WEBVTT

00:00:01.710 --> 00:00:05.420
Benvenuto alla presentazione sui triangoli 45-45-90.

00:00:05.420 --> 00:00:07.200
Fammelo scrivere.

00:00:07.200 --> 00:00:08.300
Come mai la penna --- oh, ecco qua.

00:00:08.300 --> 00:00:15.770
Triangoli 45-45-90.

00:00:15.770 --> 00:00:19.050
O potremmo dire i triangoli retti 45-45-90, ma potrebbe essere

00:00:19.050 --> 00:00:21.630
ridondante, perche' sappiamo che ogni triangolo che abbia un angolo

00:00:21.630 --> 00:00:24.110
di 90 gradi e' un triangolo rettangolo.

00:00:24.110 --> 00:00:27.790
E come puoi immaginare, il 45-45-90, questi sono proprio

00:00:27.790 --> 00:00:30.910
i gradi degli angoli del triangolo.

00:00:30.910 --> 00:00:33.220
Allora perche' questi triangoli sono speciali?

00:00:33.220 --> 00:00:35.720
Beh, se hai visto l'ultima presentazione ti ho dato

00:00:35.720 --> 00:00:43.950
un piccolo teorema che ti ha detto che se due degli angoli della base

00:00:43.950 --> 00:00:49.000
di una triangolo sono uguali --- e suppongo che sia un angolo della base solo

00:00:49.000 --> 00:00:49.800
se lo disegni cosi'.

00:00:49.800 --> 00:00:51.830
Potresti disegnarlo cosi', nel qual caso magari non e' cosi'

00:00:51.830 --> 00:00:55.410
ovvio che sia un angolo della base, ma sarebbe vero lo stesso.

00:00:55.410 --> 00:00:58.520
Se questi due angoli sono veri allora i lati che non

00:00:58.520 --> 00:01:02.000
condividono --- quindi questo lato e questo lato in questo esempio, o questo

00:01:02.000 --> 00:01:05.280
lato e questo lato in questo esempio --- allora i due lati

00:01:05.280 --> 00:01:07.050
saranno uguali.

00:01:07.050 --> 00:01:11.140
Quindi quello che e' interessante di un triangolo 45-45-90 e' che

00:01:11.140 --> 00:01:13.900
e' un triangolo rettangolo con questa proprieta'.

00:01:13.900 --> 00:01:16.400
E come sappiamo che e' l'unico triangolo rettangolo

00:01:16.400 --> 00:01:17.690
con questa proprieta'?

00:01:17.690 --> 00:01:20.790
Beh, puoi immaginare un mondo dove ti dico che

00:01:20.790 --> 00:01:24.140
questo e' un triangolo rettangolo.

00:01:24.140 --> 00:01:28.030
Questo e' 90 gradi, quindi questa e' l'ipotenusa.

00:01:28.030 --> 00:01:32.140
Giusto, e' il lato opposto all'angolo di 90 gradi.

00:01:32.140 --> 00:01:36.780
E se ti dicessi che questi due angoli sono uguali

00:01:36.780 --> 00:01:39.640
tra loro, come devono essere questi due angoli?

00:01:39.640 --> 00:01:42.840
Beh, se chiamiamo questi due angoli x sappiamo che

00:01:42.840 --> 00:01:44.410
la somma degli angoli e' 180 gradi.

00:01:44.410 --> 00:01:49.220
Quindi diremmo x piu' x piu' --- questo e' 90 --- piu'

00:01:49.220 --> 00:01:52.650
90 uguale 180.

00:01:52.650 --> 00:01:57.950
O 2x + 90 = 180.

00:01:57.950 --> 00:02:01.260
O 2x = 90.

00:02:01.260 --> 00:02:05.500
O x = 45 gradi.

00:02:05.500 --> 00:02:10.180
Quindi l'unico triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli

00:02:10.180 --> 00:02:17.990
sono uguali e' il triangolo 45-45-90.

00:02:17.990 --> 00:02:22.680
Allora cosa c'e' di interessante nel triangolo 45-45-90?

00:02:22.680 --> 00:02:27.160
Beh, oltre a quello che ti ho appena detto --- fammelo ridisegnare.

00:02:27.160 --> 00:02:29.180
Lo ridisegno cosi'.

