分子分母乘以1

0:05:10.940,0:05:14.040
因为根号2除以根号2还是1

0:05:14.040,0:05:16.020
正如你所见 我们这样做的原因就是

0:05:16.020,0:05:17.340
根号2乘以根号2根号2乘以

0:05:17.340,0:05:18.700
根号2等于多少呢

0:05:18.700,0:05:20.030
没错 就是2了

0:05:20.030,0:05:20.960
对吗

0:05:20.960,0:05:24.460
正如刚刚说的 某数乘以同一个数值是2

0:05:24.460,0:05:26.220
那么根号2乘以根号2就是2了

0:05:26.250,0:05:30.190
然后分子上的C也要乘以根号2

0:05:30.190,0:05:34.790
注意了 C乘以根号2再除以2和

0:05:34.790,0:05:37.090
C除以根号2是完全等同的

0:05:37.130,0:05:39.990
这一点 同学们必须很清楚 因为有时候

0:05:40.020,0:05:41.990
当你在做某个标准化的测试或者

0:05:42.020,0:05:44.670
在自己教室考试 你得到的答案

0:05:44.670,0:05:47.370
可能是分母上有个根号2

0:05:47.370,0:05:49.490
或者是根号3什么的

0:05:49.490,0:05:52.130
如果是选择题你可能看不到

0:05:52.130,0:05:52.800
和自己答案形式一样的选项

0:05:52.800,0:05:55.720
你需要做的就是分母有理化

0:05:55.720,0:05:58.330
同时将分子分母乘以根号2

0:05:58.330,0:06:01.010
便得根号2除以2

0:06:01.040,0:06:03.170
但是 回到我们手上的问题

0:06:03.200,0:06:04.510
所以我们学到了什么呢

0:06:04.540,0:06:06.340
这条边是B

0:06:06.380,0:06:11.590
而且B等于C乘以根号2

0:06:11.630,0:06:12.540
再除以2

0:06:12.540,0:06:14.880
先让我把这个写下来

0:06:14.880,0:06:16.910
我们也知道A等于B

0:06:16.910,0:06:26.800
而B等于根号2除以2乘以C

0:06:26.800,0:06:30.090
请记住这个结果 当然 你随时可以

0:06:30.090,0:06:32.910
用勾股定理自行推导这个结果

0:06:32.910,0:06:36.280
但是要记住在等边直角三角形中

0:06:36.280,0:06:40.000
不是斜边的边相等

0:06:40.000,0:06:41.900
但是这个结果最好还是知道的好

0:06:41.920,0:06:45.450
因为如果 打比方说你在考SAT时

0:06:45.450,0:06:48.570
你必须和时间赛跑 如果你记住了这个结果

0:06:48.570,0:06:50.490
在知道斜边的情况下便可以很快地算出

0:06:50.490,0:06:52.770
其等边或者是如果知道其等边

0:06:52.770,0:06:54.010
你也可以很快地算出三角形斜边

0:06:54.060,0:06:55.180
好 让我们试试

0:06:55.220,0:06:57.850
我要擦掉这些咯

0:06:57.850,0:07:05.550
我们已经知道A等于B

0:07:05.590,0:07:09.490
等于根号2除以2乘以C

0:07:09.490,0:07:16.850
已知一直角三角形 也已知一角为90度

0:07:16.870,0:07:23.320
一角为45度 还有这条边

0:07:23.320,0:07:27.510
让我们设它为8吧

0:07:27.510,0:07:31.760
求这条边的值

0:07:31.760,0:07:34.970
首先我们要找出

0:07:35.000,0:07:35.890
哪一条边是斜边

0:07:35.920,0:07:39.830
斜边是直角的对边

0:07:39.860,0:07:41.730
我们现在要试着找出斜边

0:07:41.730,0:07:43.750
设斜边为C

0:07:43.750,0:07:47.840
我们也知道这是一个45 45 90度三角形

0:07:47.840,0:07:50.440
因为一个角是45度 那么另一个也是45度

0:07:50.460,0:07:54.280
因为45加45加90等于180

0:07:54.280,0:07:58.910
所以这是一个等边直角三角形 已知其中一边

0:07:58.960,0:08:06.620
这一边可能是A或B 但我们知道的是

0:08:06.620,0:08:10.040
8等于根号2除以2乘以C

0:08:10.040,0:08:11.960
C是未知数

0:08:11.960,0:08:16.880
在方程两边同时乘以2

0:08:16.880,0:08:20.350
再乘以根号2 也就是同时在等式两边

0:08:20.350,0:08:23.630
同时乘以C系数的倒数

0:08:23.630,0:08:26.060
因为这样 根号2能约掉根号2

0:08:26.060,0:08:27.670
2也可以和2抵消

0:08:27.670,0:08:36.840
2乘以8就是16 16除以根号2等于C

0:08:36.870,0:08:40.480
这个结果理论上没错 但是分母上有无理数

0:08:40.510,0:08:42.150
的数值往往不讨人喜欢

0:08:42.150,0:08:46.910
所以我们可以说C等于16除以根号2

0:08:46.910,0:08:50.880
再乘以根号2除以根号2

0:08:50.920,0:08:58.320
所以答案是16乘以根号2除以2

0:08:58.320,0:09:03.550
化简后得8乘以根号2

0:09:03.550,0:09:09.880
所以例题中的C等于8乘以根号2

0:09:09.910,0:09:13.580
我们也知道既然这是一个等边直角三角形

0:09:13.580,0:09:15.200
而且这条边是8

0:09:15.200,0:09:17.790
希望这对你不是毫无意义

0:09:17.820,0:09:20.130
在下节课中 我将向大家

0:09:20.160,0:09:21.130
介绍不同种类的三角形

0:09:21.180,0:09:23.040
事实上 我可能在开始下一个章节前

0:09:23.090,0:09:25.180
用例题来巩固今天的内容 因为我觉得我好像讲得太匆忙了

0:09:25.210,0:09:27.980
无论如何 下节课再见