Добро пожаловать на урок «Треугольники с углами 45, 45 и 90 градусов». Давайте я это запишу. 45, 45 и 90. Или мы можем сказать: прямоугольные треугольники с углами 45,45 и 90°. Хотя это может быть лишним, ведь мы знаем, что угол 90° называется прямым. И как вы могли догадаться, 45,45,90 – это градусы углов треугольника. Чем эти треугольники особенные? Если вы смотрели прошлую презентацию, я в ней рассказывал теорему: если два угла у основания треугольника равны (а третий может не равняться им) - если вы нарисуете вот так, если же вы нарисуете это так, это может быть не так очевидно, т.к. эти углы расположены вверху, но именно они являются углами у основания. Так вот, если эти два угла равны, тогда стороны, которые не являются для них общими - вот эта и вот эта, а здесь - эта и эта - тоже будут равны. Что интересно, что треугольник с углами 45, 45 и 90° – это прямоугольный треугольник, обладающий данным свойством. Или, другими словами, это равнобедренный прямоугольный треугольник. И как увидеть, что прямоугольный треугольник обладает таким свойством? Вот представьте такой прямоугольный треугольник. Это 90°, это гипотенуза – сторона, противоположная прямому углу. И если мы уже знаем, что эти углы равны, то какими они будут? Давайте обозначим их "х". Мы знаем, что сумма всех углов треугольника 180°. Значит х+х+90=180. Или 2х+90=180. Или 2х=90. Или х=45°. Т.е. прямоугольный треугольник, в котором два остальных угла равны, будет треугольником с углами 45, 45 и 90°. Что интересного мы можем узнать про треугольники с углами 45, 45 и 90°? Давайте я ещё раз зарисую то, о чём мы только что говорили. Я перерисую это вот так. Мы знаем, что это - 90°, это - 45°, это - 45°. И, основываясь на том, что мы уже знаем - стороны, которые не общие для углов в 45°, равны, т.е. эта сторона и эта сторона равны - рассмотрим это со стороны теоремы Пифагора. Две стороны, не являющиеся гипотенузой треугольника, равны. Это гипотенуза. Назовем эту сторону А, а эту сторону В. Гипотенузу давайте назовем С. Мы знаем из теоремы Пифагора: А²+В²=С². Мы знаем, что А равна В, поскольку это треугольник с углами 45, 45 и 90°. Мы можем заменить А на В или В на А. Давайте заменим А на В. Получаем: В²+В²=С². Или 2В²=С². Или В²=С²/2. Или В=√(С²/2). Что, в свою очередь, равно С (так как мы извлекли √С²) делить на √2. Несмотря на то, что это видео о треугольниках, я расскажу вам немного о рациональных знаменателях. Т.е. здесь у нас всё абсолютно правильно. Мы только что нашли В, и мы знаем, что А=В. А В, в свою очередь, равно С/√2. И так повелось в математике, я сам не знаю почему, люди не очень любят, когда в знаменателе видят √2. Они вообще не любят иррациональные числа в знаменателе. Иррациональные числа – это десятичная дробь, цифры в которой после запятой никогда не повторяются и никогда не заканчиваются. Как исключить иррациональность из знаменателя– давайте посмотрим. Если у нас есть С/√2, давайте просто умножим числитель и знаменатель на одну и ту же величину. Умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число - это то же самое, что и просто умножить числитель и знаменатель на 1. √2/√2 – это и есть 1. И, как вы видите, √2*√2 - получается 2, правильно? А в числителе: √2*С. Заметьте, что (√2*С)/2 – это то же самое, что и С/√2. И это важно понимать, потому что иногда вы проходите тест или пишите контрольную в классе, и у вас могут быть варианты ответов, которые выглядят вот так. В них есть √2 или даже √3 или что-то другое в знаменателе. И вы можете не понять, что это правильный ответ, если тест содержит несколько вариантов ответов. Что вам нужно сделать в таком случае, так это исключить иррациональность из знаменателя. Умножьте числитель и знаменатель на √2, и вы получите √2/2. Вернёмся к задаче. Что мы выучили? Это равно В, так? Получается, что В=(√2*С)/2. Давайте я запишу. Мы знаем, что А=В, так? И оно также равно (√2/2)*С. Вы хотите запомнить это число, но на самом деле его всегда легко вычислить из теоремы Пифагора. Нужно помнить, что стороны, не являющиеся гипотенузой в треугольниках с углами 45, 45 и 90°, равны. И это очень хорошо знать. Если вы сдаёте экзамен и решаете задачу, если вы запомнили это всё, и получаете подобную задачу, где известна только гипотенуза, вы можете очень быстро вычислить, каковыми будут стороны треугольника. А если в условии известны только стороны (катеты), то вы можете легко вычислить гипотенузу. Давайте попробуем. Я сейчас всё это удалю. Мы только что получили, что А=В=(√2/2)*С. Я нарисую прямоугольный треугольник. Этот угол отмечу как угол в 90°. Этот равен 45°. Эта сторона равна, скажем, 8. Мне нужно вычислить, какой будет эта сторона. Давайте посмотрим, где у нас будет гипотенуза. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу. Т.е. сейчас мы пытаемся вычислить гипотенузу. Обозначим её буквой «С». И мы уже знаем, что это треугольник с углами 45, 45, 90°. Т.к. тот угол 45°, значит этот тоже 45°. т.к. 45+45+90=180. И мы знаем, что эта сторона равна 8. Это может быть сторона А или В. Мы знаем, что сторона 8=(√2/2)*С. С – это то, что мы хотим вычислить. Если мы перемножим обе стороны равенства на 2/√2, т.е. я умножаю на обратную дробь, на коэффициент при С. Т.к. √2 при перемножении сократится, 2-ки тоже сократятся, то мы получим: 2*8=16...16/√2=С. Что уже правильно. Но я говорил вам, что многие не любят видеть иррациональные числа в знаменателе. Мы можем преобразовать: С=(16/√2)*(√2/√2). Это, в свою очередь, равно: (16√2)/2. А это то же самое, что и 8√2. Т.е. в этой задаче С=8√2. А еще мы знаем, что эта сторона 8, поскольку этот треугольник с углами 45, 45, 90°. Надеюсь, вы усвоили. На следующем уроке я покажу вам другой вид треугольников. Я еще планирую рассматривать другие подобные примеры, потому что здесь мы всё рассмотрели достаточно быстро. В любом случае, рад буду видеть вас на следующем уроке.