Добро пожаловать на урок
«Треугольники с углами 45, 45 и 90 градусов».
Давайте я это запишу.
45, 45 и 90.
Или мы можем сказать:
прямоугольные треугольники с углами 45,45 и 90°.
Хотя это может быть лишним, ведь мы знаем,
что угол 90° называется прямым.
И как вы могли догадаться,
45,45,90 – это градусы углов треугольника.
Чем эти треугольники особенные?
Если вы смотрели прошлую презентацию,
я в ней рассказывал теорему:
если два угла у основания треугольника равны
(а третий может не равняться им) -
если вы нарисуете вот так,
если же вы нарисуете это так, это может быть
не так очевидно,
т.к. эти углы расположены вверху,
но именно они являются углами у основания.
Так вот, если эти два угла равны, тогда стороны,
которые не являются для них общими -
вот эта и вот эта, а здесь - эта и эта -
тоже будут равны.
Что интересно,
что треугольник с углами 45, 45 и 90° –
это прямоугольный треугольник,
обладающий данным свойством.
Или, другими словами,
это равнобедренный прямоугольный треугольник.
И как увидеть, что прямоугольный треугольник
обладает таким свойством?
Вот представьте такой прямоугольный треугольник.
Это 90°, это гипотенуза –
сторона, противоположная прямому углу.
И если мы уже знаем, что эти углы равны,
то какими они будут?
Давайте обозначим их "х".
Мы знаем,
что сумма всех углов треугольника 180°.
Значит х+х+90=180.
Или 2х+90=180.
Или 2х=90.
Или х=45°.
Т.е. прямоугольный треугольник,
в котором два остальных угла равны,
будет треугольником с углами 45, 45 и 90°.
Что интересного мы можем узнать
про треугольники с углами 45, 45 и 90°?
Давайте я ещё раз зарисую то,
о чём мы только что говорили.
Я перерисую это вот так.
Мы знаем, что это - 90°, это - 45°, это - 45°.
И, основываясь на том, что мы уже знаем -
стороны, которые не общие
для углов в 45°, равны,
т.е. эта сторона и эта сторона равны -
рассмотрим это со стороны теоремы Пифагора.
Две стороны, не являющиеся
гипотенузой треугольника, равны.
Это гипотенуза.
Назовем эту сторону А, а эту сторону В.
Гипотенузу давайте назовем С.
Мы знаем из теоремы Пифагора: А²+В²=С².
Мы знаем, что А равна В,
поскольку это треугольник с углами 45, 45 и 90°.
Мы можем заменить А на В или В на А.
Давайте заменим А на В.
Получаем: В²+В²=С².
Или 2В²=С².
Или В²=С²/2.
Или В=√(С²/2).
Что, в свою очередь, равно С
(так как мы извлекли √С²) делить на √2.
Несмотря на то, что это видео о треугольниках,
я расскажу вам немного
о рациональных знаменателях.
Т.е. здесь у нас всё абсолютно правильно.
Мы только что нашли В, и мы знаем, что А=В.
А В, в свою очередь, равно С/√2.
И так повелось в математике,
я сам не знаю почему, люди не очень любят,
когда в знаменателе видят √2.
Они вообще не любят
иррациональные числа в знаменателе.
Иррациональные числа – это десятичная дробь,
цифры в которой после запятой
никогда не повторяются и никогда не заканчиваются.
Как исключить иррациональность из знаменателя–
давайте посмотрим.
Если у нас есть С/√2,
давайте просто умножим числитель и знаменатель
на одну и ту же величину.
Умножить и числитель, и знаменатель
на одно и то же число - это то же самое,
что и просто умножить числитель
и знаменатель на 1.
√2/√2 – это и есть 1.
И, как вы видите, √2*√2 - получается 2, правильно?
А в числителе: √2*С.
Заметьте, что (√2*С)/2 –
это то же самое, что и С/√2.
И это важно понимать, потому что иногда вы
проходите тест или пишите контрольную в классе,
и у вас могут быть варианты ответов,
которые выглядят вот так.
В них есть √2 или даже √3
или что-то другое в знаменателе.
И вы можете не понять, что это правильный ответ,
если тест содержит несколько вариантов ответов.
Что вам нужно сделать в таком случае,
так это исключить иррациональность из знаменателя.
Умножьте числитель и знаменатель на √2,
и вы получите √2/2.
Вернёмся к задаче.
Что мы выучили?
Это равно В, так?
Получается, что В=(√2*С)/2.
Давайте я запишу.
Мы знаем, что А=В, так?
И оно также равно (√2/2)*С.
Вы хотите запомнить это число,
но на самом деле его всегда легко
вычислить из теоремы Пифагора.
Нужно помнить, что стороны,
не являющиеся гипотенузой в треугольниках
с углами 45, 45 и 90°, равны.
И это очень хорошо знать.
Если вы сдаёте экзамен и решаете задачу,
если вы запомнили это всё, и получаете подобную задачу,
где известна только гипотенуза,
вы можете очень быстро вычислить,
каковыми будут стороны треугольника.
А если в условии известны только стороны (катеты),
то вы можете легко вычислить гипотенузу.
Давайте попробуем.
Я сейчас всё это удалю.
Мы только что получили, что А=В=(√2/2)*С.
Я нарисую прямоугольный треугольник.
Этот угол отмечу как угол в 90°.
Этот равен 45°.
Эта сторона равна, скажем, 8.
Мне нужно вычислить, какой будет эта сторона.
Давайте посмотрим, где у нас будет гипотенуза.
Гипотенуза – это сторона,
противоположная прямому углу.
Т.е. сейчас мы пытаемся вычислить гипотенузу.
Обозначим её буквой «С».
И мы уже знаем,
что это треугольник с углами 45, 45, 90°.
Т.к. тот угол 45°, значит этот тоже 45°.
т.к. 45+45+90=180.
И мы знаем, что эта сторона равна 8.
Это может быть сторона А или В.
Мы знаем, что сторона 8=(√2/2)*С.
С – это то, что мы хотим вычислить.
Если мы перемножим обе стороны равенства
на 2/√2, т.е. я умножаю на обратную дробь,
на коэффициент при С.
Т.к. √2 при перемножении сократится,
2-ки тоже сократятся, то мы получим:
2*8=16...16/√2=С.
Что уже правильно.
Но я говорил вам,
что многие не любят видеть
иррациональные числа в знаменателе.
Мы можем преобразовать:
С=(16/√2)*(√2/√2).
Это, в свою очередь, равно: (16√2)/2.
А это то же самое, что и 8√2.
Т.е. в этой задаче С=8√2.
А еще мы знаем, что эта сторона 8,
поскольку этот треугольник с углами 45, 45, 90°.
Надеюсь, вы усвоили.
На следующем уроке
я покажу вам другой вид треугольников.
Я еще планирую рассматривать другие подобные примеры,
потому что здесь мы всё рассмотрели
достаточно быстро.
В любом случае, рад буду видеть вас
на следующем уроке.