0:00:05.007,0:00:07.006
Добро пожаловать на урок

0:00:07.006,0:00:11.002
«Треугольники с углами 45, 45 и 90 градусов».

0:00:11.002,0:00:12.006
Давайте я это запишу.

0:00:12.006,0:00:17.004
45, 45 и 90.

0:00:17.004,0:00:18.006
Или мы можем сказать:

0:00:18.006,0:00:23.001
прямоугольные треугольники с углами 45,45 и 90°.

0:00:23.001,0:00:25.000
Хотя это может быть лишним, ведь мы знаем,

0:00:25.000,0:00:28.005
что угол 90° называется прямым.

0:00:28.005,0:00:30.000
И как вы могли догадаться,

0:00:30.000,0:00:34.002
45,45,90 – это градусы углов треугольника.

0:00:34.002,0:00:38.003
Чем эти треугольники особенные?

0:00:38.003,0:00:40.002
Если вы смотрели прошлую презентацию,

0:00:40.002,0:00:42.006
я в ней рассказывал теорему:

0:00:42.006,0:00:50.006
если два угла у основания треугольника равны

0:00:50.006,0:00:52.070
(а третий может не равняться им) -

0:00:52.070,0:00:54.007
если вы нарисуете вот так,

0:00:54.007,0:00:57.000
если же вы нарисуете это так, это может быть

0:00:57.000,0:00:58.002
не так очевидно,

0:00:58.002,0:00:59.026
т.к. эти углы расположены вверху,

0:00:59.026,0:01:02.008
но именно они являются углами у основания.

0:01:02.008,0:01:04.009
Так вот, если эти два угла равны, тогда стороны,

0:01:04.009,0:01:07.002
которые не являются для них общими -

0:01:07.002,0:01:09.008
вот эта и вот эта, а здесь - эта и эта -

0:01:09.008,0:01:11.008
тоже будут равны.

0:01:11.008,0:01:12.022
Что интересно,

0:01:12.022,0:01:16.004
что треугольник с углами 45, 45 и 90° –

0:01:16.004,0:01:18.001
это прямоугольный треугольник,

0:01:18.001,0:01:19.093
обладающий данным свойством.

0:01:19.093,0:01:21.009
Или, другими словами,

0:01:21.009,0:01:24.004
это равнобедренный прямоугольный треугольник.

0:01:24.004,0:01:26.002
И как увидеть, что прямоугольный треугольник

0:01:26.002,0:01:28.001
обладает таким свойством?

0:01:28.001,0:01:30.008
Вот представьте такой прямоугольный треугольник.

0:01:30.008,0:01:33.004
Это 90°, это гипотенуза –

0:01:33.004,0:01:35.049
сторона, противоположная прямому углу.

0:01:35.049,0:01:42.001
И если мы уже знаем, что эти углы равны,

0:01:42.001,0:01:44.007
то какими они будут?

0:01:44.007,0:01:46.049
Давайте обозначим их "х".

0:01:46.049,0:01:47.028
Мы знаем,

0:01:47.028,0:01:51.006
что сумма всех углов треугольника 180°.

0:01:51.006,0:01:57.006
Значит х+х+90=180.

0:01:57.006,0:02:01.006
Или 2х+90=180.

0:02:02.034,0:02:06.000
Или 2х=90.

0:02:06.000,0:02:09.008
Или х=45°.

0:02:09.008,0:02:10.009
Т.е. прямоугольный треугольник,

0:02:10.009,0:02:13.000
в котором два остальных угла равны,

0:02:13.000,0:02:23.049
будет треугольником с углами 45, 45 и 90°.

0:02:23.049,0:02:25.047
Что интересного мы можем узнать

0:02:25.047,0:02:29.006
про треугольники с углами 45, 45 и 90°?

0:02:29.006,0:02:30.088
Давайте я ещё раз зарисую то,

0:02:30.088,0:02:33.002
о чём мы только что говорили.

0:02:33.002,0:02:35.001
Я перерисую это вот так.

0:02:35.001,0:02:42.070
Мы знаем, что это - 90°, это - 45°, это - 45°.

0:02:42.070,0:02:44.020
И, основываясь на том, что мы уже знаем -

0:02:44.020,0:02:47.000
стороны, которые не общие

0:02:47.000,0:02:50.021
для углов в 45°, равны,

0:02:50.021,0:02:55.002
т.е. эта сторона и эта сторона равны -

0:02:55.002,0:02:58.001
рассмотрим это со стороны теоремы Пифагора.

0:02:58.001,0:03:01.000
Две стороны, не являющиеся

0:03:01.000,0:03:03.085
гипотенузой треугольника, равны.

0:03:03.085,0:03:08.007
Это гипотенуза.

0:03:08.007,0:03:13.077
Назовем эту сторону А, а эту сторону В.