00:02:29.180 --> 00:02:35.190
Quindi sappiamo gia' che questo e' 90 gradi, questo e' 45 gradi,

00:02:35.190 --> 00:02:37.320
questo e' 45 gradi.

00:02:37.320 --> 00:02:40.370
E stando a quello che ti ho appena detto, sappiamo anche che

00:02:40.370 --> 00:02:45.850
i lati che gli angoli di 45 gradi non condividono sono uguali.

00:02:45.850 --> 00:02:49.560
Quindi questo lato e' uguale a questo lato.

00:02:49.560 --> 00:02:52.080
E se lo vediamo dal punto di vista del teorema di

00:02:52.080 --> 00:02:55.240
Pitagora, questo ci dice che i due lati che non sono

00:02:55.240 --> 00:02:57.710
l'ipotenusa sono uguali.

00:02:57.710 --> 00:02:58.400
Quindi questa e' l'ipotenusa.

00:03:03.660 --> 00:03:09.500
Quindi chiamiamo questo lato A e questo lato B.

00:03:09.500 --> 00:03:11.360
Sappiamo dal teorema di Pitagora --- diciamo

00:03:11.360 --> 00:03:14.880
che l'ipotenusa e' uguale a C --- il teorema di Pitagora ci dice che

00:03:14.880 --> 00:03:21.380
A^2 + B^2 = C^2.

00:03:21.380 --> 00:03:21.863
Giusto?

00:03:24.720 --> 00:03:26.620
Beh sappiamo che A = B, perche' questo e' un

00:03:26.620 --> 00:03:30.070
triangolo 45-45-90.

00:03:30.070 --> 00:03:32.010
Quindi possiamo sostituire A con B o B con A.

00:03:32.010 --> 00:03:34.580
Ma sostituiamo B al posto di A.

00:03:34.580 --> 00:03:38.960
Quindi possiamo dire B^2 + B^2 =

00:03:38.960 --> 00:03:41.530
C^2.

00:03:41.530 --> 00:03:47.490
O 2B^2 = C^2.

00:03:47.490 --> 00:03:54.940
O B^2 = (C^2) / 2.

00:03:54.940 --> 00:04:03.640
O B = radice quadrata di ((C^2)/2).

00:04:03.640 --> 00:04:06.530
Che e' uguale a C --- perche' prendiamo la radice quadrata del

00:04:06.530 --> 00:04:09.130
numeratore e la radice quadrata del denominatore --- C

00:04:09.130 --> 00:04:10.570
sulla radice quadrata di 2.

00:04:10.570 --> 00:04:15.250
E in realta', anche se questa e' una presentazione sui triangoli,

00:04:15.250 --> 00:04:17.630
ti daro' un'altra piccola informazione

00:04:17.630 --> 00:04:19.930
su una cosa chiamata razionalizzazione dei denominatori.

00:04:19.930 --> 00:04:21.270
Quindi questo e' perfettamente corretto.

00:04:21.270 --> 00:04:25.950
Siamo arrivati a B --- e sappiamo anche che A = B --- ma

00:04:25.950 --> 00:04:29.510
che B = C / radice di 2.

00:04:29.510 --> 00:04:31.820
Esce fuori che nella maggior parte della matematica, e non ho mai

00:04:31.820 --> 00:04:34.780
capito troppo bene perche' e' cosi', alla gente

00:04:34.780 --> 00:04:37.870
non piace avere radice di 2 al denominatore.

00:04:37.870 --> 00:04:40.720
O in generale non amano i numeri irrazionali

00:04:40.720 --> 00:04:41.140
al denominatore.

00:04:41.140 --> 00:04:45.030
I numeri irrazionali sono i numeri che hanno i decimali

00:04:45.030 --> 00:04:46.920
che non si ripetono e non finiscono mai.

00:04:46.920 --> 00:04:49.870
Quindi il modo di liberarsi dei numeri irrazionali al

00:04:49.870 --> 00:04:52.230
denominatore e' fare una cosa chiamata razionalizzazione

00:04:52.230 --> 00:04:53.570
del denominatore.

00:04:53.570 --> 00:04:55.456
E il modo in cui razionalizzi il denominatore --- prendiamo

00:04:55.456 --> 00:04:56.110
il nostro esempio di adesso.

