0:00:01.710,0:00:05.420
Benvenuto alla presentazione sui triangoli 45-45-90.

0:00:05.420,0:00:07.200
Fammelo scrivere.

0:00:07.200,0:00:08.300
Come mai la penna --- oh, ecco qua.

0:00:08.300,0:00:15.770
Triangoli 45-45-90.

0:00:15.770,0:00:19.050
O potremmo dire i triangoli retti 45-45-90, ma potrebbe essere

0:00:19.050,0:00:21.630
ridondante, perche' sappiamo che ogni triangolo che abbia un angolo

0:00:21.630,0:00:24.110
di 90 gradi e' un triangolo rettangolo.

0:00:24.110,0:00:27.790
E come puoi immaginare, il 45-45-90, questi sono proprio

0:00:27.790,0:00:30.910
i gradi degli angoli del triangolo.

0:00:30.910,0:00:33.220
Allora perche' questi triangoli sono speciali?

0:00:33.220,0:00:35.720
Beh, se hai visto l'ultima presentazione ti ho dato

0:00:35.720,0:00:43.950
un piccolo teorema che ti ha detto che se due degli angoli della base

0:00:43.950,0:00:49.000
di una triangolo sono uguali --- e suppongo che sia un angolo della base solo

0:00:49.000,0:00:49.800
se lo disegni cosi'.

0:00:49.800,0:00:51.830
Potresti disegnarlo cosi', nel qual caso magari non e' cosi'

0:00:51.830,0:00:55.410
ovvio che sia un angolo della base, ma sarebbe vero lo stesso.

0:00:55.410,0:00:58.520
Se questi due angoli sono veri allora i lati che non

0:00:58.520,0:01:02.000
condividono --- quindi questo lato e questo lato in questo esempio, o questo

0:01:02.000,0:01:05.280
lato e questo lato in questo esempio --- allora i due lati

0:01:05.280,0:01:07.050
saranno uguali.

0:01:07.050,0:01:11.140
Quindi quello che e' interessante di un triangolo 45-45-90 e' che

0:01:11.140,0:01:13.900
e' un triangolo rettangolo con questa proprieta'.

0:01:13.900,0:01:16.400
E come sappiamo che e' l'unico triangolo rettangolo

0:01:16.400,0:01:17.690
con questa proprieta'?

0:01:17.690,0:01:20.790
Beh, puoi immaginare un mondo dove ti dico che

0:01:20.790,0:01:24.140
questo e' un triangolo rettangolo.

0:01:24.140,0:01:28.030
Questo e' 90 gradi, quindi questa e' l'ipotenusa.

0:01:28.030,0:01:32.140
Giusto, e' il lato opposto all'angolo di 90 gradi.

0:01:32.140,0:01:36.780
E se ti dicessi che questi due angoli sono uguali

0:01:36.780,0:01:39.640
tra loro, come devono essere questi due angoli?

0:01:39.640,0:01:42.840
Beh, se chiamiamo questi due angoli x sappiamo che

0:01:42.840,0:01:44.410
la somma degli angoli e' 180 gradi.

0:01:44.410,0:01:49.220
Quindi diremmo x piu' x piu' --- questo e' 90 --- piu'

0:01:49.220,0:01:52.650
90 uguale 180.

0:01:52.650,0:01:57.950
O 2x + 90 = 180.

0:01:57.950,0:02:01.260
O 2x = 90.

0:02:01.260,0:02:05.500
O x = 45 gradi.

0:02:05.500,0:02:10.180
Quindi l'unico triangolo rettangolo in cui gli altri due angoli

0:02:10.180,0:02:17.990
sono uguali e' il triangolo 45-45-90.

0:02:17.990,0:02:22.680
Allora cosa c'e' di interessante nel triangolo 45-45-90?

0:02:22.680,0:02:27.160
Beh, oltre a quello che ti ho appena detto --- fammelo ridisegnare.

0:02:27.160,0:02:29.180
Lo ridisegno cosi'.

