1
00:00:01,710 --> 00:00:05,420
Benvenuto alla presentazione sui triangoli 45-45-90.

2
00:00:05,420 --> 00:00:07,200
Fammelo scrivere.

3
00:00:07,200 --> 00:00:08,300
Come mai la penna --- oh, ecco qua.

4
00:00:08,300 --> 00:00:15,770
Triangoli 45-45-90.

5
00:00:15,770 --> 00:00:19,050
O potremmo dire i triangoli retti 45-45-90, ma potrebbe essere

6
00:00:19,050 --> 00:00:21,630
ridondante, perche' sappiamo che ogni triangolo che abbia un angolo

7
00:00:21,630 --> 00:00:24,110
di 90 gradi e' un triangolo rettangolo.

8
00:00:24,110 --> 00:00:27,790
E come puoi immaginare, il 45-45-90, questi sono proprio

9
00:00:27,790 --> 00:00:30,910
i gradi degli angoli del triangolo.

10
00:00:30,910 --> 00:00:33,220
Allora perche' questi triangoli sono speciali?

11
00:00:33,220 --> 00:00:35,720
Beh, se hai visto l'ultima presentazione ti ho dato

12
00:00:35,720 --> 00:00:43,950
un piccolo teorema che ti ha detto che se due degli angoli della base

13
00:00:43,950 --> 00:00:49,000
di una triangolo sono uguali --- e suppongo che sia un angolo della base solo

14
00:00:49,000 --> 00:00:49,800
se lo disegni cosi'.

15
00:00:49,800 --> 00:00:51,830
Potresti disegnarlo cosi', nel qual caso magari non e' cosi'

16
00:00:51,830 --> 00:00:55,410
ovvio che sia un angolo della base, ma sarebbe vero lo stesso.

17
00:00:55,410 --> 00:00:58,520
Se questi due angoli sono veri allora i lati che non

18
00:00:58,520 --> 00:01:02,000
condividono --- quindi questo lato e questo lato in questo esempio, o questo

19
00:01:02,000 --> 00:01:05,280
lato e questo lato in questo esempio --- allora i due lati

20
00:01:05,280 --> 00:01:07,050
saranno uguali.

21
00:01:07,050 --> 00:01:11,140
Quindi quello che e' interessante di un triangolo 45-45-90 e' che

22
00:01:11,140 --> 00:01:13,900
e' un triangolo rettangolo con questa proprieta'.

23
00:01:13,900 --> 00:01:16,400
E come sappiamo che e' l'unico triangolo rettangolo

24
00:01:16,400 --> 00:01:17,690
con questa proprieta'?

25
00:01:17,690 --> 00:01:20,790
Beh, puoi immaginare un mondo dove ti dico che

26
00:01:20,790 --> 00:01:24,140
questo e' un triangolo rettangolo.

27
00:01:24,140 --> 00:01:28,030
Questo e' 90 gradi, quindi questa e' l'ipotenusa.

28
00:01:28,030 --> 00:01:32,140
Giusto, e' il lato opposto all'angolo di 90 gradi.

29
00:01:32,140 --> 00:01:36,780
E se ti dicessi che questi due angoli sono uguali

30
00:01:36,780 --> 00:01:39,640
tra loro, come devono essere questi due angoli?

31
00:01:39,640 --> 00:01:42,840
Beh, se chiamiamo questi due angoli x sappiamo che

32
00:01:42,840 --> 00:01:44,410
la somma degli angoli e' 180 gradi.

33
00:01:44,410 --> 00:01:49,220
Quindi diremmo x piu' x piu' --- questo e' 90 --- piu'

34
00:01:49,220 --> 00:01:52,650
90 uguale 180.

35
00:01:52,650 --> 00:01:57,950
O 2x + 90 = 180.

36
00:01:57,950 --> 00:02:01,260
O 2x = 90.

37
00:02:01,260 --> 00:02:05,500
O x = 45 gradi.

38
00:02:05,500 --> 00:02:10,180
Quindi l'unico triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli

39
00:02:10,180 --> 00:02:17,990
sono uguali e' il triangolo 45-45-90.

40
00:02:17,990 --> 00:02:22,680
Allora cosa c'e' di interessante nel triangolo 45-45-90?

41
00:02:22,680 --> 00:02:27,160
Beh, oltre a quello che ti ho appena detto --- fammelo ridisegnare.

42
00:02:27,160 --> 00:02:29,180
Lo ridisegno cosi'.

