45-45-90도 삼각형에 대한 발표보러 오신것을 환영합니다
여기 좀 쓸게요
여기 보시면 이제 나오네요
45-45-90도 삼각형
아니면 45-45-90도 직각삼각형이라고 할 수도 있지만
그건 좀 중복되는 표현이라서요
왜냐하면 90도라는 각도가 있으면
무조건 직각삼각형이라는 건 알잖아요
그리고 보시다시피, 45-45-90, 이것은 사실
삼각형의 각도입니다
그럼 이 삼각형이 왜 특별할까요?
저번 발표를 보셨다면, 제가 한 법칙을 알려드렸죠
만약 세 각중에 두 밑각이 같다면 말이죠
아마 밑각에서만요
이렇게 그렸을 때 말이에요
이런식으로 그릴 수 도 있지만
이건 정확히 밑각은 아니죠
여전히 사실이긴 하지만요
만약 이 두 각이 같다면
이 두 각을 모두 끼고 있는 변은 말이죠
이 그림에선 이 변과 이변
아니면 이 변과 이변이 되겠죠
이 변들은 길이가 같아지죠
45-45-90도 삼각형에 대해 흥미로운 것은 바로
직각삼각형이 이 성질을 갖고있다는 겁니다
오로지 직각삼각형만 이 성질을 갖고 있다는 것을
우리가 어떻게 알 수 있을까요?
다음을 상상해볼 수 있죠
여기 직각삼각형이 있습니다
이게 90도에요
이게 직각삼각형의 빗변이고요
90도의 마주보는 변이죠
만약 제가 이 두 각이 같다고 말한다면
이 두 각의 각도는 얼마일까요?
만약 이 두 각을 x라고 하면,
삼각형의 세 각의 총합은 180도니까
x 더하기 x 라고 합시다
이게 90도고요
그럼 x+x+90=180 이죠
즉, 2x 더하기 90은 180이고요
2x 는 90과 같게 되겠죠
결국 x는 45도가 되고요
그러므로 나머지 두 각이 45도인 직각삼각형은
오직 45-45-90도 삼각형인거죠
그럼 이 45-45-90도 삼각형에 대해 흥미로운 사실이 뭐냐고요?
방금 제가 말한거 외에 또 뭐가있냐면요
다시 이렇게 그려볼게요
우린 이쪽이 90도고 이쪽이 45도인 걸 알죠
이쪽이 45도인 것도 알고요
제가 방금 말한 것에 의하면요
우리는 두 45도의 각을 모두 끼지 않는 변 두 개는 같다는 것 또한 알죠
그러니까 이 변과 이 변이 같아요
피타고라스 정리의 관점에서 보면
직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변은
같다는 걸 알 수 있어요
이게 빗변이에요
그럼 이 변을 A라고 하고 이 변을 B라고 합시다
피타고라스 정리에 의하면
빗변이 C이고요
A 제곱 더하기 B 제곱은 C 제곱이죠
그렇지요?
근데 A=B인건 알잖아요
왜냐하면
이건 45-45-90도 삼각형이니까요
그럼 A를 B라고 놓거나, B를 A라고 놓아도 되죠
그치만 일단 A를 B라고 놓읍시다
그럼 B 제곱 더하기 B 제곱은
C 제곱이 되죠
즉, 2B 제곱은 C 제곱과 같게 되고요
따라서 B 제곱은 C제곱 나누기 2와 같게 되죠
여기서 B는 C제곱/2 에 루트를 씌운 것과 같게 되기도 하고요
이것은 C/루트 2와 같죠
제곱을 루트로 없애버리면 그냥 C가 되니까요
그래서 C 나누기 루트 2가 됩니다
그리고 사실 이 발표가 삼각형에 대한 것이긴 하지만
살짝 추가적인 정보를 알려드릴게요
분모를 유리화하는 것에 대해서요
일단 이것은 완벽히 맞습니다
B에 도달했고요
우린 A=B인것을 알고요
B는 C 나누기 루트 2와 같고요
이건 제가 사실 왜그런지
이해가 잘 안 됬던 부분인 데요
수학에서 대부분
사람들이 루트 2가 분모에 있는걸 안좋아해요
또한 일반적으로 분모에 무리수가 있는 것을
싫어하죠
무리수란 소수점 아래 숫자들이
반복되지 않고 무한개로 끝도 없이 있는 수에요
그래서 분모에 있는 무리수를 없애는
방법이 바로 분모의
유리화라는 거에요
분모를 어떻게 유리화하냐면
우리의 예시로부터 알아보죠
C분에 루트 2였죠
이 경우에 우린 단순히 같은 숫자를 분모와 분자에
곱해줍니다
그렇지요?