0:02:29.180,0:02:35.190
Quindi sappiamo gia' che questo e' 90 gradi, questo e' 45 gradi,

0:02:35.190,0:02:37.320
questo e' 45 gradi.

0:02:37.320,0:02:40.370
E stando a quello che ti ho appena detto, sappiamo anche che

0:02:40.370,0:02:45.850
i lati che gli angoli di 45 gradi non condividono sono uguali.

0:02:45.850,0:02:49.560
Quindi questo lato e' uguale a questo lato.

0:02:49.560,0:02:52.080
E se lo vediamo dal punto di vista del teorema di

0:02:52.080,0:02:55.240
Pitagora, questo ci dice che i due lati che non sono

0:02:55.240,0:02:57.710
l'ipotenusa sono uguali.

0:02:57.710,0:02:58.400
Quindi questa e' l'ipotenusa.

0:03:03.660,0:03:09.500
Quindi chiamiamo questo lato A e questo lato B.

0:03:09.500,0:03:11.360
Sappiamo dal teorema di Pitagora --- diciamo

0:03:11.360,0:03:14.880
che l'ipotenusa e' uguale a C --- il teorema di Pitagora ci dice che

0:03:14.880,0:03:21.380
A^2 + B^2 = C^2.

0:03:21.380,0:03:21.863
Giusto?

0:03:24.720,0:03:26.620
Beh sappiamo che A = B, perche' questo e' un

0:03:26.620,0:03:30.070
triangolo 45-45-90.

0:03:30.070,0:03:32.010
Quindi possiamo sostituire A con B o B con A.

0:03:32.010,0:03:34.580
Ma sostituiamo B al posto di A.

0:03:34.580,0:03:38.960
Quindi possiamo dire B^2 + B^2 =

0:03:38.960,0:03:41.530
C^2.

0:03:41.530,0:03:47.490
O 2B^2 = C^2.

0:03:47.490,0:03:54.940
O B^2 = (C^2) / 2.

0:03:54.940,0:04:03.640
O B = radice quadrata di ((C^2)/2).

0:04:03.640,0:04:06.530
Che e' uguale a C --- perche' prendiamo la radice quadrata del

0:04:06.530,0:04:09.130
numeratore e la radice quadrata del denominatore --- C

0:04:09.130,0:04:10.570
sulla radice quadrata di 2.

0:04:10.570,0:04:15.250
E in realta', anche se questa e' una presentazione sui triangoli,

0:04:15.250,0:04:17.630
ti daro' un'altra piccola informazione

0:04:17.630,0:04:19.930
su una cosa chiamata razionalizzazione dei denominatori.

0:04:19.930,0:04:21.270
Quindi questo e' perfettamente corretto.

0:04:21.270,0:04:25.950
Siamo arrivati a B --- e sappiamo anche che A = B --- ma

0:04:25.950,0:04:29.510
che B = C / radice di 2.

0:04:29.510,0:04:31.820
Esce fuori che nella maggior parte della matematica, e non ho mai

0:04:31.820,0:04:34.780
capito troppo bene perche' e' cosi', alla gente

0:04:34.780,0:04:37.870
non piace avere radice di 2 al denominatore.

0:04:37.870,0:04:40.720
O in generale non amano i numeri irrazionali

0:04:40.720,0:04:41.140
al denominatore.

0:04:41.140,0:04:45.030
I numeri irrazionali sono i numeri che hanno i decimali

0:04:45.030,0:04:46.920
che non si ripetono e non finiscono mai.

0:04:46.920,0:04:49.870
Quindi il modo di liberarsi dei numeri irrazionali al

0:04:49.870,0:04:52.230
denominatore e' fare una cosa chiamata razionalizzazione

0:04:52.230,0:04:53.570
del denominatore.

0:04:53.570,0:04:55.456
E il modo in cui razionalizzi il denominatore --- prendiamo

0:04:55.456,0:04:56.110
il nostro esempio di adesso.

