WEBVTT

00:00:05.007 --> 00:00:07.006
Добро пожаловать на урок

00:00:07.006 --> 00:00:11.002
«Треугольники с углами 45, 45 и 90 градусов».

00:00:11.002 --> 00:00:12.006
Давайте я это запишу.

00:00:12.006 --> 00:00:17.004
45, 45 и 90.

00:00:17.004 --> 00:00:18.006
Или мы можем сказать:

00:00:18.006 --> 00:00:23.001
прямоугольные треугольники с углами 45,45 и 90°.

00:00:23.001 --> 00:00:25.000
Хотя это может быть лишним, ведь мы знаем,

00:00:25.000 --> 00:00:28.005
что угол 90° называется прямым.

00:00:28.005 --> 00:00:30.000
И как вы могли догадаться,

00:00:30.000 --> 00:00:34.002
45,45,90 – это градусы углов треугольника.

00:00:34.002 --> 00:00:38.003
Чем эти треугольники особенные?

00:00:38.003 --> 00:00:40.002
Если вы смотрели прошлую презентацию,

00:00:40.002 --> 00:00:42.006
я в ней рассказывал теорему:

00:00:42.006 --> 00:00:50.006
если два угла у основания треугольника равны

00:00:50.006 --> 00:00:52.070
(а третий может не равняться им) -

00:00:52.070 --> 00:00:54.007
если вы нарисуете вот так,

00:00:54.007 --> 00:00:57.000
если же вы нарисуете это так, это может быть

00:00:57.000 --> 00:00:58.002
не так очевидно,

00:00:58.002 --> 00:00:59.026
т.к. эти углы расположены вверху,

00:00:59.026 --> 00:01:02.008
но именно они являются углами у основания.

00:01:02.008 --> 00:01:04.009
Так вот, если эти два угла равны, тогда стороны,

00:01:04.009 --> 00:01:07.002
которые не являются для них общими -

00:01:07.002 --> 00:01:09.008
вот эта и вот эта, а здесь - эта и эта -

00:01:09.008 --> 00:01:11.008
тоже будут равны.

00:01:11.008 --> 00:01:12.022
Что интересно,

00:01:12.022 --> 00:01:16.004
что треугольник с углами 45, 45 и 90° –

00:01:16.004 --> 00:01:18.001
это прямоугольный треугольник,

00:01:18.001 --> 00:01:19.093
обладающий данным свойством.

00:01:19.093 --> 00:01:21.009
Или, другими словами,

00:01:21.009 --> 00:01:24.004
это равнобедренный прямоугольный треугольник.

00:01:24.004 --> 00:01:26.002
И как увидеть, что прямоугольный треугольник

00:01:26.002 --> 00:01:28.001
обладает таким свойством?

00:01:28.001 --> 00:01:30.008
Вот представьте такой прямоугольный треугольник.

00:01:30.008 --> 00:01:33.004
Это 90°, это гипотенуза –

00:01:33.004 --> 00:01:35.049
сторона, противоположная прямому углу.

00:01:35.049 --> 00:01:42.001
И если мы уже знаем, что эти углы равны,

00:01:42.001 --> 00:01:44.007
то какими они будут?

00:01:44.007 --> 00:01:46.049
Давайте обозначим их "х".

00:01:46.049 --> 00:01:47.028
Мы знаем,

00:01:47.028 --> 00:01:51.006
что сумма всех углов треугольника 180°.

00:01:51.006 --> 00:01:57.006
Значит х+х+90=180.

00:01:57.006 --> 00:02:01.006
Или 2х+90=180.

00:02:02.034 --> 00:02:06.000
Или 2х=90.

00:02:06.000 --> 00:02:09.008
Или х=45°.

00:02:09.008 --> 00:02:10.009
Т.е. прямоугольный треугольник,

00:02:10.009 --> 00:02:13.000
в котором два остальных угла равны,

00:02:13.000 --> 00:02:23.049
будет треугольником с углами 45, 45 и 90°.