왜냐하면 분모와 분자를 같은 숫자로 곱하면
1을 곱하는거나 마찬가지거든요
루트 2분에 루트 2는 1이죠
보시다시피 우리가 이렇게 하는 이유는
루트 2 곱하기 루트 2는
바로 무엇이죠?
그렇죠, 2 입니다
맞죠?
어떠한 숫자 곱하기 어떠한 숫자가 2라고 했으니까
즉 루트 2 곱하기 루트 2가 2죠
그리고 분자가 C 곱하기 루트 2잖아요
그럼 알겠죠
C 곱하기 루트 2 나누기 2는
C 나누기 루트 2와 같다는 것을
이건 상당히 중요해요
왜냐하면 가끔씩
여러분이 공인시험을 볼 때나
아니면 교내 시험을 볼 때 이런 비슷한 답을 볼 수 있어요
루트 2를 가졌다거나 아니면
루트 3을 가졌다거나
분모에 말이죠
그러면 답이 뭔지 모를 수도 있어요
오지선다형같으면 말이에요
그 경우에는 분모를 유리화해야 합니다
그러니까 분자와 분모에 루트 2를
곱하면
2분에 루트 2가 나오겠죠
어쨌든 문제풀이로 돌아갑시다
우리가 무엇을 배웠나요?
이것은 B와 같아요, 그렇죠?
결국 B는 C 곱하기 루트 2
나누기 2와 같은 것이죠
이걸 써보자면 이렇죠
그리고 A와 B가 같은건 알고요, 그렇죠?
그리고 그것이 루트 2분에 2 곱하기 C와도 같지요
이제 이걸 좀 외우셨으면 좋겠네요
물론 피타고라스 정리를 사용하면 언제든지 도출해낼 수 있지만요
그리고 45-45-90도 삼각형에서 빗변이 아닌 나머지 변들은
길이가 같다는 것도 기억해 두세요
알고 있으면 좋아요
왜냐하면 SAT 시험을 볼때 문제를
엄청 빨리 풀어야 되는데 이것을 외워놓았고
빗변이 주어진다면 변들을 빨리
추리해낼 수 있어요
또 다른 변들이 주어지면
빗변을 아주 빠르게 알아낼 수 있겠죠
한번 해봅시다
다 지울거에요
우린 A와 B가
루트 2분에 2 곱하기 C와 같다는 것을 배웠죠
만약 같은 직각삼각형이 주어지고
이 각이 직각이고 이 각이 45도 이고
이 변이 8라고 한다면
그리고 이 변이 뭔지를 알아내라 한다면
우선 어떤 변이
빗변인지 알아야겠죠
빗변은 직각이 마주보는 변입니다
우린 빗변을 알아내야 합니다
빗변을 C라 할게요
이 삼각형은 45-45-90도 삼각형이지요, 그쵸?
이 각이 45도니까 이 각도 45도겠죠
왜냐하면 45 더하기 45 더하기 90은 180이니까요
이 삼각형은 45-45-90도 삼각형이고요
변들 중 하나가
이 변이 A일 수도 B일 수도 있죠
우리는 8이
루트 2분에 2 곱하기 C와 같다는걸 알아요
C는 우리가 뭔지 찾아내야 하는거고요
이 식의 양변을 2분에 루트 2로 곱하면
C의 계수의 역수를
곱해주는거에요
왜냐하면 루트 2가 루트 2로
약분되고, 2와 2가 약분되니까요
그럼 2 곱하기 8, 즉 16분에 루트 2는 C가 남고요
당연히 성립하는거지만
제가 보여드렸다시피 사람들은
루트가 분모에 있는 것을 싫어합니다
그럼 C는 16분에 루트 2에
루트 2분에 루트 2를 곱한것과 같죠
그럼 16 루트 2 나누기 2가 되고요
결국 8 루트 2가 됩니다
따라서 이 예시의 C는 8루트 2가 되죠
또 우리가 알다시피 이것은 45-45-90도 삼각형이잖아요
이 변은 8이겠죠
이해가 됐길 바래요
다음 발표에서 전 다른 종류의 삼각형을
보여드릴겁니다
사실 다른 몇 개의 예시를 가지고
시작할수 도 있겠군요
좀 이번에 제가 서두른것 같아서요
어쨌든 다음 발표에서 뵐게요