0:04:56.110,0:05:00.640
Se abbiamo C / radice di 2, moltiplichiamo

0:05:00.640,0:05:03.200
il numeratore e il denominatore per

0:05:03.200,0:05:05.130
lo stesso numero, giusto?

0:05:05.130,0:05:08.120
Perche' quando moltiplichi numeratore e denominatore

0:05:08.120,0:05:11.280
per lo stesso numero, e' come se stessi moltiplicando per 1.

0:05:11.280,0:05:13.680
La radi di 2 sulla radice di due e' 1.

0:05:13.680,0:05:15.530
E come vedi la ragione per cui lo faccio e' che

0:05:15.530,0:05:17.020
la radice di due per radice di due, quanto fa

0:05:17.020,0:05:19.040
radice di due per radice di due?

0:05:19.040,0:05:20.220
Giusto, fa 2.

0:05:20.220,0:05:21.030
Giusto?

0:05:21.030,0:05:23.930
Abbiamo detto, qualcosa per qualcosa fa 2, beh, la radice

0:05:23.930,0:05:25.990
di 2 per la radice di 2, e' questo che fa 2.

0:05:25.990,0:05:31.010
E poi il numeratore e' C per la radice di 2.

0:05:31.010,0:05:34.420
Quindi nota, C per la radice di 2 su 2 e' la stessa cosa

0:05:34.420,0:05:37.150
di C sulla radice di 2.

0:05:37.150,0:05:39.520
Ed e' importante capirlo, perche' alle volte

0:05:39.520,0:05:41.090
quando fai gli esami o se fai

0:05:41.090,0:05:44.190
un test in classe, potresti ottenere una risposta fatta

0:05:44.190,0:05:46.320
cosi', ha una radice di 2, o magari anche una radice

0:05:46.320,0:05:49.550
di 3, o quel che e', al denominatore.

0:05:49.550,0:05:51.420
E potresti non vedere la risposta se e' una domanda

0:05:51.420,0:05:52.750
a risposte multiple.

0:05:52.750,0:05:55.710
Quello che devi fare in quel caso e' razionalizzare il denominatore.

0:05:55.710,0:05:57.990
Quindi moltiplichi il numeratore e il denominatore per la radice

0:05:57.990,0:06:01.470
quadrata di 2 e ottiani radice quadrata di 2 su 2.

0:06:01.470,0:06:03.250
Ma ad ogni modo, torniamo al problema.

0:06:03.250,0:06:04.450
Allora che cosa abbiamo imparato?

0:06:04.450,0:06:06.880
Questo e' uguale a B, giusto?

0:06:06.880,0:06:11.240
Quindi esce fuori che B e' uguale a C per la radice

0:06:11.240,0:06:13.420
quadrata di 2 su 2.

0:06:13.420,0:06:14.410
Quindi fammelo scrivere.

0:06:14.410,0:06:18.760
Quindi sappiamo che A = B, giusto?

0:06:18.760,0:06:27.610
Ed e' uguale alla radice quadrata di 2 su 2 per C.

0:06:27.610,0:06:29.680
Ora magari vuoi impararlo a memoria, anche se puoi sempre

0:06:29.680,0:06:32.440
derivertelo se usi il teorema di Pitagora e

0:06:32.440,0:06:35.720
ti ricordi che i lati che non sono l'ipotenusa in un

0:06:35.720,0:06:40.110
triangolo 45-45-90 sono uguali tra loro.

0:06:40.110,0:06:41.370
Ma questa e' una buona cosa da sapere.

0:06:41.370,0:06:44.645
Perche' se, per esempio, stai facendo un SAT e hai bisogno di risolvere

0:06:44.645,0:06:48.180
un problema velocemente e questo te lo ricordi a memoria e qualcuno ti

0:06:48.180,0:06:49.943
da' l'ipotenusa, puoi calcolare

0:06:49.943,0:06:51.890
i lati molto velocemente, o se qualcuno ti da' uno dei lati,

0:06:51.890,0:06:54.100
puoi calcolare l'ipotenusa molto velocemente.