00:02:23.049 --> 00:02:25.047
Что интересного мы можем узнать

00:02:25.047 --> 00:02:29.006
про треугольники с углами 45, 45 и 90°?

00:02:29.006 --> 00:02:30.088
Давайте я ещё раз зарисую то,

00:02:30.088 --> 00:02:33.002
о чём мы только что говорили.

00:02:33.002 --> 00:02:35.001
Я перерисую это вот так.

00:02:35.001 --> 00:02:42.070
Мы знаем, что это - 90°, это - 45°, это - 45°.

00:02:42.070 --> 00:02:44.020
И, основываясь на том, что мы уже знаем -

00:02:44.020 --> 00:02:47.000
стороны, которые не общие

00:02:47.000 --> 00:02:50.021
для углов в 45°, равны,

00:02:50.021 --> 00:02:55.002
т.е. эта сторона и эта сторона равны -

00:02:55.002 --> 00:02:58.001
рассмотрим это со стороны теоремы Пифагора.

00:02:58.001 --> 00:03:01.000
Две стороны, не являющиеся

00:03:01.000 --> 00:03:03.085
гипотенузой треугольника, равны.

00:03:03.085 --> 00:03:08.007
Это гипотенуза.

00:03:08.007 --> 00:03:13.077
Назовем эту сторону А, а эту сторону В.

00:03:13.077 --> 00:03:16.091
Гипотенузу давайте назовем С.

00:03:16.091 --> 00:03:26.000
Мы знаем из теоремы Пифагора: А²+В²=С².

00:03:26.000 --> 00:03:28.002
Мы знаем, что А равна В,

00:03:28.002 --> 00:03:32.001
поскольку это треугольник с углами 45, 45 и 90°.

00:03:32.001 --> 00:03:34.008
Мы можем заменить А на В или В на А.

00:03:34.008 --> 00:03:36.006
Давайте заменим А на В.

00:03:36.006 --> 00:03:44.054
Получаем: В²+В²=С².

00:03:44.054 --> 00:03:51.075
Или 2В²=С².

00:03:51.075 --> 00:03:59.004
Или В²=С²/2.

00:03:59.004 --> 00:04:08.079
Или В=√(С²/2).

00:04:08.079 --> 00:04:11.004
Что, в свою очередь, равно С

00:04:11.004 --> 00:04:17.001
(так как мы извлекли √С²) делить на √2.

00:04:17.001 --> 00:04:19.005
Несмотря на то, что это видео о треугольниках,

00:04:19.005 --> 00:04:20.024
я расскажу вам немного

00:04:20.024 --> 00:04:22.026
о рациональных знаменателях.

00:04:22.026 --> 00:04:25.006
Т.е. здесь у нас всё абсолютно правильно.

00:04:25.006 --> 00:04:29.006
Мы только что нашли В, и мы знаем, что А=В.

00:04:29.006 --> 00:04:33.005
А В, в свою очередь, равно С/√2.

00:04:33.005 --> 00:04:35.002
И так повелось в математике,

00:04:35.002 --> 00:04:37.091
я сам не знаю почему, люди не очень любят,

00:04:37.091 --> 00:04:41.003
когда в знаменателе видят √2.

00:04:41.003 --> 00:04:42.005
Они вообще не любят

00:04:42.005 --> 00:04:44.007
иррациональные числа в знаменателе.

00:04:44.007 --> 00:04:47.003
Иррациональные числа – это десятичная дробь,

00:04:47.003 --> 00:04:48.072
цифры в которой после запятой

00:04:48.072 --> 00:04:52.006
никогда не повторяются и никогда не заканчиваются.

00:04:52.006 --> 00:04:55.002
Как исключить иррациональность из знаменателя–

00:04:55.002 --> 00:04:58.080
давайте посмотрим.