43
00:02:29,180 --> 00:02:35,190
Quindi sappiamo gia' che questo e' 90 gradi, questo e' 45 gradi,

44
00:02:35,190 --> 00:02:37,320
questo e' 45 gradi.

45
00:02:37,320 --> 00:02:40,370
E stando a quello che ti ho appena detto, sappiamo anche che

46
00:02:40,370 --> 00:02:45,850
i lati che gli angoli di 45 gradi non condividono sono uguali.

47
00:02:45,850 --> 00:02:49,560
Quindi questo lato e' uguale a questo lato.

48
00:02:49,560 --> 00:02:52,080
E se lo vediamo dal punto di vista del teorema di

49
00:02:52,080 --> 00:02:55,240
Pitagora, questo ci dice che i due lati che non sono

50
00:02:55,240 --> 00:02:57,710
l'ipotenusa sono uguali.

51
00:02:57,710 --> 00:02:58,400
Quindi questa e' l'ipotenusa.

52
00:03:03,660 --> 00:03:09,500
Quindi chiamiamo questo lato A e questo lato B.

53
00:03:09,500 --> 00:03:11,360
Sappiamo dal teorema di Pitagora --- diciamo

54
00:03:11,360 --> 00:03:14,880
che l'ipotenusa e' uguale a C --- il teorema di Pitagora ci dice che

55
00:03:14,880 --> 00:03:21,380
A^2 + B^2 = C^2.

56
00:03:21,380 --> 00:03:21,863
Giusto?

57
00:03:24,720 --> 00:03:26,620
Beh sappiamo che A = B, perche' questo e' un

58
00:03:26,620 --> 00:03:30,070
triangolo 45-45-90.

59
00:03:30,070 --> 00:03:32,010
Quindi possiamo sostituire A con B o B con A.

60
00:03:32,010 --> 00:03:34,580
Ma sostituiamo B al posto di A.

61
00:03:34,580 --> 00:03:38,960
Quindi possiamo dire B^2 + B^2 =

62
00:03:38,960 --> 00:03:41,530
C^2.

63
00:03:41,530 --> 00:03:47,490
O 2B^2 = C^2.

64
00:03:47,490 --> 00:03:54,940
O B^2 = (C^2) / 2.

65
00:03:54,940 --> 00:04:03,640
O B = radice quadrata di ((C^2)/2).

66
00:04:03,640 --> 00:04:06,530
Che e' uguale a C --- perche' prendiamo la radice quadrata del

67
00:04:06,530 --> 00:04:09,130
numeratore e la radice quadrata del denominatore --- C

68
00:04:09,130 --> 00:04:10,570
sulla radice quadrata di 2.

69
00:04:10,570 --> 00:04:15,250
E in realta', anche se questa e' una presentazione sui triangoli,

70
00:04:15,250 --> 00:04:17,630
ti daro' un'altra piccola informazione

71
00:04:17,630 --> 00:04:19,930
su una cosa chiamata razionalizzazione dei denominatori.

72
00:04:19,930 --> 00:04:21,270
Quindi questo e' perfettamente corretto.

73
00:04:21,270 --> 00:04:25,950
Siamo arrivati a B --- e sappiamo anche che A = B --- ma

74
00:04:25,950 --> 00:04:29,510
che B = C / radice di 2.

75
00:04:29,510 --> 00:04:31,820
Esce fuori che nella maggior parte della matematica, e non ho mai

76
00:04:31,820 --> 00:04:34,780
capito troppo bene perche' e' cosi', alla gente

77
00:04:34,780 --> 00:04:37,870
non piace avere radice di 2 al denominatore.

78
00:04:37,870 --> 00:04:40,720
O in generale non amano i numeri irrazionali

79
00:04:40,720 --> 00:04:41,140
al denominatore.

80
00:04:41,140 --> 00:04:45,030
I numeri irrazionali sono i numeri che hanno i decimali

81
00:04:45,030 --> 00:04:46,920
che non si ripetono e non finiscono mai.

82
00:04:46,920 --> 00:04:49,870
Quindi il modo di liberarsi dei numeri irrazionali al

83
00:04:49,870 --> 00:04:52,230
denominatore e' fare una cosa chiamata razionalizzazione

84
00:04:52,230 --> 00:04:53,570
del denominatore.

85
00:04:53,570 --> 00:04:55,456
E il modo in cui razionalizzi il denominatore --- prendiamo

86
00:04:55,456 --> 00:04:56,110
il nostro esempio di adesso.