00:04:56.110 --> 00:05:00.640
Se abbiamo C / radice di 2, moltiplichiamo

00:05:00.640 --> 00:05:03.200
il numeratore e il denominatore per

00:05:03.200 --> 00:05:05.130
lo stesso numero, giusto?

00:05:05.130 --> 00:05:08.120
Perche' quando moltiplichi numeratore e denominatore

00:05:08.120 --> 00:05:11.280
per lo stesso numero, e' come se stessi moltiplicando per 1.

00:05:11.280 --> 00:05:13.680
La radi di 2 sulla radice di due e' 1.

00:05:13.680 --> 00:05:15.530
E come vedi la ragione per cui lo faccio e' che

00:05:15.530 --> 00:05:17.020
la radice di due per radice di due, quanto fa

00:05:17.020 --> 00:05:19.040
radice di due per radice di due?

00:05:19.040 --> 00:05:20.220
Giusto, fa 2.

00:05:20.220 --> 00:05:21.030
Giusto?

00:05:21.030 --> 00:05:23.930
Abbiamo detto, qualcosa per qualcosa fa 2, beh, la radice

00:05:23.930 --> 00:05:25.990
di 2 per la radice di 2, e' questo che fa 2.

00:05:25.990 --> 00:05:31.010
E poi il numeratore e' C per la radice di 2.

00:05:31.010 --> 00:05:34.420
Quindi nota, C per la radice di 2 su 2 e' la stessa cosa

00:05:34.420 --> 00:05:37.150
di C sulla radice di 2.

00:05:37.150 --> 00:05:39.520
Ed e' importante capirlo, perche' alle volte

00:05:39.520 --> 00:05:41.090
quando fai gli esami o se fai

00:05:41.090 --> 00:05:44.190
un test in classe, potresti ottenere una risposta fatta

00:05:44.190 --> 00:05:46.320
cosi', ha una radice di 2, o magari anche una radice

00:05:46.320 --> 00:05:49.550
di 3, o quel che e', al denominatore.

00:05:49.550 --> 00:05:51.420
E potresti non vedere la risposta se e' una domanda

00:05:51.420 --> 00:05:52.750
a risposte multiple.

00:05:52.750 --> 00:05:55.710
Quello che devi fare in quel caso e' razionalizzare il denominatore.

00:05:55.710 --> 00:05:57.990
Quindi moltiplichi il numeratore e il denominatore per la radice

00:05:57.990 --> 00:06:01.470
quadrata di 2 e ottiani radice quadrata di 2 su 2.

00:06:01.470 --> 00:06:03.250
Ma ad ogni modo, torniamo al problema.

00:06:03.250 --> 00:06:04.450
Allora che cosa abbiamo imparato?

00:06:04.450 --> 00:06:06.880
Questo e' uguale a B, giusto?

00:06:06.880 --> 00:06:11.240
Quindi esce fuori che B e' uguale a C per la radice

00:06:11.240 --> 00:06:13.420
quadrata di 2 su 2.

00:06:13.420 --> 00:06:14.410
Quindi fammelo scrivere.

00:06:14.410 --> 00:06:18.760
Quindi sappiamo che A = B, giusto?

00:06:18.760 --> 00:06:27.610
Ed e' uguale alla radice quadrata di 2 su 2 per C.

00:06:27.610 --> 00:06:29.680
Ora magari vuoi impararlo a memoria, anche se puoi sempre

00:06:29.680 --> 00:06:32.440
derivertelo se usi il teorema di Pitagora e

00:06:32.440 --> 00:06:35.720
ti ricordi che i lati che non sono l'ipotenusa in un

00:06:35.720 --> 00:06:40.110
triangolo 45-45-90 sono uguali tra loro.

00:06:40.110 --> 00:06:41.370
Ma questa e' una buona cosa da sapere.

00:06:41.370 --> 00:06:44.645
Perche' se, per esempio, stai facendo un SAT e hai bisogno di risolvere

00:06:44.645 --> 00:06:48.180
un problema velocemente e questo te lo ricordi a memoria e qualcuno ti

00:06:48.180 --> 00:06:49.943
da' l'ipotenusa, puoi calcolare

00:06:49.943 --> 00:06:51.890
i lati molto velocemente, o se qualcuno ti da' uno dei lati,

00:06:51.890 --> 00:06:54.100
puoi calcolare l'ipotenusa molto velocemente.

