欢迎来到关于45 45 90度的三角形的介绍
让我把它写下来
这笔怎么 哦 现在好了
45 45 90度的三角形
是45 45 90直角三角 但这样说多此一举了
因为我们都知道有90度角的
任意三角形都是直角三角形
大家可以想象 45 45 90 其实是
该三角形的三个角的度数
但为什么这样的等边直角三角形很特殊呢
其实 如果你记得 上一节课上
我讲了一个小定理 也就是底边两夹角相等
的三角形例子中这条边是底边
因为我把它画在了底下
你也可以这样画 这样的话 底边便没有那么
明显了 但是 它还是被叫做底边
如果这两个角相等 那么这两角的
不共边 在这个例子里 是这条和这条边
或者是 这条和这条 两条不共边
就相等
等边直角三角形的有趣之处就是
它是一个有着等边性质的直角三角形
那我们怎样知道它是唯一一个有着等边性质的
直角三角形呢
其实 你可以试着想象 假设我给你
一个直角三角形
那么这是90度 这条边是斜边
也就是直角的对边
如果我告诉你这两个角相等
那么这两个角必须是多少度呢
设两角各为x度 我们知道
三角形内角和是180度
那么x加x加上90
就等于180
也就是2x加90 等于180
化简得2x等于90
解得x等于45度
所以45 45 90三角形是唯一一个有等边性质的
直角三角形
45 45 90三角形还有什么有趣之处呢
除了我刚才说的 让我重新画出来
看看我重新画的
我们已经知道这个角是90度 这个是45度
这个也是45度
根据我刚说的 我们也知道
45度角的不共边是相等的
所以这两条边相等
如果我们从勾股定理的角度来看
不是弦 也就是不是斜边的两条边
相等
所以这是斜边
让我们叫这条边A 这一条B
由勾股定理 可得
斜边C根据勾股定理
C的平方就等于A和B的平方和
对吗
知道A等于B 因为这是一个
等边直角三角形
所以我们可以用等量代换
那让我们用B来代换A
所以B平方加上B平方
等于C平方
或者说2B平方等于C平方
也就是B平方等于C平方除以2
所以B就等于根号下C平方除以2
也就等于如果我们同时在
分母和分子开二次方B就等于
C除以根号2
其实 虽然这是一个关于三角形的课程
但我要介绍一些额外的知识
那就是分母有理化
这个答案是完全正确的
我们刚得出B的表达式知道A等于B
而B又等于C除以根号2
其实在数学很多相关领域里我都不太了解
到底为什么很多人
不喜欢在分母上的根号2
广义上来说他们不喜欢在分母上的
无理数
无理数被定义为小数点之后的数字有无限多个
并且不会循环
所以便有了去掉分母上的
无理数的叫作分母有理化的
方法
如何进行分母有理化呢
让我们用这个例子来看看
如果我们有C除以根号2
我们可以在分母分子上同时乘以一个
相同的数值 对吗
因为当分子分母被同时乘以
相同数值时 就好像是 同时对分子分母乘以1
因为根号2除以根号2还是1
正如你所见 我们这样做的原因就是
根号2乘以根号2根号2乘以
根号2等于多少呢
没错 就是2了
对吗
正如刚刚说的 某数乘以同一个数值是2
那么根号2乘以根号2就是2了
然后分子上的C也要乘以根号2
注意了 C乘以根号2再除以2和
C除以根号2是完全等同的
这一点 同学们必须很清楚 因为有时候
当你在做某个标准化的测试或者
在自己教室考试 你得到的答案
可能是分母上有个根号2
或者是根号3什么的
如果是选择题你可能看不到
和自己答案形式一样的选项
你需要做的就是分母有理化
同时将分子分母乘以根号2
便得根号2除以2
但是 回到我们手上的问题
所以我们学到了什么呢
这条边是B
而且B等于C乘以根号2
再除以2
先让我把这个写下来
我们也知道A等于B
而B等于根号2除以2乘以C
请记住这个结果 当然 你随时可以
用勾股定理自行推导这个结果
但是要记住在等边直角三角形中
不是斜边的边相等
但是这个结果最好还是知道的好
因为如果 打比方说你在考SAT时
你必须和时间赛跑 如果你记住了这个结果
在知道斜边的情况下便可以很快地算出
其等边或者是如果知道其等边
你也可以很快地算出三角形斜边
好 让我们试试
我要擦掉这些咯
我们已经知道A等于B
等于根号2除以2乘以C
已知一直角三角形 也已知一角为90度
一角为45度 还有这条边
让我们设它为8吧
求这条边的值
首先我们要找出
哪一条边是斜边
斜边是直角的对边
我们现在要试着找出斜边
设斜边为C
我们也知道这是一个45 45 90度三角形
因为一个角是45度 那么另一个也是45度
因为45加45加90等于180
所以这是一个等边直角三角形 已知其中一边
这一边可能是A或B 但我们知道的是
8等于根号2除以2乘以C
C是未知数
在方程两边同时乘以2
再乘以根号2 也就是同时在等式两边
同时乘以C系数的倒数
因为这样 根号2能约掉根号2
2也可以和2抵消
2乘以8就是16 16除以根号2等于C
这个结果理论上没错 但是分母上有无理数
的数值往往不讨人喜欢
所以我们可以说C等于16除以根号2
再乘以根号2除以根号2
所以答案是16乘以根号2除以2
化简后得8乘以根号2
所以例题中的C等于8乘以根号2
我们也知道既然这是一个等边直角三角形
而且这条边是8
希望这对你不是毫无意义
在下节课中 我将向大家
介绍不同种类的三角形
事实上 我可能在开始下一个章节前
用例题来巩固今天的内容 因为我觉得我好像讲得太匆忙了
无论如何 下节课再见