87
00:04:56,110 --> 00:05:00,640
Se abbiamo C / radice di 2, moltiplichiamo

88
00:05:00,640 --> 00:05:03,200
il numeratore e il denominatore per

89
00:05:03,200 --> 00:05:05,130
lo stesso numero, giusto?

90
00:05:05,130 --> 00:05:08,120
Perche' quando moltiplichi numeratore e denominatore

91
00:05:08,120 --> 00:05:11,280
per lo stesso numero, e' come se stessi moltiplicando per 1.

92
00:05:11,280 --> 00:05:13,680
La radi di 2 sulla radice di due e' 1.

93
00:05:13,680 --> 00:05:15,530
E come vedi la ragione per cui lo faccio e' che

94
00:05:15,530 --> 00:05:17,020
la radice di due per radice di due, quanto fa

95
00:05:17,020 --> 00:05:19,040
radice di due per radice di due?

96
00:05:19,040 --> 00:05:20,220
Giusto, fa 2.

97
00:05:20,220 --> 00:05:21,030
Giusto?

98
00:05:21,030 --> 00:05:23,930
Abbiamo detto, qualcosa per qualcosa fa 2, beh, la radice

99
00:05:23,930 --> 00:05:25,990
di 2 per la radice di 2, e' questo che fa 2.

100
00:05:25,990 --> 00:05:31,010
E poi il numeratore e' C per la radice di 2.

101
00:05:31,010 --> 00:05:34,420
Quindi nota, C per la radice di 2 su 2 e' la stessa cosa

102
00:05:34,420 --> 00:05:37,150
di C sulla radice di 2.

103
00:05:37,150 --> 00:05:39,520
Ed e' importante capirlo, perche' alle volte

104
00:05:39,520 --> 00:05:41,090
quando fai gli esami o se fai

105
00:05:41,090 --> 00:05:44,190
un test in classe, potresti ottenere una risposta fatta

106
00:05:44,190 --> 00:05:46,320
cosi', ha una radice di 2, o magari anche una radice

107
00:05:46,320 --> 00:05:49,550
di 3, o quel che e', al denominatore.

108
00:05:49,550 --> 00:05:51,420
E potresti non vedere la risposta se e' una domanda

109
00:05:51,420 --> 00:05:52,750
a risposte multiple.

110
00:05:52,750 --> 00:05:55,710
Quello che devi fare in quel caso e' razionalizzare il denominatore.

111
00:05:55,710 --> 00:05:57,990
Quindi moltiplichi il numeratore e il denominatore per la radice

112
00:05:57,990 --> 00:06:01,470
quadrata di 2 e ottiani radice quadrata di 2 su 2.

113
00:06:01,470 --> 00:06:03,250
Ma ad ogni modo, torniamo al problema.

114
00:06:03,250 --> 00:06:04,450
Allora che cosa abbiamo imparato?

115
00:06:04,450 --> 00:06:06,880
Questo e' uguale a B, giusto?

116
00:06:06,880 --> 00:06:11,240
Quindi esce fuori che B e' uguale a C per la radice

117
00:06:11,240 --> 00:06:13,420
quadrata di 2 su 2.

118
00:06:13,420 --> 00:06:14,410
Quindi fammelo scrivere.

119
00:06:14,410 --> 00:06:18,760
Quindi sappiamo che A = B, giusto?

120
00:06:18,760 --> 00:06:27,610
Ed e' uguale alla radice quadrata di 2 su 2 per C.

121
00:06:27,610 --> 00:06:29,680
Ora magari vuoi impararlo a memoria, anche se puoi sempre

122
00:06:29,680 --> 00:06:32,440
derivertelo se usi il teorema di Pitagora e

123
00:06:32,440 --> 00:06:35,720
ti ricordi che i lati che non sono l'ipotenusa in un

124
00:06:35,720 --> 00:06:40,110
triangolo 45-45-90 sono uguali tra loro.

125
00:06:40,110 --> 00:06:41,370
Ma questa e' una buona cosa da sapere.

126
00:06:41,370 --> 00:06:44,645
Perche' se, per esempio, stai facendo un SAT e hai bisogno di risolvere

127
00:06:44,645 --> 00:06:48,180
un problema velocemente e questo te lo ricordi a memoria e qualcuno ti

128
00:06:48,180 --> 00:06:49,943
da' l'ipotenusa, puoi calcolare

129
00:06:49,943 --> 00:06:51,890
i lati molto velocemente, o se qualcuno ti da' uno dei lati,

130
00:06:51,890 --> 00:06:54,100
puoi calcolare l'ipotenusa molto velocemente.