0:06:54.100,0:06:56.290
Proviamoci.

0:06:56.290,0:06:59.250
Cancello tutto.

0:06:59.250,0:07:06.060
Allora abbiamo appena imparato che A e' uguale a B e' uguale a

0:07:06.060,0:07:10.210
la radice quadrata di 2 su 2 per C.

0:07:10.210,0:07:16.220
Quindi se ti dessi un triangolo rettangolo e ti dicessi

0:07:16.220,0:07:23.760
che questo angolo e' di 90 gradi e questo angolo di 45 e che

0:07:23.760,0:07:28.570
questo lato e', diciamo che questo lato e' 8.

0:07:28.570,0:07:32.670
Voglio sapere quant'e' questo lato.

0:07:32.670,0:07:34.590
Beh, prima di tutto, capiamo quale lao

0:07:34.590,0:07:35.500
e' l'ipotenusa.

0:07:35.500,0:07:39.620
Beh l'ipotenusa e' il lato opposto all'angolo retto.

0:07:39.620,0:07:42.060
Quindi stiamo proprio tentando di calcolare l'ipotenusa.

0:07:42.060,0:07:44.640
Chiamiamo l'ipotenusa C.

0:07:44.640,0:07:47.560
E sappiamo anche che e' un triangolo 45-45-90, giusto?

0:07:47.560,0:07:50.180
Perche' questo angolo e' 45, quindi anche questo deve essere 45,

0:07:50.180,0:07:54.620
perche' 45 + 90 + 90 = 180.

0:07:54.620,0:07:58.840
Quindi questo e' un triangolo 45-45-90 e sappiamo che uno dei lati ---

0:07:58.840,0:08:05.880
questo lato potrebbe essere A o B --- sappiamo che 8 e' uguale alla

0:08:05.880,0:08:10.030
radice quadrata di 2 su 2 per C.

0:08:10.030,0:08:12.160
C e ' quello che stiamo tentando di calcolare.

0:08:12.160,0:08:16.400
Quindi se moltiplichiamo entrambi i lati di questa equazione per 2 per

0:08:16.400,0:08:22.010
la radice quadrata di 2 --- sto solo moltiplicando per l'inverso

0:08:22.010,0:08:23.600
del coefficiente di C.

0:08:23.600,0:08:25.750
Perche' la radice di 2 annulla quella radice di

0:08:25.750,0:08:28.430
2, questo 2 si annulla con questo 2.

0:08:28.430,0:08:37.640
Ottenuamo 2 per 8, 16 sulla radice di 2 = C.

0:08:37.640,0:08:40.200
Che sarebbe corretto, ma come ti ho fatto vedere alla gente

0:08:40.200,0:08:42.120
non piace avere i radicali al denominatore.

0:08:42.120,0:08:46.250
Quindi possiamo dire che C e' uguale a 16 sulla radice quadrata di

0:08:46.250,0:08:51.290
2 per la radice quadrata di 2 sulla radice quadrata di 2.

0:08:51.290,0:08:58.790
Quindi questo e' uguale a 16 radice di 2 su 2.

0:08:58.790,0:09:04.330
Che e' come dire 8 radice di 2.

0:09:04.330,0:09:10.170
Quindi C in questo esempio e' 8 radice quadrata di 2.

0:09:10.170,0:09:13.790
E sappiamo anche, dato che e' un triangolo 45-45-90,

0:09:13.790,0:09:16.700
che questo lato e' 8.

0:09:16.700,0:09:17.940
Spero che abbia senso.

0:09:17.940,0:09:19.740
Nella prossima presentazione di mostrero' un

0:09:19.740,0:09:20.680
tipo diverso di triangolo.

0:09:20.680,0:09:22.900
In realta' potrei anche iniziare con un altro paio di esempi

0:09:22.900,0:09:25.080
su questo, perche' mi sa che sono andato un po' di corsa.

0:09:25.080,0:09:28.450
Ma comunque, ci vediamo presto nella prossima presentazione.