0:03:13.077,0:03:16.091
Гипотенузу давайте назовем С.

0:03:16.091,0:03:26.000
Мы знаем из теоремы Пифагора: А²+В²=С².

0:03:26.000,0:03:28.002
Мы знаем, что А равна В,

0:03:28.002,0:03:32.001
поскольку это треугольник с углами 45, 45 и 90°.

0:03:32.001,0:03:34.008
Мы можем заменить А на В или В на А.

0:03:34.008,0:03:36.006
Давайте заменим А на В.

0:03:36.006,0:03:44.054
Получаем: В²+В²=С².

0:03:44.054,0:03:51.075
Или 2В²=С².

0:03:51.075,0:03:59.004
Или В²=С²/2.

0:03:59.004,0:04:08.079
Или В=√(С²/2).

0:04:08.079,0:04:11.004
Что, в свою очередь, равно С

0:04:11.004,0:04:17.001
(так как мы извлекли √С²) делить на √2.

0:04:17.001,0:04:19.005
Несмотря на то, что это видео о треугольниках,

0:04:19.005,0:04:20.024
я расскажу вам немного

0:04:20.024,0:04:22.026
о рациональных знаменателях.

0:04:22.026,0:04:25.006
Т.е. здесь у нас всё абсолютно правильно.

0:04:25.006,0:04:29.006
Мы только что нашли В, и мы знаем, что А=В.

0:04:29.006,0:04:33.005
А В, в свою очередь, равно С/√2.

0:04:33.005,0:04:35.002
И так повелось в математике,

0:04:35.002,0:04:37.091
я сам не знаю почему, люди не очень любят,

0:04:37.091,0:04:41.003
когда в знаменателе видят √2.

0:04:41.003,0:04:42.005
Они вообще не любят

0:04:42.005,0:04:44.007
иррациональные числа в знаменателе.

0:04:44.007,0:04:47.003
Иррациональные числа – это десятичная дробь,

0:04:47.003,0:04:48.072
цифры в которой после запятой

0:04:48.072,0:04:52.006
никогда не повторяются и никогда не заканчиваются.

0:04:52.006,0:04:55.002
Как исключить иррациональность из знаменателя–

0:04:55.002,0:04:58.080
давайте посмотрим.

0:04:58.080,0:05:05.006
Если у нас есть С/√2,

0:05:05.006,0:05:08.008
давайте просто умножим числитель и знаменатель

0:05:08.008,0:05:10.005
на одну и ту же величину.

0:05:10.005,0:05:11.073
Умножить и числитель, и знаменатель

0:05:11.073,0:05:13.025
на одно и то же число - это то же самое,

0:05:13.025,0:05:14.077
что и просто умножить числитель

0:05:14.077,0:05:17.003
и знаменатель на 1.

0:05:17.003,0:05:21.004
√2/√2 – это и есть 1.

0:05:21.004,0:05:28.069
И, как вы видите, √2*√2 - получается 2, правильно?

0:05:28.069,0:05:33.005
А в числителе: √2*С.

0:05:33.005,0:05:36.040
Заметьте, что (√2*С)/2 –

0:05:36.040,0:05:41.000
это то же самое, что и С/√2.

0:05:41.000,0:05:43.000
И это важно понимать, потому что иногда вы

0:05:43.000,0:05:45.006
проходите тест или пишите контрольную в классе,

0:05:45.006,0:05:47.001
и у вас могут быть варианты ответов,

0:05:47.001,0:05:48.034
которые выглядят вот так.

0:05:48.034,0:05:51.004
В них есть √2 или даже √3

0:05:51.004,0:05:53.002
или что-то другое в знаменателе.

0:05:53.002,0:05:55.005
И вы можете не понять, что это правильный ответ,

0:05:55.005,0:05:57.074
если тест содержит несколько вариантов ответов.

0:05:57.074,0:05:59.004
Что вам нужно сделать в таком случае,

0:05:59.004,0:06:02.003
так это исключить иррациональность из знаменателя.

0:06:02.003,0:06:04.007
Умножьте числитель и знаменатель на √2,

0:06:04.007,0:06:07.005
и вы получите √2/2.

0:06:07.005,0:06:08.008
Вернёмся к задаче.

0:06:08.008,0:06:10.000
Что мы выучили?

0:06:10.000,0:06:12.004
Это равно В, так?

0:06:12.004,0:06:19.002
Получается, что В=(√2*С)/2.

0:06:19.002,0:06:21.006
Давайте я запишу.

0:06:21.006,0:06:24.006
Мы знаем, что А=В, так?

0:06:24.006,0:06:30.006
И оно также равно (√2/2)*С.