00:04:58.080 --> 00:05:05.006
Если у нас есть С/√2,

00:05:05.006 --> 00:05:08.008
давайте просто умножим числитель и знаменатель

00:05:08.008 --> 00:05:10.005
на одну и ту же величину.

00:05:10.005 --> 00:05:11.073
Умножить и числитель, и знаменатель

00:05:11.073 --> 00:05:13.025
на одно и то же число - это то же самое,

00:05:13.025 --> 00:05:14.077
что и просто умножить числитель

00:05:14.077 --> 00:05:17.003
и знаменатель на 1.

00:05:17.003 --> 00:05:21.004
√2/√2 – это и есть 1.

00:05:21.004 --> 00:05:28.069
И, как вы видите, √2*√2 - получается 2, правильно?

00:05:28.069 --> 00:05:33.005
А в числителе: √2*С.

00:05:33.005 --> 00:05:36.040
Заметьте, что (√2*С)/2 –

00:05:36.040 --> 00:05:41.000
это то же самое, что и С/√2.

00:05:41.000 --> 00:05:43.000
И это важно понимать, потому что иногда вы

00:05:43.000 --> 00:05:45.006
проходите тест или пишите контрольную в классе,

00:05:45.006 --> 00:05:47.001
и у вас могут быть варианты ответов,

00:05:47.001 --> 00:05:48.034
которые выглядят вот так.

00:05:48.034 --> 00:05:51.004
В них есть √2 или даже √3

00:05:51.004 --> 00:05:53.002
или что-то другое в знаменателе.

00:05:53.002 --> 00:05:55.005
И вы можете не понять, что это правильный ответ,

00:05:55.005 --> 00:05:57.074
если тест содержит несколько вариантов ответов.

00:05:57.074 --> 00:05:59.004
Что вам нужно сделать в таком случае,

00:05:59.004 --> 00:06:02.003
так это исключить иррациональность из знаменателя.

00:06:02.003 --> 00:06:04.007
Умножьте числитель и знаменатель на √2,

00:06:04.007 --> 00:06:07.005
и вы получите √2/2.

00:06:07.005 --> 00:06:08.008
Вернёмся к задаче.

00:06:08.008 --> 00:06:10.000
Что мы выучили?

00:06:10.000 --> 00:06:12.004
Это равно В, так?

00:06:12.004 --> 00:06:19.002
Получается, что В=(√2*С)/2.

00:06:19.002 --> 00:06:21.006
Давайте я запишу.

00:06:21.006 --> 00:06:24.006
Мы знаем, что А=В, так?

00:06:24.006 --> 00:06:30.006
И оно также равно (√2/2)*С.

00:06:30.006 --> 00:06:32.004
Вы хотите запомнить это число,

00:06:32.004 --> 00:06:34.004
но на самом деле его всегда легко

00:06:34.004 --> 00:06:36.001
вычислить из теоремы Пифагора.

00:06:36.001 --> 00:06:37.005
Нужно помнить, что стороны,

00:06:37.005 --> 00:06:40.004
не являющиеся гипотенузой в треугольниках

00:06:40.004 --> 00:06:43.081
с углами 45, 45 и 90°, равны.

00:06:43.081 --> 00:06:45.006
И это очень хорошо знать.

00:06:45.006 --> 00:06:47.033
Если вы сдаёте экзамен и решаете задачу,

00:06:47.033 --> 00:06:51.004
если вы запомнили это всё, и получаете подобную задачу,

00:06:51.004 --> 00:06:52.087
где известна только гипотенуза,

00:06:52.087 --> 00:06:54.008
вы можете очень быстро вычислить,

00:06:54.008 --> 00:06:57.005
каковыми будут стороны треугольника.

00:06:57.005 --> 00:07:00.006
А если в условии известны только стороны (катеты),

00:07:00.006 --> 00:07:03.003
то вы можете легко вычислить гипотенузу.

00:07:03.003 --> 00:07:04.004
Давайте попробуем.

00:07:04.004 --> 00:07:06.085
Я сейчас всё это удалю.