131
00:06:54,100 --> 00:06:56,290
Proviamoci.

132
00:06:56,290 --> 00:06:59,250
Cancello tutto.

133
00:06:59,250 --> 00:07:06,060
Allora abbiamo appena imparato che A e' uguale a B e' uguale a

134
00:07:06,060 --> 00:07:10,210
la radice quadrata di 2 su 2 per C.

135
00:07:10,210 --> 00:07:16,220
Quindi se ti dessi un triangolo rettangolo e ti dicessi

136
00:07:16,220 --> 00:07:23,760
che questo angolo e' di 90 gradi e questo angolo di 45 e che

137
00:07:23,760 --> 00:07:28,570
questo lato e', diciamo che questo lato e' 8.

138
00:07:28,570 --> 00:07:32,670
Voglio sapere quant'e' questo lato.

139
00:07:32,670 --> 00:07:34,590
Beh, prima di tutto, capiamo quale lao

140
00:07:34,590 --> 00:07:35,500
e' l'ipotenusa.

141
00:07:35,500 --> 00:07:39,620
Beh l'ipotenusa e' il lato opposto all'angolo retto.

142
00:07:39,620 --> 00:07:42,060
Quindi stiamo proprio tentando di calcolare l'ipotenusa.

143
00:07:42,060 --> 00:07:44,640
Chiamiamo l'ipotenusa C.

144
00:07:44,640 --> 00:07:47,560
E sappiamo anche che e' un triangolo 45-45-90, giusto?

145
00:07:47,560 --> 00:07:50,180
Perche' questo angolo e' 45, quindi anche questo deve essere 45,

146
00:07:50,180 --> 00:07:54,620
perche' 45 + 90 + 90 = 180.

147
00:07:54,620 --> 00:07:58,840
Quindi questo e' un triangolo 45-45-90 e sappiamo che uno dei lati ---

148
00:07:58,840 --> 00:08:05,880
questo lato potrebbe essere A o B --- sappiamo che 8 e' uguale alla

149
00:08:05,880 --> 00:08:10,030
radice quadrata di 2 su 2 per C.

150
00:08:10,030 --> 00:08:12,160
C e ' quello che stiamo tentando di calcolare.

151
00:08:12,160 --> 00:08:16,400
Quindi se moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione per 2 per

152
00:08:16,400 --> 00:08:22,010
la radice quadrata di 2 --- sto solo moltiplicando per l'inverso

153
00:08:22,010 --> 00:08:23,600
del coefficiente di C.

154
00:08:23,600 --> 00:08:25,750
Perche' la radice di 2 annulla quella radice di

155
00:08:25,750 --> 00:08:28,430
2, questo 2 si annulla con questo 2.

156
00:08:28,430 --> 00:08:37,640
Ottenuamo 2 per 8, 16 sulla radice di 2 = C.

157
00:08:37,640 --> 00:08:40,200
Che sarebbe corretto, ma come ti ho fatto vedere alla gente

158
00:08:40,200 --> 00:08:42,120
non piace avere i radicali al denominatore.

159
00:08:42,120 --> 00:08:46,250
Quindi possiamo dire che C e' uguale a 16 sulla radice quadrata di

160
00:08:46,250 --> 00:08:51,290
2 per la radice quadrata di 2 sulla radice quadrata di 2.

161
00:08:51,290 --> 00:08:58,790
Quindi questo e' uguale a 16 radice di 2 su 2.

162
00:08:58,790 --> 00:09:04,330
Che e' come dire 8 radice di 2.

163
00:09:04,330 --> 00:09:10,170
Quindi C in questo esempio e' 8 radice quadrata di 2.

164
00:09:10,170 --> 00:09:13,790
E sappiamo anche, dato che e' un triangolo 45-45-90,

165
00:09:13,790 --> 00:09:16,700
che questo lato e' 8.

166
00:09:16,700 --> 00:09:17,940
Spero che abbia senso.

167
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Nella prossima presentazione di mostrero' un

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tipo diverso di triangolo.

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In realta' potrei anche iniziare con un altro paio di esempi

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su questo, perche' mi sa che sono andato un po' di corsa.

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Ma comunque, ci vediamo presto nella prossima presentazione.