0:06:30.006,0:06:32.004
Вы хотите запомнить это число,

0:06:32.004,0:06:34.004
но на самом деле его всегда легко

0:06:34.004,0:06:36.001
вычислить из теоремы Пифагора.

0:06:36.001,0:06:37.005
Нужно помнить, что стороны,

0:06:37.005,0:06:40.004
не являющиеся гипотенузой в треугольниках

0:06:40.004,0:06:43.081
с углами 45, 45 и 90°, равны.

0:06:43.081,0:06:45.006
И это очень хорошо знать.

0:06:45.006,0:06:47.033
Если вы сдаёте экзамен и решаете задачу,

0:06:47.033,0:06:51.004
если вы запомнили это всё, и получаете подобную задачу,

0:06:51.004,0:06:52.087
где известна только гипотенуза,

0:06:52.087,0:06:54.008
вы можете очень быстро вычислить,

0:06:54.008,0:06:57.005
каковыми будут стороны треугольника.

0:06:57.005,0:07:00.006
А если в условии известны только стороны (катеты),

0:07:00.006,0:07:03.003
то вы можете легко вычислить гипотенузу.

0:07:03.003,0:07:04.004
Давайте попробуем.

0:07:04.004,0:07:06.085
Я сейчас всё это удалю.

0:07:06.085,0:07:16.002
Мы только что получили, что А=В=(√2/2)*С.

0:07:16.002,0:07:20.088
Я нарисую прямоугольный треугольник.

0:07:20.088,0:07:24.007
Этот угол отмечу как угол в 90°.

0:07:24.007,0:07:26.006
Этот равен 45°.

0:07:26.006,0:07:33.002
Эта сторона равна, скажем, 8.

0:07:33.002,0:07:37.089
Мне нужно вычислить, какой будет эта сторона.

0:07:37.089,0:07:40.002
Давайте посмотрим, где у нас будет гипотенуза.

0:07:40.002,0:07:41.019
Гипотенуза – это сторона,

0:07:41.019,0:07:44.001
противоположная прямому углу.

0:07:44.001,0:07:47.001
Т.е. сейчас мы пытаемся вычислить гипотенузу.

0:07:47.001,0:07:50.007
Обозначим её буквой «С».

0:07:50.007,0:07:51.006
И мы уже знаем,

0:07:51.006,0:07:55.007
что это треугольник с углами 45, 45, 90°.

0:07:55.007,0:07:59.072
Т.к. тот угол 45°, значит этот тоже 45°.

0:07:59.072,0:08:04.005
т.к. 45+45+90=180.

0:08:04.005,0:08:07.006
И мы знаем, что эта сторона равна 8.

0:08:07.006,0:08:09.004
Это может быть сторона А или В.

0:08:09.004,0:08:16.000
Мы знаем, что сторона 8=(√2/2)*С.

0:08:16.000,0:08:18.000
С – это то, что мы хотим вычислить.

0:08:18.000,0:08:20.003
Если мы перемножим обе стороны равенства

0:08:20.003,0:08:26.007
на 2/√2, т.е. я умножаю на обратную дробь,

0:08:26.007,0:08:28.057
на коэффициент при С.

0:08:28.057,0:08:32.004
Т.к. √2 при перемножении сократится,

0:08:32.004,0:08:35.000
2-ки тоже сократятся, то мы получим:

0:08:35.000,0:08:41.076
2*8=16...16/√2=С.

0:08:41.076,0:08:43.023
Что уже правильно.

0:08:43.023,0:08:44.022
Но я говорил вам,

0:08:44.022,0:08:45.039
что многие не любят видеть

0:08:45.039,0:08:46.092
иррациональные числа в знаменателе.

0:08:46.092,0:08:49.046
Мы можем преобразовать:

0:08:49.046,0:08:57.052
С=(16/√2)*(√2/√2).

0:08:57.052,0:09:04.003
Это, в свою очередь, равно: (16√2)/2.

0:09:04.003,0:09:09.000
А это то же самое, что и 8√2.

0:09:09.000,0:09:13.043
Т.е. в этой задаче С=8√2.

0:09:13.043,0:09:16.004
А еще мы знаем, что эта сторона 8,

0:09:16.004,0:09:20.097
поскольку этот треугольник с углами 45, 45, 90°.

0:09:20.097,0:09:22.026
Надеюсь, вы усвоили.

0:09:22.026,0:09:23.031
На следующем уроке

0:09:23.031,0:09:25.074
я покажу вам другой вид треугольников.

0:09:25.074,0:09:28.003
Я еще планирую рассматривать другие подобные примеры,

0:09:28.003,0:09:30.006
потому что здесь мы всё рассмотрели

0:09:30.006,0:09:31.058
достаточно быстро.

0:09:31.058,0:09:33.047
В любом случае, рад буду видеть вас

0:09:33.047,99:59:59.000
на следующем уроке.