00:07:06.085 --> 00:07:16.002
Мы только что получили, что А=В=(√2/2)*С.

00:07:16.002 --> 00:07:20.088
Я нарисую прямоугольный треугольник.

00:07:20.088 --> 00:07:24.007
Этот угол отмечу как угол в 90°.

00:07:24.007 --> 00:07:26.006
Этот равен 45°.

00:07:26.006 --> 00:07:33.002
Эта сторона равна, скажем, 8.

00:07:33.002 --> 00:07:37.089
Мне нужно вычислить, какой будет эта сторона.

00:07:37.089 --> 00:07:40.002
Давайте посмотрим, где у нас будет гипотенуза.

00:07:40.002 --> 00:07:41.019
Гипотенуза – это сторона,

00:07:41.019 --> 00:07:44.001
противоположная прямому углу.

00:07:44.001 --> 00:07:47.001
Т.е. сейчас мы пытаемся вычислить гипотенузу.

00:07:47.001 --> 00:07:50.007
Обозначим её буквой «С».

00:07:50.007 --> 00:07:51.006
И мы уже знаем,

00:07:51.006 --> 00:07:55.007
что это треугольник с углами 45, 45, 90°.

00:07:55.007 --> 00:07:59.072
Т.к. тот угол 45°, значит этот тоже 45°.

00:07:59.072 --> 00:08:04.005
т.к. 45+45+90=180.

00:08:04.005 --> 00:08:07.006
И мы знаем, что эта сторона равна 8.

00:08:07.006 --> 00:08:09.004
Это может быть сторона А или В.

00:08:09.004 --> 00:08:16.000
Мы знаем, что сторона 8=(√2/2)*С.

00:08:16.000 --> 00:08:18.000
С – это то, что мы хотим вычислить.

00:08:18.000 --> 00:08:20.003
Если мы перемножим обе стороны равенства

00:08:20.003 --> 00:08:26.007
на 2/√2, т.е. я умножаю на обратную дробь,

00:08:26.007 --> 00:08:28.057
на коэффициент при С.

00:08:28.057 --> 00:08:32.004
Т.к. √2 при перемножении сократится,

00:08:32.004 --> 00:08:35.000
2-ки тоже сократятся, то мы получим:

00:08:35.000 --> 00:08:41.076
2*8=16...16/√2=С.

00:08:41.076 --> 00:08:43.023
Что уже правильно.

00:08:43.023 --> 00:08:44.022
Но я говорил вам,

00:08:44.022 --> 00:08:45.039
что многие не любят видеть

00:08:45.039 --> 00:08:46.092
иррациональные числа в знаменателе.

00:08:46.092 --> 00:08:49.046
Мы можем преобразовать:

00:08:49.046 --> 00:08:57.052
С=(16/√2)*(√2/√2).

00:08:57.052 --> 00:09:04.003
Это, в свою очередь, равно: (16√2)/2.

00:09:04.003 --> 00:09:09.000
А это то же самое, что и 8√2.

00:09:09.000 --> 00:09:13.043
Т.е. в этой задаче С=8√2.

00:09:13.043 --> 00:09:16.004
А еще мы знаем, что эта сторона 8,

00:09:16.004 --> 00:09:20.097
поскольку этот треугольник с углами 45, 45, 90°.

00:09:20.097 --> 00:09:22.026
Надеюсь, вы усвоили.

00:09:22.026 --> 00:09:23.031
На следующем уроке

00:09:23.031 --> 00:09:25.074
я покажу вам другой вид треугольников.

00:09:25.074 --> 00:09:28.003
Я еще планирую рассматривать другие подобные примеры,

00:09:28.003 --> 00:09:30.006
потому что здесь мы всё рассмотрели

00:09:30.006 --> 00:09:31.058
достаточно быстро.

00:09:31.058 --> 00:09:33.047
В любом случае, рад буду видеть вас

00:09:33.047 --> 99:59:59.000
на следующем уроке.