00:06:54.100 --> 00:06:56.290
Proviamoci.

00:06:56.290 --> 00:06:59.250
Cancello tutto.

00:06:59.250 --> 00:07:06.060
Allora abbiamo appena imparato che A e' uguale a B e' uguale a

00:07:06.060 --> 00:07:10.210
la radice quadrata di 2 su 2 per C.

00:07:10.210 --> 00:07:16.220
Quindi se ti dessi un triangolo rettangolo e ti dicessi

00:07:16.220 --> 00:07:23.760
che questo angolo e' di 90 gradi e questo angolo di 45 e che

00:07:23.760 --> 00:07:28.570
questo lato e', diciamo che questo lato e' 8.

00:07:28.570 --> 00:07:32.670
Voglio sapere quant'e' questo lato.

00:07:32.670 --> 00:07:34.590
Beh, prima di tutto, capiamo quale lao

00:07:34.590 --> 00:07:35.500
e' l'ipotenusa.

00:07:35.500 --> 00:07:39.620
Beh l'ipotenusa e' il lato opposto all'angolo retto.

00:07:39.620 --> 00:07:42.060
Quindi stiamo proprio tentando di calcolare l'ipotenusa.

00:07:42.060 --> 00:07:44.640
Chiamiamo l'ipotenusa C.

00:07:44.640 --> 00:07:47.560
E sappiamo anche che e' un triangolo 45-45-90, giusto?

00:07:47.560 --> 00:07:50.180
Perche' questo angolo e' 45, quindi anche questo deve essere 45,

00:07:50.180 --> 00:07:54.620
perche' 45 + 90 + 90 = 180.

00:07:54.620 --> 00:07:58.840
Quindi questo e' un triangolo 45-45-90 e sappiamo che uno dei lati ---

00:07:58.840 --> 00:08:05.880
questo lato potrebbe essere A o B --- sappiamo che 8 e' uguale alla

00:08:05.880 --> 00:08:10.030
radice quadrata di 2 su 2 per C.

00:08:10.030 --> 00:08:12.160
C e ' quello che stiamo tentando di calcolare.

00:08:12.160 --> 00:08:16.400
Quindi se moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione per 2 per

00:08:16.400 --> 00:08:22.010
la radice quadrata di 2 --- sto solo moltiplicando per l'inverso

00:08:22.010 --> 00:08:23.600
del coefficiente di C.

00:08:23.600 --> 00:08:25.750
Perche' la radice di 2 annulla quella radice di

00:08:25.750 --> 00:08:28.430
2, questo 2 si annulla con questo 2.

00:08:28.430 --> 00:08:37.640
Ottenuamo 2 per 8, 16 sulla radice di 2 = C.

00:08:37.640 --> 00:08:40.200
Che sarebbe corretto, ma come ti ho fatto vedere alla gente

00:08:40.200 --> 00:08:42.120
non piace avere i radicali al denominatore.

00:08:42.120 --> 00:08:46.250
Quindi possiamo dire che C e' uguale a 16 sulla radice quadrata di

00:08:46.250 --> 00:08:51.290
2 per la radice quadrata di 2 sulla radice quadrata di 2.

00:08:51.290 --> 00:08:58.790
Quindi questo e' uguale a 16 radice di 2 su 2.

00:08:58.790 --> 00:09:04.330
Che e' come dire 8 radice di 2.

00:09:04.330 --> 00:09:10.170
Quindi C in questo esempio e' 8 radice quadrata di 2.

00:09:10.170 --> 00:09:13.790
E sappiamo anche, dato che e' un triangolo 45-45-90,

00:09:13.790 --> 00:09:16.700
che questo lato e' 8.

00:09:16.700 --> 00:09:17.940
Spero che abbia senso.

00:09:17.940 --> 00:09:19.740
Nella prossima presentazione di mostrero' un

00:09:19.740 --> 00:09:20.680
tipo diverso di triangolo.

00:09:20.680 --> 00:09:22.900
In realta' potrei anche iniziare con un altro paio di esempi

00:09:22.900 --> 00:09:25.080
su questo, perche' mi sa che sono andato un po' di corsa.

00:09:25.080 --> 00:09:28.450
Ma comunque, ci vediamo presto nella prossima presentazione.